数列专题

【知识概要】 一、数列的概念 ●1. 数列的有关概念：

（1）定义：按一定的次序排列的一列数；它是定义域为N（或N的有限子集）的函数f(n)所对应的一列函数值f(1),f(2),L,f(n),L，数列是自变量离散变化的函数。

（2）通项公式：数列的第n项an与项数n之间的函数关系，如果能用一个公式表示，这个公式叫做数列的通项公式。 ●2. 数列的表示法：

（1）列表法：用列表法给出函数关系，自变量省略，仅列出函数值；如：

2,4,8,16,L

（2）图象法：以序号为横坐标，相应项an为纵坐标，描点画图得到函数图象，用一群孤立点(n,an)表示。

（3）解析法：一般用通项公式anf(n)表示，或用递推关系式表示。 如an2an11,a11)

●3. 数列{an}的通项an与前n项和Sn的关系：

nS1(n1) an，其中Snaia1a2an

SnSn1(n2)i1 ●4. 两个重要的变形：

（1）ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) （2）ana1

aa2a3n(n2) a1a2an1 壹

二、等差数列和等比数列 等差数列 如果anan1d（常数）(n2)，●1. 定那么{an}就称为等差数列，d为公义 差。 ●2. 通ana1(n1)d,anam(nm)d 项 公式 ●3. 中a,A,b成等差数列2Aab 项 aa 公ann1n12anan1an12式 (n2) 前n n(a1an)Sn ●4. 项2和 n(n1)d 公或Snna12式 1）若正自然数m、n、p、q满足 mnpq，则amanapaq。 mnpq，则amanapaq。 等比数列 如果anq（常数）(n2)，那么an1{an}就称为等比数列，q为公比。 ana1qn1,anamqnm a,G,b成等比数列 G2ab(ab0) 2anan1an1(n2) (q1)na1 Sna1(1qn)a1anq1q1q(q1)1）若正自然数m、n、p、q满足 2）若{an}为等比数列，且 2）若{an}为等差数列，则 Sn,S2nSn,S3nS2n,L均不为零， ●5. 重要 Sn,S2nSn,S3nS2n,L为等差数列。 则Sn,S2nSn,S3nS2n,L为等比数 性质 列。 3）若{an}为等差数列，则 3）若{an}为等比数列，则 1，a，{a}也是n panq也是等差数列，公差为 an2，nanpd。 等比数列，公比分别为q2,1,q,q。 q贰

●6. 充要 条件 ●7. 相互 关系 等差数列 {an}为等差数列Snan2bn 等比数列 an2an1an1(an,an1,an10) {an}为等比数列。 2anan1an1(n2)。 1）设a0且a1，则ax,ay,az,L成等比数列x,y,z,L成等差数列。 2）{an}是正项等比数列{logcan}是等差数列。 三、数列通项公式的求法

●1. 根据Sn，利用公式anS1(n1)nn1SS(n2)求通项an。

●2. 根据数列的递推关系，叠加法、累乘法求通项an，其要点是： （1）ana1(a2a1)(a3a2)L(anan1)；（2）ana1a2a3Lan(n2)

a1a2an1 ●3. 构造新的等差、等比数列，转化法求通项an。 四、特殊数列求和

●1. 利用等差、等比数列的公式求和。 ●2. 倒序相加法求和。

●3. 乘公比错位相减法求和. 适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成的数列。

●4. 裂项法求和. 它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项（裂项），并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消.常见裂项公式： （1）

111(11) （2）1(nkn)

n(nk)knnknknk ●5. 分组求和. 通过拆和组的手段把问题化归为可求或易求的数列的问题。 五、数列应用题

在应用问题中，根据问题构造等差、等比数列的模型，然后再用数列的通项公式或求和公式等知识求解。

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