广西桂林中学2011-2012学年高二下学期期中试题数学

高二数学试题

时间 120分钟, 满分150分

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题, 共

60分)

一 、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）

1．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选法的种数是（ ）

（A）54 （B）45 （C）5432 （D）2.已知a、b是异面直线，直线c∥a，那么c与b （ ） （A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线

（C）不可能是平行直线 （D） 不可能是相交直线

3. 已知三条直线m、n、l，三个平面、、，下列四个命题中，正确的是 （ ）

m// （B）//l

lmm//m（C） （D）m//nm//n

nn//54324!

（A）

4. 下列四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的

个数为 ( )

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D ) 4 5．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足

是 （ ）

（A）钝角三角形 （B）直角三角形 （C）锐角三角形 （D）不确定

ABAC0

，ACAD0，ABAD0，则△BCD

6.P是⊿ABC所在平面外一点，且PAPBPC.PH平面ABC.垂足为H，则H为△

ABC的 （ ）

（A）垂心 （B）外心 （C）内心 （D） 重心

7. 直线PA矩形ABCD,且AB3.BC4.PA1,则点P到对角线BD的距离是（ ） （A）

292 （B）

165 （C）

135 （D）

1195

8. 正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则

动点P的轨迹为一段 （ ） （A）圆弧 （B）双曲线弧 （C）椭圆弧 （D）抛物线弧

9. 正四面体ABCD，E是AD中点，则直线CE与直线BD所成的角的余弦值为 （ ） （A）36 （B） 32 （C）336 （D）

12

10．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，则A、D1两点间的球面

距离为 （ ） （A）

23 （B）

223 (C)

3 (D)

23

311. 若地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，且这两点间的球面距离为则北纬45°R，

圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为 ( ) （A）32 （B）33 （C）34 （D）235 12. A、B两点在平面的同侧，AC于C.BD于D.ADBCE、EF于F，

ACa、BDb，则EF的长是 （ ）

（A）

abab （B）

abab (C)

2ab (D)

ab2

第Ⅱ卷(非选择题,共90分)

二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，满分20分）

13. 若长方体的长、宽、高分别为3,4,5，则这个长方体的对角线长为__________ 14. 由0,1,2,3,4,5共6个数字可组成没有重复数字且能被5整除的六位个数为__________。

15. 长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，高为4，则顶点A1到截面AB1D1的距离为__________ 16.如图，正方体ABCDA1B1C1D1.则下列四个命题 ①P在直线BC1上运动时,三棱锥AD1PC的体积不变;

DB数字的

CAD1A1B1C1②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变； ③P在直线BC1上运动时,二面角PAD1C的大小不变；

④M是平面A1B1C1D1上到点A1和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线B1D1； 其中真命题的编号是_____________

三、解答与证明题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） (1)

A8A9585422 （2）解方程：An7An4 nN

2A84A8

18．（本小题满分12分） 7名学生按要求排成一排，分别有多少种排法？

(1) 甲乙二人不站在两端； （2）甲、乙、丙必须相邻；；

（3）７名学生中有４男３女，4名男生站在一起,3名女生要站在一起。

19. （本小题满分12分） 已知正三棱锥的的侧面积为183cm2，高为3cm，

求它的体积。

20.（本小题满分12分）求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行。

21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=（1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

E

D F A

B

C

22AD．

P

22．（本小题满分12分） 四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=22，SA＝SB＝3。 (1)证明：SA⊥BC；

(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小； (3）求二面角D-SA-B的大小．

S 姓名

D C A

B

考号 桂林中学2011-2012学年度下学期期中考试

高二数学答题卷

一 、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）

班级 题号 1 答案 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D A C B C D A A B A 二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，满分20分）

4313. 52 14、 216 15、 16、 ①③④ 密封线内请勿答题三、解答与证明题：（本大题共6小题，满分70分，）

17 . （本小题满分10分） 解：（1）原式=

(249)A(84)A4848A8A49A8444442(851)A84A854……………5分

（2）解：原方程可化为： n(n1)7(n4)(n5) …………7分 即：3n231n700

解得：n7或nn7

103(nN,舍去）

*

………………10分

18. （本小题满分12分） 解：(1) A52A55545！=2400种………4分

（2）A33A55720； ………………8分

（3）A22A44A33288种 …………12分

19. （本小题满分12分）解：设正三棱锥的度面边长为a，斜高为h'，底面内切圆半径为r。

S底183123ah'183 ………………2分

a2又h3 ，r36a,h'912, ………………4分

123a9a212183得

A

a36.S底V三棱13234a932. …………10分

33939

………………12分

B

C D

平面都平行，

20. （本小题满分12分）求证：如果一条直线和两个相交那么这条直线和它们的交线平行。……………… 已知：如图，l,a//,a//.

求证：a//l. …………2分

证明：过作平面交于b，

a// l



………4分

a//b

同样， 过a作平面交于c。

b//c …………6分

a

又b，c ，b//。 ………8分 又平面经过b交于l，

b//l. …………10分

又a//b，a//l ………………12分

21（本小题满分12分）

【解析】（1）证明：连结AC，则F是AC的中点，

E为PC的中点，故在△CPA中， EF//PA， ……2分

且PA平面PAD，EF平面PAD， ∴平面PAD ……6分 EF∥

（2） 证明：因为平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，

CDPA 又PAPD又CDAD，所以，CD⊥平面PAD，∴

22AD，所以△PAD是等

腰直角三角形，…8分

且APD

PA⊥又CDPDD， ∴平面PCD，

2， 即PAPD

又PA平面PAB，所以平面PAB平面PCD ……12分

22. （本题满分12分）

解：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平

面ABCD． …

因为SASB，所以AOBO．

又∠ABC45，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz

A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，CB(0，22，0)，

01)， 2，0)，S(0，0，1)，SA(2，，z S

G SACB0，…所以SA⊥BC．………………………4分 （2）取

22AB中点E，E，，0， 222，21，42C D x O E B y

A 连结SE，取SE中点G，连结OG，G4．

222120)． OG，，，SE，，1，AB(2，2，42422SEOG0，ABOG0，

OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．

所以OG平面SAB，OG与DS的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，

则与互余．

22，1)． D(2，22，0)，DS(2，cosOGDSOGDS2211，所以 sin2211，……………8分

221（3）由上知OG为平面SAB的法向量，OG，，。易得D(2,22,0) 442DA(0,22,0),SA(2，，01)

同理可求得平面SDA的一个法向量为m(1,0,2) ………10分

cosm,OGmOG32|m||OG|

由题知所求二面角为钝二面角，故二面角D-SA-B的大小为1500。……………………

12分