上海市普陀区2021届高三一模数学试题及答案

2020.12

考生注意:

1.本场考试时间120分钟.试卷4页，满分150分，答题纸共2页.

2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.

3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上或试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上 作答一律不得分.

4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1. 若集合A{x|0x1}，B{x|(x1)(x2)0,xR}，则AB . 2. 函数yx2（x0）的反函数为 . 3. 若

1且cos，则tan . 231，则a3 . 24. 设无穷等比数列{an}的各项和为2，若该数列的公比为

5. 在x14的二项展开式中x项的系数为 . x86. 若正方体的棱长为1，则该正方体的外接球的体积为 .

x2y21的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C的方程为 . 7. 若圆C以椭圆

16128. 一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色.经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为 . 9. 设f(x)11lgx，则不等式f(1)1的解集为 . xx10. 某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14、10、6（单位：m），且该区域的租金为每天4元/m.若租用上述区域5天，

2则仅场地的租用费约需 元.（结果保留整数）

（第10题图） 11.如图所示，在直角梯形ABCD中，已知AD//BC，ABC2，ABAD1，BC2，M

CD上的动点，为BD的中点.设P、若P、M、 Q三点共线，则AQCP Q分别为线段AB、

的最大值为 .

12.设b、c均为实数，若函数f(x)xbc在区间 xA D M （第11题图）

P B Q C

[1,)上有零点，则b2c2的取值范围是 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.曲线y28x的准线方程是（ ）.

(A)x4 (B)x2 (C)x2 (D)x4

14.设x、y均为实数，且

x362145y7，则在以下各项中(x,y)的可能取值只能是（ ）.

(A)(2,1) (B) (2,1) (C)(1,2) (D)(1,2)

15. 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长AB2，高A1A4，E为棱A1A的中点.设BAD、BED、B1ED，则、、之间的关系正确的是（ ）.

(A) (B) (C)  (D)

16.设b、c均为实数，关于x的方程x2b|x|c0

在复数集C上给出下列两个结论：

①存在b、c，使得该方程仅有两个共轭虚根； ②存在b、c，使得该方程最多有6个互不相等的根. 其中正确的是（ ）.

A 不正确

E D （第15题图）

D1 A1 B1 C1

C B (A)①与②均正确 (B)①正确，②

(C)①不正确，②正确 (D)①与②均不正确

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤.

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设a为常数，函数f(x)asin2xcos(22x)1（xR） （1）设a3，求函数yf(x)的单调递增区间及频率f；

（2）若函数yf(x)为偶函数，求此函数的值域.

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

x2y21的左、右焦点分别为F1、F2，直线l经过F2且与的两条渐近线中双曲线：

169的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.

（1）设P为右支上的任意一点，求|PF1|的最小值；

（2）设O为坐标原点，求O到l的距离，并求l与的交点坐标.

19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用. 如图，一顾客自一楼点A处乘Ⅰ到达二楼的点B处后，沿着二楼面上的圆弧BM逆时针步行至点C处，且C为弧

BM的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D处.设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为O、O1、O2，半

径为8米，相邻楼层的间距AM4米，两部电梯与楼面所成角的大小均为arcsin（1）求此顾客在二楼面上步行的路程；

（2）求异面直线AB和CD所成角的大小（结果用

反三角函数值表示）.

1. 3（第19题图）

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知无穷数列{an}的首项为a1，其前n项和为Sn，且an1and（nN），其中d为

*常数且d0.

（1）设a1d1，求数列{an}的通项公式，并求lim(1n1)的值； an（2）设d2，S77，是否存在正整数k使得数列{nSn}中的项kSk2成立？若存在，求出满足条件k的所有值；若不存在，请说明理由.

（3）求证：数列{an}中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m且

m1，使得a1md.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

2x,x0 已知函数f(x)

log2x,x0（1）解不等式xf(x)0；

（2）设k、m均为实数，当x(,m]时，f(x)的最大值为1，且满足此条件的任意实数x及m的值，使得关于x的不等式f(x)m2(k2)m3k10恒成立，求k的取值范围；

（3）设t为实数，若关于x的方程ff(x)log2(tx)0恰有两个不相等的实数根x1、x2且

x试将21log2x2x1x2，

1表示为关于t的函数，并写出此函数的定义域.

2|x11||x21|

普陀区2020学年第一学期高三数学质量调研评分细则

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1--6题每题4分，第7—12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.0,2 2.yx2（x0） 3.22 4.

113 5.28 6. 427.(x2)2y216 8.

111 9.0, 10.520 11.2 12.,. 222二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

题号 答案 13 C 14 B 15 B 16 A 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤.

17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 【解】（1）当a由2k3时，f(x)3sin2xcos2x12sin(2x2x6)1……2分

262k2，得k3xk6，所以此函数的单调递增区间为

21kZf，. ……4分 频率.……6分 k,k236（2）定义域DR，因为函数yf(x)为偶函数，所以对于任意的xR，均有f(x)f(x)成立.……7分即asin(2x)cos(2x)1asin2xcos2x1……9分 也即2asin2x0对于任意实数x均成立，只有a0.……11分 此时f(x)cos2x1，因为1cos2x1，……12分 所以01cos2x2，故此函数的值域为[0,2].……14分

18.（1）根据题设条件，可得F1(5,0).设P(x0,y0)，其中x04,且y0 |PF1|292x09……2分 16(x05)2y0|25x04|，x04……4分 4所以当x04时，|PF1|min9.…………6分

（2）F2(5,0)，的两条渐近线方程为y3x，……8分 4根据题设条件，可得l：3x4y150.……9分 O到l的距离d|304015|34223.……10分

将l与的方程联立，得3x4y1509x16y14422……11分，消去y得，10x41，……12分

解得x4.1，代入得y0.675，所以l与的交点坐标为(4.1,0.675).……14分 19.（1）过点B作1楼面的垂线，垂足为B,则B落在圆柱底面圆上，连接BA，则BA即为BA''''''在圆柱下底面上的射影，所以BAB即为BA与楼面所成的角，即BABarcsin1.……2分 3BB'AM4，可得AB82……3分.△AOB'中，OAOB'8,所以△AOB'是等腰直角

'三角形.故BO1MAOB2.……5分

又因为ABCD，所以弧BC的长为842，所以此顾客在二楼面上步行的路程为2米.…7

分

（2）由（1）可知OA,OB',OO2两两互相垂直相交，于是以O为坐标原点，以射线

z OB',OA,OO2分别为x,y,z轴建立空间

直角坐标系，如图所示.……8分

易得B(8,0,4),A(0,8,0),C(42,42,4),

y

D(42,42,8),向量AB(8,8,4),

x B' （第19题图） CD(82,0,4)……10分 |ABCD|4210，……12分

9|AB||CD|设异面直线AB和CD所成角的大小为，则cos即arccos

421421，所以异面直线AB和CD所成角的大小为arccos.…………14分 9920. 解（1）由an1an1，得数列{an}是以1为首项、1为公差的等差数列

故ann（nN）.……2分；lim(1*.

n11)lim(1)1……4分.

nnan（2）{an}是等差数列，S77a47，得a41，又因为d2，所以a17. 故Snd2dn(a1)nn28n，所以nSnn38n2（nN*）……6分 22 kSkk38k2k2(k8)2 当k1,2,3,4,5,6,7,8时，kSk02,不等式成立…………8分； 当k9,kSkk22时，不等式都不成立。 所以满足条件的所有的k的值为1,2,3,4,5,6,7,8.……10分

（3）①先证必要性：任取等差数列{an}中不同的两项as和at（st），存在k，使得asatak，则2a1(st2)da1(k1)d，得a1(kst1)d，故存在m，使得mkst1，使得a1md，mZ.……12分

再证m1：运用反证法.假设当d0时，m1不成立，则m1恒成立. 对于不同的两项a1、a2，应存在al，使得a1a2al，即(2m1)dmd(l1)d 故lm2，又因为m是小于1的整数，故l0.所以假设不成立，故m1.

m1，mZ，②再证充分性：当a1md，任取等差数列{an}中不同的两项as和at（st）

asat2a1(st2)da1(stm2)d

因为stm20且stm2Z 所以a1(stm2)dastm1

综上①②可得，等差数列{an}中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m且m1，使得a1md得证.……16分

x21.【解】（1）当x0时，f(x)2，代入xf(x)0，得x20，因为20，所以x0；……

xx1分 当x0时，f(x)log2x，代入xf(x)0，得xlog2x0，所以log2x0，解得

0x1……2分.故原不等式的解集为(,1].…………4分

（2）当x(,m]时，f(x)max1，故0m2.…………6分

要使得不等式f(x)m2(k2)m3k10恒成立，需使m2(k2)m3k101，即

m2(k2)m3k110对于任意的m[0,2]都成立.

48.…………7分 m3440得(m3)8484（当且仅当m1时，等号成立） 由3m0，

m33m因为13m3，所以k(m3)……9分 所以k4…………10分

2x,x0x,x1（3）由函数f(x)，得ff(x)……12分

log2log2x,x1log2x,x0x①若x1，则方程ff(x)log2(tx)0变为xlog2(tx)，即2tx，且

1t3；…13分

②若x1，则方程ff(x)log2(tx)0变为log2log2xlog2(tx)，即

log2xtx，且t1……14分

于是x1、x2分别是方程2tx、log2xtx的两个根且x11x2t 由于函数ylog2x与y2x的图像关于直线yx对称，故x1x2t ……16分

x2x1log2x22t(x1x2)t，

11

2|x11||x21|t故2

x1log2x211t此函数的定义域为1,3……18分

t2|x11||x21|