《概率论与数理统计》期末复习材料(南师大)

《概率论与数理统计》复习大纲

第一章 随机事件与概率

基本概念 随机试验E----指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果。 样本点 ---随机试验E的每一个可能出现的结果 样本空间----随机试验E的样本点的全体 随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集。 必然事件---每次试验中必定发生的事件。 不可能事件--每次试验中一定不发生的事件。 事件之间的关系 事件之间的运算 包含AB 相等A=B 对立事件，也称A的逆事件 互斥事件AB=也称不相容事件 A，B相互独立 P(AB)=P(A)P(B) 例1事件A，B互为对立事件等价于（ D ） A、A，B互不相容 B、A，B相互独立 C、A∪B＝Ω D、A，B构成对样本空间的一个剖分 例2设P(A)=0，B为任一事件，则（ C ） A、A= B、AB C、A与B相互独立 D、A与B互不相容 事件的交AB或A∩B 事件的并A∪B 事件的差A-B 例1设事件A、B满足A∩B¯ =，由此推导不出 (D) A、AB B、A¯ B¯ C、A∪B=B D、A∩B=B 例2若事件B与A满足 B – A=B，则一定有 (B) ‾ = A-AB = (A∪B)-B A、A= B、AB= C、AB¯ = D、B=A¯ 注意： A-B = ABn∪Ai= A1,A2,…,An构成的一个互斥完备事件组指A1,A2,…,An两两互不相容，且i=1

交换律A∪B=B∪A A∩B=B∩A 运结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 算分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) 法‾‾B =A‾∩B‾ A∩B‾‾ =A‾∪B‾ 对偶律 A∪则 文氏图 事件与集合论的对应关系表 记号    A ‾ AAB A=B A∪B AB A-B AB=

概率论 样本空间，必然事件 不可能事件 基本事件 事件 A的对立事件 事件A发生导致事件B发生 事件A与事件B相等 事件A与事件B至少有一个发生 事件A与事件B同时发生 事件A发生但事件B不发生 事件A与事件B互不相容（互斥） 集合论 全集 空集 元素 全集中的一个子集 A的补集 A是B的子集 A与B相等 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A与B没有相同的元素

古典概型的前提是={1, 2, 3,…, n,}, n为有限正整数，古典概型 且每个样本点i出现的可能性相等。 例1设3个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1个的事件A1，最多为2个的事件A2的概率。 [解]：每个球有4种放入法，3个球共有43种放入法，所以||=43=64。 (1)当杯中球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰有一个3球，所以|A1|= C43！=24；则P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为2个1211时，相当于四个杯中有1个杯子恰有2个球(C4C3)，另有一个杯子恰有1个球(C3C1)，1211所以|A2|= C4C3C3C1=36；则P(A2)=36/64 =9/16  例2从1,2,…,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为10的概率p1；(2)三数之积为21的倍数的概率p2。 112C3C5+C313[解]：p1= = , p2= =  321314 C9 C94A包含样本总个数|A|P(A)= = ||样本点总数P9-10，例1.2.4~1.2.7 特别地 1.2.7 分房问题 前提是如果在某一区域任取一点，而所取的点落在中任意两个度量相等的子区域的可能性是一样的。 若A， A的度量的度量例1把长度为a的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。 [解]：设折得的三段长度分别为x,y和a-x-y，那么，样本空间，S={(x,y)|0xa,0ya,0a-x-ya}。而随机事件A：”三段构成三角形”相应的区域G应满足两边之和大于第三边的原则，得到联立方程组， a-x-y概率的公理化定义 要求函数P(A)满足以下公理： (1)非负性，有P(A)0; (2)规范性:P()=1; (3)可列可加性：对两两互斥事件A1,A2,…,An有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+ P(A2)+…+ P(An) 概率公式 ‾)=1- P(A) 求逆公式 P(A加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当AB时，有P(A-B)=P(A)-P(B) ‾ = A-AB = (A∪B)-B 注意： A-B = ABP(AB) ; (P(B)>0) P(B)条件概率公式：P(A|B)= P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率。 概率公全概率公式：P(B)= 式 贝叶斯公式：P(Ak|B)= P(B|Ak)P(Ak) = P(B)P(B|Ak)P(Ak)例1.3.4 n  P(B|Ai)P(Ai)i=1乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)>0, P(B)>0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)>0)，例1.3.2 ni1P(B|Ai)P(Ai) 其中A1,A2,…,An构成的一个互斥完备组。例1.3.3

例1设两两相互独立的三个事件A, B和C满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2, 且已知 P(A∪B∪C)=9/16，则 P(A)= 。 [解]: P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-[P(AB)+P(AC)+P(BC)]+P(ABC), 令P(A)=x, 则3x –3x2=9/16  16x2-16x+3=0  x=1/4 或3/4(舍去) 则P(A)=1/4  例2某射击队共有20个射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人，一、二、三、四级射手能够进入正式比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5和0.2，求任选一名选手能进入正式比赛的概率。 应用题 [解]:设Ak=选中第k级选手, k=1,2,3,4，B=进入正式比赛。由已知P(A1)=1/5, P(A2)=2/5, P(A3)=7/20, P(A4)=1/20; P(B|A1)=0.9, 例3某物品成箱出售，每箱20件，假设各箱中含0、1件次品的概率分别为0.8和0.2，一顾客在购买时，他可以开箱，从箱中任取三件检查，当这三件都是合格品时，顾客才买下该箱物品，否则退货。试求：（1）顾客买下该箱的概率  ； （2）顾客买下该箱物品，问该箱确无次品的概率  。 [解]:设事件A0—箱中0件次品, A1—箱中1件次品，事件B—买下该箱。由已知P(A0)=0.8, P(A1)=0.2, P(B|A0)=1, P(B|A1)=19/20  18/19  17/18=17/20, (1) =P(B)= P(A0)P(B|A0)+ P(A1)P(B|A1)=0.81+0.27/20=0.97 ; (2) =P(A0|B)= P(A0B)/P(B)= P(A0)P(B|A0)/P(B)=0.8/0.97= 0.8247  事件的独立性 如果事件A与事件B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。 结论：1. 如果P(A)>0，则事件A与B独立 P(B|A)=P(B) ‾独立 2. 事件A与事件B独立事件A与事件B‾与事件B独立事件A‾与事件B‾独立 事件A事件A1,A2,…,An相互独立---指任意k个事件Ai1,Ai2,…,Aik满足P(Ai1∩Ai2∩…∩Aik) =P( Ai1)P(Ai2)…P(Aik)，其中k=2,3,…,n。 P(B|A2)=0.7, P(B|A3)=0.5, P(B|A4)=0.2. P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)+ P(A4)P(B|A4)=1/50.9+2/50.7+7/200.5+1/200.2=0.645 

例1.4.4可靠性 元件的可靠性P(A)=r 系统的可靠性： 串联方式 P(A1∩A2∩…∩An)=rn 并联方式 P(A1∪A2∪…∪An)=1-(1-r)n ‾；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生指在相同条件下进行n次试验；每次试验的结果有且仅有两种A与A‾)=1-p。 的概率相同P(A)=p, P(A贝努里概型 二项概率---在n重独立试验中，事件A恰好发生k次的概率为b(k;n,p)，则 kB(k;n,p)= Cnpk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,…,n)。 典型例1.4.6 第二章 随机变量与概率分布

分布函数定义： F(x)=P{X≤x}, -a}=1-F(a), P{X≥a}=1-F(a-0), 求：(1) 常数A,B； (2) X落入（-1，1）的概率。 [解]：因为F(+∞)=1, F(-∞)=0，所以A + B/2=1，A - B/2=0， 11解得 A=1/2, B=1/ . 即F(x) = + arctanx . 2X落入（-1，1）的概率为P{-1型随机变量 离散型随机变量常见分布：（注意和实际的结合，例2.2.3，例2.2.4） 1)两点分布X~(0,1)；X的取值只有0或1，其概率为P{X=0}=p, P{X=1}=1-p k2)二项分布X~B(n,p)；分布律为 b(k;n,p)= P{X=k}= Cnpk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,…,n) 其中 0C例1设随机变量X的分布列为P{=k}=k ，k=1,2,…，则2常数C= ( ) A、1/4 B、1/2 C、1 D、2 例3设离散型随机变量的c/2(因为 P{X=k}=1, 即 =1, 所以c=1 ) 1-1/2k=1例2某射手有5发子弹，射一次命中的概率为0.9，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用仅。求耗用子弹数X的分布列。 ∞概率分布为 其分布函数为F(x)，则F(3)= ( ) A、0 B、0.3 C、0.8 D、1 (选D，因为F(3)=p(0)+p(1)+p(2)=1) [解]：X的分布列为 X 1 2 3 4 5 概率p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001  0 1 2 p 0.3 0.5 0.2 离散型例题 定义：-随机变量可能取的值连续地充满一个范围, 如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数p(x)，使得对于任意x实数x，有 F(x)=  p(u)du， 则称X为连续型随机变量，其-∞连续型型随机变量的性质： 1.分布函数是连续函数； 2 F(x)=p(x); 3 P{X=a}=0, 所以P{ab { e-x x0 分布函数 F(x)= 0 x<02{1-e-x x0 0 x<0)1-(t-23)正态分布X~N(,)；密度函数p(x)= e2 (-∞例1设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX2}= . [解]：因为X 服从参数为1的泊松分布，所以 EX2=DX+ (EX)2=1+12=2， 1于是 P{X=EX2}=P{X=2}=e –1  2连例2设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间EX为5小时。设备定时开机，出续现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障的时间Y的分布函数 F(y)。 型[解]: X~E(), 因为EX=1/=5  =1/5, 每次开机无故障的时间Y=min{X,2}, 例易见当y<0 时，F(y)=0；当y2时，F(y)=1； 题 当0y<2时，F(y)=P{Yy}=P{ min{X,2}y}=P{Xy}=1-e-y/5。 0 若y<0-y/5所以Y的分布函数 F(y)= 1-e 若0y<2 1 若y2



随机变量的

1．离散型的求法

设离散型随机变量X的分布律为：

1

2

k

x x … x …[X P p p … p …] ,则

1

2

k

1

2

k

X的函数Y=g(X)的分布律为：

g(x) g(x) …g(x) …

[Y P p p … p …], 当g(x)有相同情况时，概率为相应之和。例2.4.1

1

2

k

j

2．连续型的公式法：例2.4.3

设X为连续型随机变量，其密度函数为fX(x)，设g(x)是一严格单调的可导函数，其值域[,]，且g(x)0，记x=h(y)

函数的概率分布

fX(h(y))|h(y)|  0 其它

3．连续型的直接变换法(分布函数法)：例2.4.2

FY(y)=P{Yy}= P{g(x)y}= P{XS}，其中S={x|g(x)y}，然后再把FY(y)对y求导，即得fY(y) dFY(y)/dy 当FY(y)在y处可导时fY(y)=

0 当F(y)在y处不可导时Y

X -1 0 1 2例1设X的分布律为：P 0.2 0.3 0.1 0.4，求Y=(X-1)2的分布律。 随机变例2设随机变量X的分布函数为FX(x)，求随机变量Y=3X+2的分布函数FY(y). 量的函数的概率分布的例题 y-2y-2[解]：FY(y)=P{Yy}= P{3X+2y}= P{X}= FX()  33X -1 0 1 2[解]：先由X的值确定Y的值，得到Y 4 1 0 1，将Y的值相同的X的概率合在一起，得到Y的分布律[][][Y 4 1 0 P 0.2 0.7 0.1]。 3x2 -1第三章 随机向量及其概率分布

二维随机变量 二维随机向量(X,Y )的联合分布函数指F(x,y)=P{Xx,Y y} 0F(x,y)1 ; F(-∞,+∞)= F(x,-∞)= F(-∞,y)=0; F(+∞,+∞)=1; P{x1< X x2,y1< Y y2}=F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+F(x1,y1) 二维随机向量(,)的边缘分布函数 F(x)= P{ X x}=F(x,+∞), F(y)= P{Yy}=F(+∞,y) 二维离二维离散型随机变量及其概率分布例3.3.1 例1设二维随机向量(X,Y )的联合分布律为 Y\\X 1 2 则常数= （ ） A、1/6 B、1/4 C、1/3 D、1/2 1 1/6 1/4 2 1/3  P{=xi,=yj}=pij , 其中   pij=1 且 pij0 i=1j=1 可用一个分布列表或分布列矩阵 (pij) 来表示 散随机变量 的边缘分布列为 P{X=xi}= pij = pi* j=1 的边缘分布列为 P{Y=yj}= pij = p*j i=1 [答案]：  pij=1 所以 =1/4 , 选B.  i=1j=1

二维连续随机变量 xy二维连续型随机向量(X,Y)的分布函数F(x,y)= p(u,v)dudv. 例3.1.4 -∞-∞+∞+∞2F(x,y) p(x,y) 称为随机向量(X,Y)的联合密度函数p(x,y)0, p(x,y)dxdy=1 , =p(x,y) -∞-∞xy利用密度函数求概率 P{(X,Y)D}=p(x,y)dxdy D二维连续型随机向量(X,Y)的边缘分布, pX(x)，pY(y) 称为边缘密度函数 +∞+∞PX(x)= p(x,y)dy pY(y)= p(x,y)dx -∞-∞

二元正态分布 (X,Y)在区域D上服从均匀分布设D是xOy面上的有界区域，其面积为A。如果二维随机变量(X,Y)具有概率密度 f(x,y)= 二元正态分布N(1,2,12,22,)的密度函数 11(x-1)22(x-1)(y-2)(y-2)2p(x,y)= exp{-[ - + ]} 2(1-2)1212222121-2二元正态分布N(1,2,12,22,)的边缘密度分布仍是正态分布 ~N(1,12) , ~N(2,22) 边缘概率密度为 fX(x)= 11(x-1)2(y-2)21e-212 , fY(y)= e-222 2221 (x,y)DA0 其他，则称 (X,Y)在区域D上服从均匀分布。 例0 :设 (X,Y) 服从区域D：｛(x, y)：a≤x≤b, c≤y≤d｝上的均匀分布，求 （1）(X,Y) 的联合概率密度p(x, y)； （2）X, Y 的边际概率密度 pX(x) , pY(y) ;  1 axb cyd[解]：(1) f(x,y)= (b-a)(d-c) 0 其他 ; +∞+∞ 1 axb 1 cyd(2) pX(x)= p(x,y)dy =b-a, pY(y)= p(x,y)dx=d-c -∞-∞ 0 其他 0 其他

xy例1设二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)=A(B+arctan)(C+arctan)。试求：(1)常数A,B,C；(2) (X,Y)的概率密度。[解]：23x由分布函数性质，得到F(+∞,+∞)=A(B+)(C+), F(x,-∞)=A(B+arctan)(C-)=0, 2222y11xy F(-∞,y)=A(B-)(C+arctan)=0, 解得 A=2, B=C= . 即F(x,y)= 2(+arctan)(+arctan)。 23222322F(x,y)6(2) f(x,y) = = 22 .  xy(x+9)(y2+4)例2: 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}1}。. [解]：P{max{X,Y}1}=P{X1且Y1}，因为X与Y相互独立，所以 111111P{X1且Y1}= P{X1}P{Y1}== 。（这里P{X1}=dx= ）  3393031， 0例4设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 2x+cxy 0x1.0y2f(x,y)=   0 其他综上所述 求(1)常数C; (2)P{X+Y1};(3)联合分布函数F(x,y). [解]：(1)由的概率密度性质得到 +∞+∞12211=f(x,y)dxdy=(x2+cxy)dxdy=+c  c= ; 33-∞-∞00(2) P{X+Y1}= f(x,y)dxdy= f(x,y)dxdy Dx+y1121541652xy=dx(x+)dy=(x3+x2+x)dx = 37201-x0632(3) 当x<0或y<0时， xyF(x,y)= p(u,v)dudv=0; -∞-∞当0x1, 0y<2时， xyxyuvx3yx2y2F(x,y)= p(u,v)dudv=(u2+)dudv=+; 3312-∞-∞00当0x1, y2时， F(x,y)=  0 x<0或y<0x3yx2y2+ 0x1及0y<23122x3x2+ 0x1及y2 33yy2+ x1及 0y<2312 1 x1及y2 xyx22x3x22uvF(x,y)= p(u,v)dudv=(u+)dudv=+; 333-∞-∞00当x1, 0y<2时， xy1yyy22uvF(x,y)= p(u,v)dudv=(u+)dudv=+; 3312-∞-∞00当x1, y2时， xyF(x,y)= p(u,v)dudv=1 -∞-∞

若F(x,y)=F(x)F(y)，则称随机变量与相互独立。 几个充要条件： 例：袋中有2只白球，3只黑球,现进行无放回地摸球，定义： [解]:(,)的联合分布与边际分布为 \\  0 1 p 0 3/10 3/10 6/10 1 3/10 1/10 4/10 p 6/10 4/10 独立性

连续型随机变量与相互独立 p(x,y)=p(x)p(y) 离散型随机变量与相互独立 pij=pipj 二元正态分布N(1,12,2,22,) 随机变量与相互独立=0。 X与Y相互独立f(X)与g(Y)也相互独立。典型例3.4.1  1 第一次摸出白球 =  0 第一次摸出黑球 1 第二次摸出白球=  0 第二次摸出黑球求:(1)（，）的联合分布； （2）， 的边际分布； （3）， 是否相互独立？ 因为 p(0,0)=3/10p(0)p(0)=9/25 所以与不独立。  1 若A出现1 若B出现例2：设A, B是二随机事件；随机变量 X= Y= -1 若A不出现-1 若B不出现试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立。

8xy 0x1及0yx例3设(X,Y)的概率密度为，f(x,y)=  , 求：关于X及关于Y的边缘概率密度，并判断X与Y是否 0 其他相互独立。 +∞x[解]：关于X的边缘概率密度fX(x)= f(x,y)dy, 当0x1时，fX(x)= 8xydy=4x3, 当x<0或x>1时，fX(x)=0; 所以 fX(x)= -∞0314x 0x1 。同理当0y1时，fY(y)= 8xydx=4y(1-y2), 其它情况fY(y)=0, 所以关于Y的边缘概率密度fY(y)= y 0 其他24y(1-y) 0x1. 因为当0x1, 0y1时，f(x,y) fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立。  0 其他两个随机变量的函几条结论： 1. P71，例3.5.1离散型随机变量的Z=X+Y,X-Y,XY,X/Y, Max{X,Y},Min{X,Y}; 2. X~P(1), Y~P(2), 若X与Y相互独立，则X+Y~P(1+2); 3. X~B(n1,p), Y~B(n2,p), 若X与Y相互独立，则X+Y~B(n1+n2,p); 4. X~N(1,12), Y~ N(2,22), X与Y相互独立，则X+Y~ N(1+2,12+22); 5.(卷积公式)设(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)，关于X,Y的边缘概率密度分别为fX(x), fY(y)，设 +∞+∞fZ(z)=  f(x,z-x)dx==  f(z-y,y)dy -∞-∞+∞+∞+∞+∞X与Y相互独立，则Z=X+Y的概率密度为 fZ(z)= fX(x)fY(z-x)dx=f(x, z-x)dx 或fZ(z)= fX(z-y)fY(y)dy=-∞-∞-∞-∞f(z-y, y)dy.

0 1 2X|Y 例1:已知的联合概率分布为  0 1/4 1/10 3/10, 求(1)X+Y的概率分布；(2)XY的概率分布。  1 3/20 3/20 1/20 0 1 2XY 0 1 2 X+Y [解]：令Z1=X+Y，则Z1的加法表为 0 0 1 2,令Z2=XY，则Z2的乘法表为 0 0 0 0,  1 1 2 3 1 0 1 2Z1 0 1 2 3Z1 0 1 2 3(1) Z1的分布律为P 1/4 3/20+1/10 3/20+3/10 1/20, 即P 1/4 5/20 9/20 1/20 Z1 0 1 2Z1 0 1 2(2) Z2的分布律为P 1/4+3/20+1/10+3/10 3/20 1/20, 即P 4/5 3/20 1/20  例2:设随机变量X,Y相互独立，且都服从[0,1]上的均匀分布，求X+Y的概率密度。典型例3.5.3 [解]：X~U[0,1], Y~U[0,1], 所以Z=X+Y在有效区间[0,2]上取值。利用卷积公式得到 +∞fZ(z)= fX(x)fY(z-x)dx。 积分变量的有效区域为 0x1, 0z-x1  0xz, z-1x1. -∞z1当0z1时，fZ(z)= 11dx=z; 当1

第四章 随机变量的数字特征

1. 随机变量数学期望的定义 离散型 E()=xipi E(g())=g(xi)pi i=1i=1+∞连续型E()= -∞xp(x)dx E(g())= +∞-∞g(x)p(x)dx [解]∵1= 2. 二维随机变量(X,Y)的数学期望： 离散型 E(X)=xipi*=  xipij 例4.1.8 i=1ij数学期望 E(Y)=  yjp*j=  yipij jij+∞+∞连续型E(X)= xf(x)dx=  xf(x,y)dxdy -∞X-∞-∞+∞+∞E(Y)= yf(y)dy=  yf(x,y)dxdy -∞Y-∞-∞3. 二维随机变量X的函数Z=g(X,Y)的数学期望： E[g(X,Y)]=   g(xi,yj)pij ij+∞+∞E[g(X,Y)]=   g(x,y)f(x,y)dxdy例4.1.11 -∞-∞4. 数学期望的性质 E(c)=c , E(a)=a , E()=EE 若与相互独立，则 E()=EE -∞