概率论及数理统计考试卷及答案

一.填空题（每空题2分，共计60分）

1、A、B是两个随机事件，已知p(A)0.4,P(B)0.5,p(AB)0.3，则p(AB) 0.6 ,

p(A-B) 0.1 ，P(AB)= 0.4 ,p(AB)0.6。

2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2只，则第一次、

第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。 3、设随机变量X服从B（2，0.5）的二项分布，则pX10.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X与Y相互独立, 则X+Y服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、

乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 （1）抽到次品的概率为： 0.12 。

（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量(X,Y)的分布律如右，则a0.1,E(X)0.4，

X Y -1 0 1 0.2 0.3 0.4a X与Y的协方差为: - 0.2 ，

ZXY2的分布律为:

z 1 2 0.6 0.4 1 概率 6、若随机变量X~N(2, 4)且(1)0.8413，(2)0.9772,则P{2X4}0.815 ，

Y2X1,则Y~N( 5 ， 16 ）。

7、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X、Y相互独立，则：

E(2XY) - 4 ，D(2XY) 6 。

（X）25，D（Y）1，Cov(X,Y)2，则D（XY） 30 8、设D.

.

9、设X1,,X26是总体N(8,16)的容量为26的样本，X为样本均值，S2为样本方差。则：X~N（8， 8/13 ），

X8252~t(25)。 S~2(25)，

16s/25ax2, 0x1二、（6分）已知随机变量X的密度函数f(x)

, 其它0 求：（1）常数a， （2）p(0.5X1.5)（3）X的分布函数F（x）。

解:(1)由

f(x)dx1,得a3 2’

(2)p(0.5X15)=

1..50.5f(x)dx3x2dx0.875 2’

0.51 x00  (3)F(x)x3, 0x1 2’

1 , 1x三、（6分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y)求：（1）X，Y的边缘密度，（2）讨论X与Y的独立性。 解:(1)X，Y的边缘密度分别为:

10x12ydy1 fX(x)0 其他 0 0x1,0y12y,

, 其它0  0y1f(x，y)dx02ydx2y，fY(y) 其他0 (2)由(1)可见

1 4’

f（x，y）f（f（, 可知: X，Y相互独立 2’ Xx）Yy）

一. 填空题（每小题2分，共计60分）

1. 设随机试验E对应的样本空间为S。 与其任何事件不相容的事件为 不可能事件， 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件；设E为等可能型试验，且S包含10个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10。

2．P(A)0.4,P(B)0.3。若

A与B独立，则P(AB) 0。28 ；若已知A,B中至少有一个事件发

生的概率为0.6，则P(AB) 0.3，P(A.

B) 1/3 。

.

3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只，从中不放回地任取2只，则取到球颜色不同的概率为： 15/28。

若有放回地回地任取2只，则取到球颜色不同的概率为： 15/32 。 4、E(X)D(X)1。若X服从泊松分布，则P{X0}1e21；若

X服从均匀分布，则P{X0} 0 。

 2 ；P{X0} 0.8 。

5、设X~N(,)，且P{X2}P{X2}, P{2X4}0.3，则6、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为4元，二等奖2元，假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每彩票卖2元。是否买此彩票的明智选择为： 买 （买，不买或无所谓）。

〈0X〈4 0.75 ；E(2X1)__7___， 7、若随机变量X~U(1,5)，则pD(3X1) 12 ．

8、设

6X~b(n,p),E(X)2.4,D(X)1.44，则

P{Xn}0.43，并简化计算

226k6k60.40.6(60.4)7.2。 k0.40.6kk09、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X、Y相互独立，则：E(2XY)

-4 ，D(2XY) 6 。

10、设X1,,X16是总体N(20,4)的容量为16的样本，X为样本均值，S为样本方差。

则：X，pX201= 0.0556 ， ~N（20， 1/4 ）

2X20152S~2(15)，~t(15)。 16s/15此题中(2)0.9772。

ex, x0111、随机变量X的概率密度f(x) ，则称X服从指数分布，E(X)。

 x00, 13、设二维随机向量(X,Y)的分布律是： 则X的方差D(X) 0.21 ；

X Y 0 0 1 0.4 0.3 0.3 0 X与Y的相关系数为:XY 3/7 。

1

二、 （7分）甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2，0.1，0.3．现从

由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%，80%，5%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率．

.

.

解：设A1,A2,A3分别表示产品取自甲、乙、丙厂， 有：p(A1)15%,P(A2)80%,P(A3)5% 2’

A1)0.2,P(BA2)0.1,P(BA3)0.3， 2’

3B 表示取到次品，p(B由贝叶斯公式：p(A1B)=

p(A1)P(BA1)（/p(Ak)P(BAk)0.24 4’

k1三、（7分）已知随机变量X的密度函数

0x1ax, f(x) , 其它0 求：（1）常数a， （2）p(0X0.5)（3）X的分布函数F（x）。 解:(1)由(2)

f(x)dx1,得a2 2’

0.50.5p(0.X15)=0f(x)dx02xdx0.25 3’

x00 2 (3)F(x)x, 0x1 2’

1 , 1x四、（7分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：

0x1,0y14xy, f(x,y) , 其它0 求：（1）X，Y的边缘密度，（2）由（1）判断X，Y的独立性。 解:(1)X，Y的边缘密度分别为:

1f(x，y)dy 0x104xydy2x，fX(x) 其他 0 5’

1 0y1f(x，y)dx04xydx2y，fY(y) 其他0 (2)由(1)可见

f（x，y）f（f（, 可知: X，Y相互独立 2’ Xx）Yy）

七、（5分）某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年死亡的概率为0.0064。用中心极限定理近似计算该保险公司一年的利润不少于48000元的概率。已知(1)0.8413，(2)0.9772。 解:设X为该保险公司一年的投保人死亡人数,则X∽B(10000,0.0064)。 该保险公司的利润函数为：L1200001000X。 2‘

所以P{L48000}P{1200001000X48000}P{X72}

.

.

P{X64100000.00640.99367264}用中心极限定理

7.996(1)0.8413 3‘

答：该保险公司一年的利润不少于48000元的概率为0。8413

二. 填空题（每小题2分，共计60分）

1、A、B是两个随机事件，已知p(A)0.5,p(B)0.3，则

a) 若A,B互斥，则p(A- B) 0.5 ; b) 若A,B独立,则p(AB) 0.65 ; c) 若p(AB)0.2,则p(AB) 3/7 . 2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，

(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。 (2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。

(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 .

3、设随机变量X服从泊松分布(),p{X7}P{X8}，则EX 8 .

4、设随机变量X服从B（2，0. 8）的二项分布,则pX2 0.64 , Y服从B（8，0. 8）的二项分布, 且X与Y相互独立，则P{XY1}=1- 0.2，E(XY)8 。

10

5 设某学校外语统考学生成绩X服从正态分布N（75，25），则该学校学生的及格率为 0.9987 ，成绩超过85分的学生占比P{X85}为 0.0228 。

其中标准正态分布函数值(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.9987.

6、设二维随机向量(X,Y)的分布律是有

则a_0.1_，X的数学期望E(X)___0.4_______，X与YX Y -1 0 1 0.3 0.3 0.3 a 的相关系数

xy___-0.25______。

7、设X1,...,X16及Y1,...,Y8分别是总体

22N(8,16)的容量为

1 16，8的两个独立样

本，X,Y分别为样本均值，S1,S2分别为样本方差。 则：X.

~ N(8,1) ，XY~ N(0,1.5) ，pXY21.5= 0.0456 ，

.

S121522S1~(15)，2~ F(15,7) 。 16S2此题中(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.9987

8、设X1,.X2,X3是总体X的样本，下列的统计量中，A，B，C 是E(X)的无偏统计量，E(X)的无偏统计量中统计量 C 最有效。

A. X1X2X3 B. 2X1X3 C.

1(X1X2X3) D. X1X2 39. 设某商店一天的客流量X是随机变量,服从泊松分布(),X1,...,X7为总体X的样本，E(X)的矩估计量为X，160，168，152，153，159，167，161为样本观测值，则E(X)的矩估计值为 160

10、在假设检验中，容易犯两类错误，第一类错误是指： H0 成立的条件下拒绝H0 的错误 ,也称为弃真错误。

a2x, 二、（6分）已知随机变量X的密度函数f(x)x2

0 , 其它求：（1）常数a， （2）p(0.5X4)（3）X的分布函数F（X）。 解:(1)由

f(x)dx1,得a2 2’

(2)p(0.5X4)=

40.5f(x)dx422dx0.5 2’ 2x x20  (3)F(x)2 2’

1- 2xxex, 0x,三、（6分）设随机变量X，Y的概率密度分别为：fX(x)

, 其它0 0y1,1, fY(y)，且随机变量X，Y相互独立。

0 , 其它（1）求（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y) （2）计算概率值pY2X解:(1)

X，Y相互独立，可见（X，Y）的联合概率密度为

。

f（x，y）f（f（, Xx）Yy）ex, 0x,0y1f(x,y) 2’

, 其它0 .

.

（2）P(Y2X)y2xf(x,Y)dxdydxexdy 3’

02x11 =3e11

八、（6分）某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取100件，经检验发现有84件为一级品,试以5%的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知Z0.051.645，提示用中心极限定理） 解 总体X服从

p为参数的0-1分布，

H0:pp00.9, H1:pp00.9 2’ X1,...,X100为总体X的样本，在H0成立条件下，选择统计量

ZXp0p0(1p0)n，由 中心极限定理，z近似服从标准正态分布，则拒绝域为zz0.05

经计算该体z2z0.05，即得 Z在拒绝域,故拒绝H0， 认为这个供应商提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求

1、A、B是两个随机事件，已知p(A)0.25,p(B)0.5,P(AB)0.125，则

p(A- B)0.125;p(AB) 0.875 ;p(AB) 0.5 .

2、袋子中有大小相同的5只白球， 4只红球， 3只黑球， 在其中任取4只

11C52C4C3(1)4只中恰有2只白球1只红球1只黑球的概率为：. 4C1231C8C4C84(2) 4只中至少有2只白球的概率为：1. 4C12C74(3) 4只中没有白球的概率为：4

C123、设随机变量X服从泊松分布(),p{X5}P{X6}，则EX 6 .

4、设随机变量X服从B（2，0. 6）的二项分布,则pX2 0.36 , Y服从B（8，0. 6）的二项分布, 且X与Y相互独立，则P{XY1}= 1-0.4，E(XY) 6 。

10

5 设某学校外语统考学生成绩X服从正态分布N（70，16），则该学校学生的及格率为 0.9938 ，成绩

.

.

超过74分的学生占比P{X74}为 0.1587 。

其中标准正态分布函数值(1)0.8413,(2)0.9772,(2.5)0.9938.

6、有甲乙两台设备生产相同的产品，甲生产的产品占60%，次品率为10%；乙生产的产品占40%，次品率为20%。(1) 若

随机地从这批产品中抽出一件,抽到次品的概率为 0.14 ；（2）若随机地从这批产品中抽出一件，检验出为次品，则该产品是甲设备生产的概率是 3/7 .

7、设X1,...,X10及Y1,...,Y15分别是总体N(20,6)的容量为10，15的两个独立样本，X,Y分别为样本均

值，S1,S2分别为样本方差。

则：X~ N(20,3/5) ，XY~ N(0,1) ，pXY1= 0.3174 ，

22S12322S1~(9)，2~ F(9,14) 。 2S2此题中(1)0.8413。此题中(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.9987 8、设X1,.X2,X3是总体X的样本，下列的E(X)统计量中， C 最有效。 A. X1X2X3 B. 2X1X3 C.

1(X1X2X3) 39. 设某商店一天的客流量X是随机变量,服从泊松分布(),X1,...,X7为总体X的样本，E(X)的矩估计量为X，15,16,18,14,16,17,16为样本观测值，则E(X)的矩估计值为 16

10、在假设检验中，往往发生两类错误，第一类错误是指 H0 成立的条件下拒绝H0 的错误 ,第二类错误是指 H1 成立的条件下拒绝H1 的错误 ,显著水平是指控制第一类错误的概率 小于

 . a, 0x二、（6分）已知随机变量X的密度函数f(x)1x2

0 , 其它求：（1）常数a， （2）p(1X解:(1)由

3)（3）X的分布函数F（X）。

f(x)dx1,得a3)=3120 2’

3(2)p(1Xf(x)dx12dx 2’

1x232 x00  (3)F(x) 2’

arctanx 0x2.

.

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x0x2,, 三、（6分）设随机变量X，Y的概率密度分别为：fX(x)2

 , 其它0 0y1,2y, fY(y)，且随机变量X，Y相互独立。

0 , 其它（1）求（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y) （2）计算概率值pYX2。

f（x，y）f（f（, Xx）Yy） 解:(1)X，Y相互独立，可见（X，Y）的联合概率密度为

0x2,0y1xy, 2’ f(x,y)0 , 其它（2）P(YX)2yx2f(x,Y)dxdydx2xydy =

0x111 3’ 6

1nˆ)E(Xk)u, 它为u的无偏估计量. 2’E(unk1 .

(n1)s2150.7229.424.996 2’

0.520.522八、（6分）某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取

100件，经检验发现有84件为一级品,试以5%的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知Z0.051.645，提示用中心极限定理）

解 总体

X服从p为参数的0-1分布，

H0:pp00.9, H1:pp00.9 2’ X1,...,X100为总体X的样本，在H0成立条件下，选择统计量

ZXp0p0(1p0)n，由 中心极限定理，z近似服从标准正态分布，则拒绝域为zz0.05

经计算该体z2z0.05，即得 Z在拒绝域,故拒绝H0，

认为这个供应商提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求

.

.

三. 填空题（每空题3分，共计60分）

1、A、B是两个随机事件，已知p(A)0.6,p(B)0.5,p(AB)0.3，则

p(AB) 0.8 、p(AB) 0.6 ,事件A,B的相互独立性为： 相互独立 。

2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球3只、白球1只，

(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到红球的概率为： 1/3 。 (2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到红球的概率为： 9/25 。

(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到红球的概率为： 21/55 .

3、设随机变量X服从参数为100的泊松分布，则E（X）D(X) 100 ,利用“3” 法则，可以认为X的取值大多集中在 70 ---130 围。

4、设随机变量X服从N（500，1600）的正态分布,则pX580 0.0228 , Y服从N（500，900）

的二项分布, 且X与Y相互独立，则XY服从 N（1000，2500） 分布;若

pXYa0.05,则a 1082.5 。(1)0.8413；(2)0.9772,(1.645)0.95

5.已知随机变量X的密度函数f(x)0x12x,

, 其它0 则:（1）p(0.5X15)= 0.75

x00 （2）X的分布函数F（x）=F(x)x2, 0x1。

1 , 1x6、设随机变量(X,Y)具有D(X)9,D(Y)4，XY1/6，则D(XY)= 11 ，D(X3Y4)= 51 。 7、两个可靠性为p>0的电子元件独立工作，

（1）若把它们串联成一个系统，则系统的可靠性为：p； （2）若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为：1(1p)；

221X〈2 2/3；E(X)_1.5 ， 8、若随机变量X~U(0,3)，则p〈D(2X1) 3 ．

二、（6分）计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障

.

.

的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？

解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件

N1,N2,N3。则根据全概率公式有

3P(M)P(Ni)P(M|Ni)0.60.010.30.050.10.040.025，

i1根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为

P(N(N1)P(M|N1)1|M)PP(M)0.60.010.0250.24，

P(NP(N2)P(M|N2)0.302|M)P(M).050.0250.60，

P(N3)3|M)P(N3)P(M|NP(M)0.10.040.0250.16。

三、（6分）设随机变量X，Y的概率密度分别为：fex,X(x)0 f2y, 0y1,Y(y)，且随机变量X，Y相互独立。0 , 其它

（1）求（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y) （2）计算概率值pY2X。

解:(1)

X，Y相互独立，可见（X，Y）的联合概率密度为

f（x，y）f（Xx）f（Yy）, f(x,y)2exy, 0x,0y1 30 , 其它’

P(Y2X)dxdyydx2e1/2 3‘

yf(x,Y)2x10dyy2ex2

.

0x, , 其它，