数学分析19.2含参量积分之含参量反常积分(含习题及参考答案)

第十九章 含参量积分

2含参量反常积分

一、一致收敛性及其判别法

概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x∈I, c≤y<+∞}上，I为一区间，若对每一个固定的x∈I, 反常积分cφ(x)=cf(x,y)dy都收敛，则它的值是x在I上取值的函数, 记

f(x,y)dy, x∈I, 称cf(x,y)dy为定义在I上的含参量x的无穷限反常积分，简称含

参量反常积分.

定义1： 若含参量反常积分cf(x,y)dy与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c,

使当M>N时, 对一切x∈I, 都有

Mcf(x,y)dy(x)<ε, 即

Mf(x,y)dy<ε, 则称含参量反常

积分在I上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分cf(x,y)dy在I上一致收敛.

定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分cf(x,y)dy在I上一致收敛的充要

条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A1, A2>M时，对一切x∈I, 都有

A2A1f(x,y)dy<ε.

定理19.8：含参量反常积分c中F(A)=

supxIAf(x,y)dy在I上一致收敛的充要条件是：AF(A)=0, 其

limf(x,y)dy.

例1：证明含参量反常积分致收敛.

0sinxydyy在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一

解：令u=xy, 则

AsinxysinudyduAxyu= (A>0).

∵

AxsinusinududuAuu收敛，∴∀ε>0, ∃M>0, 使当A’>M时，就有<ε.

M取Aδ>M, 则当A>时，对一切x≥δ>0，有xA>M, ∴

Axsinuduu<ε,

即

Asinxydyy<ε, ∴

AlimF(A)=

Ax(,)Alimsupsinxydyy=0, 由定理19.8知

0sinxydyy在[δ,+∞)上一致收敛. 又

F(A)=

x(0,)AsupsinusinxydysupduAxyu=x(0,)≥

0sinuduu=2.

∴

0sinxydyy在(0,+∞)上不一致收敛.

注：若对任意[a,b]⊂I, 含参量反常积分在[a,b]上一致收敛，则称在I

上内闭一致收敛.

定理19.9：含参量反常积分cf(x,y)dy在I上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞

的递增数列{An}(其中A1=c), 函数项级数

n1An1Anf(x,y)dy=n1un(x)在I上一致收敛.

证：[必要性]若cf(x,y)dy在I上一致收敛, 则∀ε>0, ∃M>c, 使

当A”>A’>M时，对一切x∈I, 总有

AAf(x,y)dy<ε.

又An→+∞(n→∞), ∴对正数M, ∃正整数N, 只要当m>n>N时，就有

Am>An>M. ∴对一切x∈I, 就有

|un(x)+…+um(x)|=uAm1Amf(x,y)dyAn1Anf(x,y)dy =

Am1Anf(x,y)dy<ε.

∴n1n(x)在I上一致收敛.

[充分性]若n1un(x)在I上一致收敛, 而cf(x,y)dy在I上不一致收敛,

则存在某正数ε0, 使对任何实数M>c, 存在相应的A”>A’>M和x’∈I,

使得

AAf(x,y)dy≥ε0; 现取M1=max{1,c}, 则存在A2>A1>M1, 及x1∈I,

A2使得

A1f(x1,y)dy≥ε0; 一般地, 取Mn=max{n,A2(n-1)} (n≥2), 则有

A2n>A2n-1>Mn, 及xn∈I, 使得

A2nA2n1f(xn,y)dy≥ε0.

由上述所得数列{An}为递增数列, 且nAn=+∞, 而对级数

limun1n(x)=n1An1Anf(x,y)dy, 存在正数ε0, 对任何正整数N,

只要n>N, 就有某个xn∈I, 使得|u2n(xn)|=

un1A2nA2n1f(xn,y)dy≥ε0,

与级数

n(x)在I上一致收敛矛盾. ∴cf(x,y)dy在I上一致收敛.

魏尔斯特拉斯M判别法：设函数g(y), 使得

|f(x,y)|≤g(y), (x,y)∈I×[c,+∞). 若cg(y)dy收敛, 则

cf(x,y)dy在I上一致收敛.

狄利克雷判别法：设

(1)对一切实数N>c, 含参量正常积分Ncf(x,y)dy对参量x在I上一致有界, 即存在正数

M, 对一切N>c及一切x∈I, 都有

Ncf(x,y)dy≤M.

(2)对每一个x∈I, 函数g(x,y)关于y是单调递减且当y→+∞时, 对参量x, g(x,y)一致收敛于0.

则含参量反常积分cf(x,y)g(x,y)dy在I上一致收敛.

阿贝尔判别法：设

(1)cf(x,y)dy在I上一致收敛.

(2)对每一个x∈I, 函数g(x,y)为y的单调函数, 且对参量x, g(x,y)在I上一致有界.

则含参量反常积分cf(x,y)g(x,y)dy在I上一致收敛.

例2：证明含参量反常积分

0cosxydx1x2在(-∞,+∞)上一致收敛.

cosxy1dx222证：∵对任何实数y, 有1x≤1x, 又反常积分01x收敛.

由魏尔斯特拉斯M判别法知,

cosxydx1x2在(-∞,+∞)上一致收敛.

含参量反常积分

0例3：证明含参量反常积分

0exysinxdxx在[0,+∞)上一致收敛.

证：∵反常积分

0sinxdxx收敛, ∴对于参量y, 在[0,+∞)上一致收敛.

又函数g(x,y)=e-xy对每个y∈[0,+∞)单调, 且对任何0≤y<+∞, x≥0,

都有|g(x,y)|=|e-xy|≤1. 由阿贝尔判别法知,

sinxdxx在[0,+∞)上一致收敛.

含参量反常积分

0exy例4：证明含参量积分

1ysinxydy21y在(0,+∞)上内闭一致收敛.

cosxyN2sinxydyxa≤a. 证：若[a,b]⊂(0,+∞), 则对任意x∈[a,b], a=

N1y2yy21y2221y1y又=≤0, 即关于y单调减, 且当y→+∞时,

y1y2→0(对x一致), 由狄利克雷判别法知,

含参量积分

1ysinxydy21y在[a,b]上一致收敛. 由[a,b]的任意性知,

1ysinxydy21y在(0,+∞)上内闭一致收敛.

二、含参量反常积分的性质

定理19.10：(连续性)设f(x,y)在I×[c,+∞)上连续，若含参量反常积分φ(x)=c在I上一致收敛，则φ(x)在I上连续.

f(x,y)dy证：由定理19.9，对任一递增且趋于+∞的数列{An} (A1=c)，

函数项级数φ(x)=n1An1Anf(x,y)dy=n1un(x)在I上一致收敛.

又由f(x,y)在I×[c,+∞)上连续，∴每个un(x)都在I上连续.

由函数项级数的连续性定理知，函数φ(x)在I上连续.

推论：设f(x,y)在I×[c,+∞)上连续，若φ(x)=c在I上连续.

f(x,y)dy在I上内闭一致收敛，则φ(x)

注：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换，即：

xx0climf(x,y)dy=cf(x0,y)dy=cxx0limf(x,y)dy.

定理19.11：(可微性)设f(x,y)与fx(x,y)在区域I×[c,+∞)上连续，若φ(x)=c在I上收敛，cf(x,y)dyfx(x,y)dy在I上一致收敛，则φ(x)在I上可微，且φ’(x) =cfx(x,y)dy.

证：对任一递增且趋于+∞的数列{An} (A1=c)，令un(x)=An1Anf(x,y)dy.

An1由定理19.3推得un’(x)=Anfx(x,y)dy.

由cfx(x,y)dy在I上一致收敛及定理19.9，可得函数项级数

un(x)n1=n1An1Anfx(x,y)dy在I上一致收敛.

根据函数项级数的逐项求导定理，即得：

φ’(x) =

un(x)n1=n1An1Anfx(x,y)dy=cdf(x,y)dyfx(x,y)dyf(x,y)dy.或写作dxc=cx.

推论：设f(x,y)与fx(x,y)在区域I×[c,+∞)上连续，若φ(x)=cf(x,y)dy在I上收敛，

.

cfx(x,y)dy在I上内闭一致收敛，则φ(x)在I上可微，且φ’(x) =cfx(x,y)dy定理19.12：(可积性)设f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续，若φ(x)=c一致收敛，则φ(x)在[a,b]上可积，且

f(x,y)dy在[a,b]上

badxcf(x,y)dy =cdyf(x,y)dxab.

证：由定理19.10知φ(x)在[a,b]上连续，从而在[a,b]上可积.

又函数项级数φ(x)=n1An1Anf(x,y)dy=n1un(x)在I上一致收敛，且

各项un(x)在[a,b]上连续，根据函数项级数逐项求积定理，有

ba(x)dx=n1baun(x)dx=n1bbadxAn1Anf(x,y)dy=n1An1Andyf(x,y)dxab，即

badxcf(x,y)dy =cdyf(x,y)dxa.

定理19.13：设f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上连续，若

(1)af(x,y)dx关于y在[c,+∞)上内闭一致收敛，cf(x,y)dy关于x在[a,+∞)上内闭一

致收敛；

(2)积分adx|f(x,y)|dyc与cdy|f(x,y)|dxa中有一个收敛. 则

adxcf(x,y)dy=cdyaf(x,y)dx.

证：不妨设adx|f(x,y)|dyc收敛，则adxcf(x,y)dy收敛.

当d>c时，记Jd=|cddyaf(x,y)dx-adxcf(x,y)dy|

=|cddyaf(x,y)dx-adxf(x,y)dycd-adxdf(x,y)dy|.

由条件(1)及定理19.12可推得：

AJd=|adxdf(x,y)dy|≤|adxdf(x,y)dy|+Adx|f(x,y)|dyd.

由条件(2)，∀ε>0, ∃G>a，使当A>G时，有Adxd|f(x,y)|dy<2.

选定A后，由cf(x,y)dy的一致收敛性知，∃M>a，使得当d>M时，

有|dlimf(x,y)dy|<2(Aa). ∴Jd<2+2=ε，即有dJd=0，

∴adxcf(x,y)dy=cdyaf(x,y)dx.

例5：计算：J=

0epxsinbxsinaxdxx (p>0,b>a).

sinbxsinaxbbbpxpxcosxydyedxcosxydydxeaacosxydy. x解：∵=a，∴J=0=0由|e-pxcosxy|≤e-px及反常积分0epxdx收敛，

根据魏尔斯特拉斯M判别法知，

含参量反常积分0epxcosxydx在[a,b]上一致收敛.

又e-pxcosxy[0,+∞)×[a,b]上连续，根据定理19.12交换积分顺序得：

bpbaJ=bpxady0ecosxydx=

ap2y2dy=arctanp- arctanp.

例6：计算：

sinax0xdx.

sinax解：利用例5的结果，令b=0，则有F(p)=

0epxaxdx=arctanp由阿贝尔判别法可知含参量反常积分F(p)在p≥0上一致收敛，

sinax又由定理19.10知，F(p)在p≥0上连续，且F(0)=

0xdx.

又F(0)=plim0F(p)=plimaπsin0arctanp=2agn a. ∴ax0xdxπ=2agn a.

例7：计算：φ(r)=x20ecosrxdx..

解：∵|ex2cosrx|≤ex2对任一实数r成立且反常积分20exdx收敛，

∴含参量反常积分φ(r)=0ex2cosrxdx在(-∞,+∞)上收敛.

考察含参量反常积分20(excosrx)rdx=20xexsinrxdx，

∵|-xex2sinrx|≤xex2对一切x≥0, r∈(-∞,+∞)成立且0ex2dx收敛，

(p>0).

根据魏尔斯特拉斯M判别法知，

含参量反常积分0(ex2cosrx)rdx在(-∞,+∞)上一致收敛.

由定理19.11得φ’(r)=0xex2sinrxdx=A0limAxexsinrxdx2

12limexsinrxA2=

A0rAx2rAx2recosrxdxecosrxdx20=20=2φ(r).

∴φ(r)=cer24. 又φ(0)=0ex2ππedx22==c. ∴φ(r)=

r24.

概念2：设f(x,y)在区域R=[a,b]×[c,d)上有定义，若对x的某些值，y=d为函数f(x,y)的瑕点，则称dcf(x,y)dyd为含参量x的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分. 若对

都收敛，则其积分值是x在[a,b]上取值的函数.

每一个x∈[a,b]，cf(x,y)dy定义2：对任给正数ε, 总存在某正数δ对一切x∈[a,b], 都有

收敛.

ddf(x,y)dy<ε, 则称含参量反常积分dcf(x,y)dy在[a,b]上一致

习题

1、证明下列各题

(1)

1y2x2dx222(xy)在(-∞,+∞)上一致收敛；

(2)0exydy2在[a,b] (a>0)上一致收敛；

(3)

0etsinatdtt在0(4)0xexydy(i)在[a,b] (a>0)上一致收敛，(ii)在[0,b]上不一致收敛；

1ln(xy)dy(5)0在[b,b](b>1)上一致收敛；

1(6)

10dxxp(i)在(-∞,b] (b<1)上一致收敛，(ii)在(-∞,1]内不一致收敛；

(7)01xp1(1x)q1dx在0证：(1)∵

y2x2(x2y2)2y2x2dx122222≤(xy)≤x，且1x收敛，

∴

1y2x2dx(x2y2)2在(-∞,+∞)上一致收敛.

(2)∵当0ex2y1212xya=e≤ey，且

dyea21y收敛，

∴0exydy2在[a,b] (a>0)上一致收敛.

(3)对任何N>0，∵

N0etsinatdt≤N0etdt≤1，即N0etsinatdt一致有界.

11tsinatedt0ttt又关于在(0,+∞)单调，且→0 (t→∞)，由狄利克雷判别法知，在

0(4)(i)∵当0∴0xexydy在[a,b] (a>0)上一致收敛.

112(ii)方法一：取ε0=e<0, 则对任何M>0, 令A1=M, A2=2M, x0=M, 有

A2A1x0ex0ydy=

ex0y2MMe11xyxedy220ee=>=ε0，∴在 [0,b]上不一致收敛.

方法二：∵0xexy0,x0dy1,0xb=，且xe-xy在[0,b]×(0,+∞)内连续，

由连续性定理知0xexydy在 [0,b]上不一致收敛.

1(5)∵在[b,b]×(0,1] (b>1)内, |ln(xy)|=|lnx+lny|≤|lnx|+|lny|≤lnb-lny,

1ln(xy)dy(lnblny)dy且0收敛, ∴0在[b,b](b>1)上一致收敛.

1111dx1pbb(6)(i)∵当p≤b<1, x∈(0,1]时，x≤x，又0x收敛，

∴

10dxxp在(-∞,b] (b<1)上一致收敛.

dx(ii)当p=1时，0x发散，∴对任何A<1，在[A,1]内不一致收敛，即

110dxxp在(-∞,1]内不一致收敛.

x(7)记

01p1(1x)q1dx=120xp1(1x)q1dx+

112xp1(1x)q1dx=I1+I2.

1对I1在0≤x≤2, 0∵|xp-1(1-x)q-1|≤xp01(1x)q01且120xp01(1x)q01dx收敛，

∴I1在0同理可证I2在0∴01xp1(1x)q1dx在0ayeeayebyebydxdy0xx=出发，计算积分(b>a>0).

2、从等式baexyaybyaybyeeeebxyxydxedydxedy0xxa0a解：∵=，∴=. 又

be-xy在[0,+∞)×[a,b]内连续，由M判别法知,

b1eayebybbxydydxdyedxayxa0===lna.

0exydx在[a,b]内一致收敛.

∴

03、证明函数F(y)=0e(xy)dx2在(-∞,+∞)上连续.

(提示：利用0ex2πdx=2)

证：令x-y=u, 则F(y)= yeu2due=

y0u2du+0eu2due=

y0u2πdu+2.

e∵关于y的积分下限函数

y0u2du在(-∞,+∞)上连续，

∴F(y)=0e(xy)dx2在(-∞,+∞)上连续.

4、求下列积分：

(1)

ea2x20ex2b2x2dx (提示：利用0ex2πdx=2)；

sinxtx1cosxyedtedx20tx；(3). t(2)

0ea22x解：(1)∵

ebx222x=ab2yeyxdy22，

∴

ea22x0ebx222xdx=

0dx2yeyxdyab22，

由M判别法知02yeyxdx22在[a,b]内一致收敛，

∴

ea2x20ex2b2x2dx=abdy2yeyxdx022

=abdy2e0y2x2d(xy)=abdy=(b-a).

(2)利用例5结果：

0eptbasinbtsinatdtt=arctanp- arctanp. (p>0,b>a).

当p=1, a=0, b=x时，有

0etsinxtdtt=arctanx.

yy1cosxyxsinxtxsinxteedtdxedt2000xxx(3)∵=，∴.

x由x0limexsinxtsinxtexx=t知, x=0不是x的瑕点，又

含参量非正常积分

0exsinxtdxx在t∈[0,M]上一致收敛, ∴由(2)有

y11cosxyyxsinxtedtedxarctantdtx2x=00=0=yarctany-2ln(1+y2). x5、回答下列问题：

(1)对极限x0lim2xyexydy02能否运用极限与积分运算顺序的交换求解？

(2)对01dy(2y2xy3)exydx02能否运用积分顺序交换来求解？

(3)对F(x)=0xe3x2ydy能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？

解：(1)∵F(x)=02xyexy21,x0limF(x)dy0,x0x=, ∴0=1，但

0x0lim2xyexydy2=0，即交换运算后不相等，

∴对极限x0lim2xyexydy02不能运用极限与积分运算顺序的交换求解.

注：02xyexy2dy=0xexudu在[0,b]上不一致收敛，并不符合连续性定理的条件.

(2)∵01dy(2y2xy3)exydx02=012xyexy20dy=010dy=0；

10dx(2y2xy)e03xy2dy=0ye2xy210dxe=01xdx=1；

∴对01dy(2y2xy3)exydx02不能运用积分顺序交换来求解.

注：0(2y2xy3)exydx2=0且M(2y2xy3)exydx2My=-2Mye. 对ε0=1，

213xy21(2y2xy)edxM不论M多大，总有y0=M∈[0,1]，使得M=2e>1,

∴0(2y2xy3)exydx2在[0,1]不一致收敛，不符合可积性定理的条件.

(3)∵F(x)=0xe3x2ydy=x, x∈(-∞,+∞)，∴F’(x)≡1. 但

3x2y24x2yxe2(3x2xy)edyxyx=(3x2-2x4y)e, 而当x=0时，0=0.

∴对F(x)=0x3exydy2不能运用积分与求导运算顺序交换来求解.

注：∵0(3x22x4y)ex21,x0ydy0,x0=，

∴0(3x22x4y)exydy2在[0,1]上不一致收敛,不符合可微性定理的条件.

6、应用：0eax2π2adx=2 (a>0)，证明：

1

1(1)0nπ2π(2n1)!!222at22nataatedttedtn4022=；(2)=.

3证：(1)方法一：∵0t2eatdt2在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，

ddat2at22at2edtedttedt∴da0=0da=-0.

dat2edt0又da=

1dπ2ada2π2π22axaaedx=-4. ∴0=4.

33方法二：0te2at21at21at2tdetedt0=-2a=-2a0eatdt0

2π21at2aedt0=2a=4.

3(2)方法一：∵0t2neatdt2在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，

dnn∴da0eat2dt=

0dnat22nat2edttedtn0dan=(-1).

dn又dan0eatdt2=

dndan1π1n2π(2n1)!!a22an=(-1)n22.

∴0t2neat2nπ(2n1)!!2adtn22=.

1

1方法二：记In=0t2neat21π(211)(211)2adt2, n=0,1,2,…，(1)中已证I1=2=2aI0. 可

(2k1)设Ik=2aIk-1，则

Ik+1=0t2(k1)eat212k1at212k1at2tdetedt0=-2a=-2a0eatdt2k10

2[2(k1)1](2k1)2k12kat22(k1)1tedt2(2a)02a2a==Ik=Ik-1=…=

[2(k1)1]!!π[2(k1)1]!!2ak1(2a)k12(2a)I0=.

11nπ(2k1)!!π(2n1)!!2a22nat2antedt2n当n=k+1时，有In=0=2(2a)=2.

17、应用

0dx022xa=2a，求

dxx2a2n1.

解：记A=a2,

x∵

0dx2An1在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，

dnn∴dA0nddxnx2A=0dAdx12dx0x2An1xA=(-1)nn!.

dnn又dA01dnnπ(2n1)!!dxA2nn22xA=dA2A=(-1)n2.

x∴

0dx2An1π(2n1)!!n2π(2n1)!!a2n1An=2n!2=2(2n)!!.

18、设f(x,y)为[a,b]×[c,+∞)上连续非负函数，I(x)=0I(x)在[a,b]上一致收敛.

f(x,y)dy在[a,b]上连续，证明：

证：任取一个趋于的∞递增数列{An} (其中A1=c)，考察级数

n1An1Anf(x,y)dy=n1un(x).

∵f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上非负连续, ∴un(x)在[a,b]上非负连续.

由狄尼定理知，n1un(x)在[a,b]上一致收敛，从而

n1An1Anf(x,y)dy在[a,b]上一致收敛. 又I(x)=0f(x,y)dy在[a,b]上连续.

∴I(x)=0f(x,y)dy=

limnn1An1Anf(x,y)dy[a,b]上一致收敛.

9、设在[a,+∞)×[c,d]内成立不等式|f(x,y)|≤F(x,y).

若0F(x,y)dx在y∈[c,d] 上一致收敛，证明：

0f(x,y)dx在y∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.

证：∵0F(x,y)dx在y∈[c,d] 上一致收敛，

∴∀ε>0, ∃M>0，对任何A2>A1>M和一切y∈[c,d]，都有

A2A1F(x,y)dx<ε.

∵|f(x,y)|≤F(x,y)，∴

∴0A2A1f(x,y)dx≤A2A1f(x,y)dx≤A2A1F(x,y)dx<ε，

f(x,y)dx在y∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.