“隐圆”最值问题

“隐圆”最值问题

教学目标：让学生掌握各类隐藏圆的最值求法

教学重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题

【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x轴、y轴交于点A、B两点，点C在y轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C的横坐标xC的取值范围是__________．

分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-32xc0

【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D是AB的中点，E、F分别是直线AC、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF长度的最小值是______

ADFC25____． 6B

分析：过D点作DE垂直AB交AC于点M可证△FBD∽△ECD即可 求出最小值

【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D是AC的中点， M是BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M是BD的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM长度的取值范围是_______________．

EA

分析：将线段AD绕A点任意旋转隐藏着以A为圆心AD为半径的圆构造 出来。接下来考虑重点M的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。 此题使用中位线。答案是

DMB37xc 22C

【练】已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F是BE的中点，若将△ADE绕点A

FDAEB旋转一周，则线段AF长度的取值范围是分析：同例题

4242AC． 22C

精品

【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC，两顶点A、B分别在平面直角 坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC 长的最大值是（ ）

A．2 B．1 C．1 +3 D．3

分析：取AB中点M连接OM、CM。因为OM=1，CM=3，所以 OC=1 +3

【练1】如图，在矩形ABCD中，AB = 2，BC =3，两顶点A、B分别在平面 直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC 长的最大值为_______3___．

分析：取AB中点M，方法同例题

【练2】（2013·武汉中考·16）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点， 满足AE = DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边 长为2，则线段DH长度的最小值是______51____．

分析：取AB中点M，方法同例题

【例4】如图，∠XOY = 45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在 OX、OY上移动，其中AB = 10，那么点O到AB的距离的最大值为__________．

分析：构造△ABO的外接圆。点O可以在圆上任意动，利用垂径定理即可得到 O到AB的最大距离为：552

【练1】（2013-2014·二中、七一九上期中·16）已知线段AB = 4，在线段AB上取一点P，在AB的同侧作等边△APC和等边△BPD，则线段CD的最小值为____2______．

分析：可构造一个以CD为斜边的水平的直角三角形，快速得到当AP=BP时最小，CD最小

精品

【练2】如果满足∠ABC = 60°，AC = 12，BC = k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是____0k12______．

分析：画出△ABC的外接圆，观察动点B在弧上面的运动即可

【例5】已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为__________．

分析：画出△ABC的外接圆M。要保证∠ACB最大，即圆周角最大，只要圆心角最大即可。所以在等腰△MAB中只要半径最小即可，半径什么时候最小呢？只要圆与Y轴相切即可所以得答案为：(0,22)

【练】当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何处观赏最理想吗？ 如图，设墙壁上的展品最高点P距底面2.5米，最低点Q距底面 2米，观察者的眼睛E距底面1.6米，当视角∠PEQ最大时，站 在此处观赏最理想，则此时E到墙壁的距离为（ B ）

A．1米 B．0.6米 C．0.5米 D．0.4米

分析：只要△PQE的外接圆与人眼所在的水平线相切即可，通过垂径定理可得答案是B

【课外提升】

1．（2010·河南）如图，Rt△ABC中，∠C = 90°，∠ABC = 30°，AB = 6， 点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA = DE，则AD的取值范围是（ ）

A．2 < AD < 3 B．2 ≤ AD < 3 C．2 ≤ AD ≤ 3 D．1 ≤ AD < 2

精品

2．（2012·济南）如图，矩形ABCD中，AB = 2，AD = 1，当A、B两点 分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动时，矩形ABCD的形状不变，则 OD的最大值为（ ）

A．2+ 1 B．5 C．yAD1455 D． 52CBx

O 3．（2013-2014·黄陂区九上期中·10）在△ABC中，∠ACB = 90°，∠ABC

AM= 30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0° < θ < 180° ），得 到△MNC，P、Q分别是AC、MN的中点，AC = 2t，连接PQ，则旋转时

PPQ长度的最大值是（ ）

A．26t B．23t C．6t D．3t

CQB

N

4．已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C是x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标为__________．