高中数学必修二《两条直线平行与垂直的判定》优秀教学设计

两条直线平行与垂直的判定

【知识导引】

1．两条直线的夹角与到角有何区别？

2．两直线的斜率之积互为负倒数是两直线垂直的什么条件？两直线垂直的充要条件是什么？

3．两直线方程所组成的方程组解的情况与直线交点的个数有何关系？

4．如何求一条直线关于某点或某条直线的对称直线？

5．如何表示经过某点的直线方程？又如何表示平行于某条直线的所有直线？

【重点难点解析】

本节的内容包括两条直线平行与垂直的条件，两条直线的交点，夹角和点到直线的距离公式。

1．关于两条直线的平行问题

设两条直线分别为：l1:yk1xb1，l2:yk2xb2，则

l1//l2k1k2且b1b2。

设两条直线的方程为：l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，则

l1//l2A1B2A2B1且A1C2A2C1。

一般地，两条不重合的直线平行的充要条件是斜率相等或斜率均不存在。

已知直线l1:AxByC0，则和l1平行的直线方程都可写为Ax+By+m=0（m≠C），并称之为平行直线系。

当k为常数时，方程y=kx+b（b∈R）表示平行直线系。

2．关于两条直线的垂直问题。

设两条直线分别为：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2，则

l1l2k1k21。

设两条直线的方程为l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，则

l1l2A1A2B1B20。

设直线l1和l2的方向向量分别为(a1,b1)与(a2,b2)，则

l1l2a1a2b1b20

一般地，两条直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数或一条直线的斜率为零且另一条

直线的斜率不存在。

已知直线l:AxByC0，则和l垂直的直线方程都可写为l:BxAym0，其中m为待定常数。

3．关于两条直线的夹角问题。

两条直线相交构成四个角，它们是两对对顶角，其中较小的一对角α称为直线的夹角，

(0,)因此直线的夹角的取值范围为2，夹角公式为

tan|k2k1|1k1k2。而到角是一个方向角，它

是指某条直线按逆时针方向旋转到另一直线所需的最小正角，其范围为（0，π）。直线l1到

l2的角α与直线l2到l1的角β互补，而且满足

tan|k2k1|1k1k2。

4．两条直线l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，它们的交点的坐标是方程组

A1xB1yC10A2xB2yC20的实数解。

A1B2A2B10A1B2A2B10ACAC0BCB2C10l//l21当两直线12时，即12或12时，方程组无解，两直线无交点；

当A1B2A2B10时，两直线相交，方程组只有惟一实数解；

A1B2A2B10A1B2A2B10ACAC0BCB2C1021当12或12时，两直线重合，方程组有无数组解。

5．关于点到直线的距离问题。

|Ax0By0C|点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为

A2B2。特别地，点(x0,y0)到直线

x+a=0与直线y+b=0的距离分别为|x0a|与|y0b|。

求两条平行直线的距离可转化为一条直线上的任一点到另一条直线的距离。特别地，

|C1C2|22当两条平行直线的方程为AxByC10与AxByC20时，其距离为AB。

【难题巧解点拨】

例1如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么（ ）

11a,b6a,b633A． B．

C．a=3，b=-2 D．a=3，b=6

分析一 因互为反函数的图像关于直线y=x对称，故可在一条直线上取一点，求出它关于直线y=x的对称点，该对称点一定在它的对称直线上，详见下面的解法一。

分析二 数与形是一对不分家的整体，将直线方程看做一次函数，利用反函数图像的对称性，利用函数的惟一性，确定a及b的值，详见下面的解法二。

分析三 利用直线的对称点，进而可转化为关于直线的斜率的关系以及对称直线y=x的特殊性，可得出两直线交点的关系，再解之，详见下面的解法三。

[解法一] 取直线yax2上的点（0，2），它关于直线y=x的对称点为（2，0），则

（2，0）在直线y=3x-b上，于是0=2×3-b，b=6。

在直线y=3x-b上取点（0，-6），它关于直线y=x的对称点为（-6，0），则（-6，0）在直线y=ax+2上，于是

06a2,a13。

故选A。

xb3应与y=ax+2为同一函数，

[解法二]视直线y=3x-b为一次函数，则其反函数

1a,b63比较两个函数对应项的系数有：。

y故选A。

[解法三]因直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，故两直线到直线y=x的角应相等，于是，

a1131a1a13，解得3。

且两直线

y11x2yx233与y=3x-b的交点在直线y=x上。联立方程 与y=x，可

求得交点为（3，3），它在直线y=3x-b上，于是3=3×3-b，b=6。

故选A。

[点悟]求直线l：Ax+By+C=0关于直线l1:A1xB1yC10的对称直线l的方程，其一

般方法是：

在直线l上取一特殊点（也可以是任意一点），求出此点关于直线l1的对称点，若l1//l，利用点斜式就完成所求；若l1与l相交，则求出交点，利用两点式写出方程即完成所求。

另外也可以用以下方法进行求解：

在所求直线l上任取一点（x，y），它关于l1的对称点(x1,y1)一定在直线l上，于是可由

x1xy1yABC101122yyB11x1xA1

解出x1与y1（分别用x与y来表示），将其代入l的方程即得所求。题见下面的例2。

例2 求直线m：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线n的方程。

[解]先求直线m与l的交点。由

2xy403x4y10

解得交点为（3，-2），显然该点也在直线n上。

解法一 设直线n的斜率为k，则由m到l的角和l到n的角相等，得

33k24433121k44

211。

解得

k由直线的点斜式方程可得方程

y2(x3)211，所求直线方程为：2x+11y+16=0。

解法二 在直线m：2x+y-4=0上取一点A（2，0），它关于直线l：3x+4y-1=0的对称点为A'(x1,y1)，则由AA'的中点C一定在直线l上，并且AA'l，得

y10x123410,22y041x231

4848,y1A'(,)55，即55。

解得

x1由直线的两点式方程可得，所求直线方程为：2x+11y+16=0。

解法三 设直线n上的动点P（x，y）关于直线l：3x+4y-1=0的对称点Q(x1,y1)，则有

y1yx1x3410,22yy41x1x3

7x24y6x,125y24x7y8125解得

因点Q(x1,y1)在直线m：2x+y-4=0上，故有

7x24y624x7y8402525

2化简即得2x+11y+16=0，便是所求的直线方程。

解法四 设直线n上的动点P（x，y），直线m上的动点Q(x1,42x1)，且P、Q 关于直线l对称，则P与Q到直线l的距离相等，且PQ⊥l，于是

3x4y13x14(42x1)1,55y(42x1)3.4xx1

消去x1，得2x+11y+16=0，或2x+y-4=0（不合题意，舍去），

故所求的直线方程为：2x+11y+16=0。

[点悟]由平面几何知识可知，若直线m、n关于直线l对称，则它们具有下列性质：

（1）若直线m、n相交，则1是m、n的交角的平分线（两条）；

（2）若点A在直线m上，那么A关于直线1的对称点A′一定在直线n上，这时AA′

⊥1，并且AA′的中点C一定在直线1上。

使用以上性质，可以求出直线m关于直线1对称的直线n的方程。

以上解法一与解法二是先求出两直线的交点，然后分别找出确定直线位置的另一条件：斜率或另一个点，再利用点斜式或两点式写出方程即为所求；解法三与解法四则是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程的，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及非动点坐标（参数）。

另外，由于到角是一个方向角，因此在使用解法一求所求直线的斜率时，必须注意是哪条直线到另一条直线，所转的方向不能搞错。

例3 若直线l1:ax4y200，l2:xayb0，当a、b满足什么条件时，直线l1与

l2分别相交？平行？垂直？重合？

[分析]根据两条直线的位置关系判定方法直接求解，但要注意斜率不存在的情形。

[解]当a=0时，两直线显然垂直。

1bal1:yx5l2:yxaa。 4当a≠0时，分别将两直线均化为斜截方程为：，

a1a，即a≠±2时，两直线相交。 （1）当4ba15a时，即a=2且b≠10或a=－2且b≠－10时，两直线平行。a且（2）当4



a1()()1（3）由于方程4a无解，故仅当a=0时，两直线垂直。

ba15a时，即a=2且b=10或a=－2且b=－10时，两直线重合。a且（4）当4

[点悟]本题易忽略a=0的特殊情形，判断两条直线的位置关系，一般是先将给定的直线方程化为斜截方程，但要注意斜率不存在的情形，然后利用直线平行或垂直或相交或重合的条件，列出它们的斜率与直线在y轴上截距的关系，进行判断。

例4 在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标。

x2y10[解]如图8，由y0解得点A的坐标为（－1，0），

因为直线y=0为∠A的平分线，

20111，

故

kACkAB于是直线AC的方程为x+y+1=0，

1因为BC边上高所在直线的斜率为2，故kBC2。

于是BC所在直线的方程为

y―2=―2（x―1），

即2x+y－4=0，

2xy40由xy10解得点C的坐标为（5，－6）。

[点悟]由于直线y=0即x轴，为∠A的平分线，故直线AB与直线AC关于x轴对称，因而它们的斜率互为相反数。

【拓展延伸探究】

例1 过P（0，1）作直线1，交直线l1:x3y100于点A，交直线l2:2xy80于点B，若点P平分线段AB，试求直线1的方程。

[分析]线段AB被P平分，故点A关于点P的对称点为B，利用这个性质可求出直线1的方程，详见下面的解法二，本题的常规解法是写出过点P的点斜式方程，它含有一个参数k，该方程与l1联立，可求出点A的坐标（含参数k），与l2联立，可求出点B的坐标（含参数k），再利用题设P平分AB，得到点A与B坐标间的一个关系，具体解答详见下面的解法一。

[解法一]设所求直线1的方程为：y=kx+1。

ykx1710k1A，x3y1003k13k1。 由解得

ykx178k2B，2xy80k2k2。 由解得

由于P为线段AB的中点，故

773k1k20210k18k23k1k212

解得

k14。

1yx14故所求直线的方程为，即x+4y－4=0。

2y1)，将它们[解法二]设A(x1，y1)，则点A关于P（0，1）的对称点B的坐标为(x1，的坐标各自代入直线方程得

x13y11002x1(2y1)80(1)(2)

①+②得：x14y140。

因为P（0，1）也适合上述方程，故所求直线方程为x+4y－4=0。

[点悟]“设而不求”是简化计算的一种方法，它也是在解析几何中最常用的技巧之一，所谓设而不求，就是表示出变量而不必求出变量，其实质是一种整体代换。

例2 已知两点A（8，6），B（－4，0），在直线1：3x－y+2=0上求点P，使|PA|－|PB|最大。

[分析]利用数形结合法，先作出示意图9，将所求的两线段的差|PA|－|PB|转化为一条线段的长。

[解]设点B关于直线1的对称点为B'(x1，y1)，则

x14y132022y113x14

解得B′（2，－2）。

用两点式写出直线AB的方程为：4x―3y―14=0。

3xy20,由4x3y140,

解得P（―4，―10）。

下面证明P点即为所求。

如图，在直线1上任取一点P′，不同于P，则||P′A|―|P′B||=||P′A|―|P′B′||<|B′A|=||PA|―|P′B′||=||PA|―|PB||，于是P点即为所求。

例3 求经过点P（2，3）且被两条平行直线3x+4y－7=0和3x+4y+3=0截得的线段长为5的直线方程。

[分析]可考虑用待定系数法，设所求直线的斜率为k ，然后找等量关系列出关于k的方程，最直接的想法是解方程组求出所求直线与两条平行直线的交点的坐标，再利用两点间的距离公式列出方程，求出k的值，但显然该方法计算量较大，不足取，如果求出两条平行直线间的距离，再联系图形，作出满足条件的示意图10，利用三角公式，先计算出所求直线的斜率，那计算量将明显减小。

|37|3422|AB|2[解]两条平行直线间的距离为

，而|AC|5，故|BC|=1，从而，在Rt

△ABC中，可求得tanBCA2。

设所求直线的斜率为k，则由两条直线的夹角公式有

3k()4231k()4，

解得

k

111

k2。 2，或

故所求的直线方程为x―2y+4=0，或11x―2y―16=0。

[点悟]借助图形，充分利用图形的直观性，可简化计算，这也是数形结合思想的具体应用。

【命题趋势分析】

1．判断两条直线的位置关系的一般方法是将给定的直线方程化为斜截式方程，然后比较它们的斜率和在y轴上的截距间的关系，在判定两直线的位置关系时，不能忽视特殊情形，即斜率均不存在和一条直线的斜率为零的情形。

2．设两条直线l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，它们相交，则经过它们交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0或为m(A1xB1yC1)n(A2xB2yC2)0（其中m、n为待定比例系数），但前者所表示的直线不包括l2，利用该直线系方程可简化运算，省却求交点的过程。

3．求点关于直线的对称点，直线关于直线的对称问题，其实质便是垂直问题，点A关于直线1对称指过A作直线1的垂线并延长使其长度等于点A到1的距离，即：

若1：Ax+By+C=0，A(x1，y1)关于直线1的对称点为A(x2，y2)。

y1y2x1x2ABC0,22yyB12.x2x1A

特别地，点A（x，y）关于x轴、y轴以及直线x=y的对称点分别为（x，－y），（－x，y）和（y，x）。

求直线关于直线的对称直线可转化为点关于直线的对称问题求出对称点后，再求解对称直线的方程。

4．本节中公式较多，可以在理解的基础上，通过适量的练习，进行记忆。

【同步达纲练习】

1．直线1：2x―y―4=0绕它与x轴交点逆时针旋转45°，所得到的直线方程是（ ）

A．x+3y－2=0 B．3x+y－6=0

C．3x－y－6=0 D．x+y－2=0

2．点A（4，0）关于直线1：5x+4y+21=0的对称点是（ ）

A．（－6，8） B．（－8，－6） C．（6，8） D．（―6，―8）

3．△ABC的三边a、b、c分别对应角A、B、C，若lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差

22l:xsinAysinAal:xsinBysinCc的位置关系是（ ） 12数列，则两直线与直线

A．不垂直的相交 B．平行 C．垂直相交 D．重合

4．直线2x+3y+1=0关于直线x－y－1=0的对称直线方程为_________。

5．直线l1:2x5y200和l2:mx2y100与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为__________。

6．已知点B（－1，2），在第二象限∠ABC的两边AB、BC的斜率分别为―1和―7，求∠ABC的平分线的方程。

7．三条直线l1:xya0，l2:xay10，l3:axy10能构成三角形，求实数a的取值范围。

8．已知两定点A（2，5），B（－2，1），M（在第一象限）和N是过原点的直线1上的两个动点，且|MN|=2，1//AB，如果直线AM和BN的交点C在y轴上，求点C的坐标。

参考答案

【同步达纲练习】

12312，另一方

1．B （点拨：利用到角公式，所求直线的斜率为面，直线与x轴的交点为（2，0））

tan(45arctan2)5b12．D （点拨：常规解法：设所求的对称点B为（a，b），则AB⊥l，于是4a4，

a4ba4b，)5421022即4a―5b―16=0，而AB的中点22在直线l上，故有，即

(5a+4b+62=0，联立以上两方程，可解得a=－6，b=－8，特殊解法：已知直线的斜率为

4544，故所求对称点A连线的斜率为5，逐个代入检验：A选项对应的斜率为5，不合；

1B选项对应的斜率为2，不合；C选项对应的斜率为4，不合，故排除A、B、C，选D。另

解：先画出图像，观察即可得到正确的选项）

asinA，

3．D （点拨：将两直线方程化为斜截式方程，得

l1:yxsinAsin2Bcl2:yxsinCsinC，因lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，故lgsinA+lgsinC=21gsinB，

acsin2BsinA2sinAsinCsinB，故有sinC，又由正弦定理有sinAsinC，去掉log符号得，

故两直线重合）。

23(，)4．3x+2y=0 （点拨：两直线的交点坐标为55，在直线2x+3y+1=0上取一点A

1xy1y11012（0，－1），它关于直线x－y－1=0的对称点为B（x，y），则2，且x1，

解联立方程组得x=0，y=0，于是所求直线的斜率为程。）

kAB32，由点斜式可得所求直线方

5．－5（点拨：因为圆内接四边形的对角互补，又两坐标轴互相垂直，故l1l2，于是

2m152，解得m=－5。）

k(7)1k6．2x+y=0（x≤－1）（点拨：设∠ABC的平分线的斜率为k，则1k(7)1(1)k，

解得k=－2或x≤－1）

k

1

2，又因∠ABC在第二象限内，故k<0，另外角平分线应是一条射线，故

7．a∈R且a≠±1，a≠－2（点拨：因为三条直线能构成三角形，故三角直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点。（1）l1、l2、l3相交于同一点，则l1与l2的交点（―a―1，1）在直线l3上，于是a（－a－1）+1+1=0，此时a=0或a=－2。（2）

l1//l2，则

111aa，a=0。（3）若l1//l3，则―1=―a，a=1。（3）若l2//l3，则a，a=±

1）

8．（0，－3）（点拨：由点A、B的坐标并利用斜率公式得kAB1，于是k11，从而1

22(ab)(ab)22，|MN|22的方程为y=x，设M（a，a）（a>0），N（b，b），由，得

故|a－b|=2，直线AM的方程为：直线BN的方程为：

y1y5a53a(x2)(0，)a2，令x=0，则得C的坐标为a2，

b13a3b3b(x2)(0，)b2，令x=0，则得C的坐标为b2，故a2b2，

化简得a=－b，将其代入|a－b|=2，并注意到a>0，得a=1，b=－1）