(考试时间：90分钟 满分：120分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1．（3分）下列实数中，无理数是（ ） A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列各式正确的是（ ） A．C．
＝±2
＝
B．D．（3+2
＝a
）＝﹣3
）（3﹣2
3．（3分）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．∠C＝∠A﹣∠B 4．（3分）若将四个数﹣
、
、
、2
B．a：b：c＝6：8：10 D．b＝a﹣c
表示在数轴上，其中可能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）
A．﹣
B．
C．
D．2
2
2
2
5．（3分）如图，点A（﹣2，1）到y轴的距离为（ ）
A．﹣2
B．1
C．2
D．
6．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，1）关于x轴的对称点在（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7．（3分）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，3）
B．（3，2）
|m|
C．（0，3） D．（1，3）
8．（3分）若函数y＝（m﹣1）x﹣5是一次函数，则m的值为（ ） A．±1
B．﹣1
C．1
D．2
9．（3分）如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
10．（3分）如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．20
B．25
C．30
D．32
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分） 11．（3分）
的平方根是 ．
12．（3分）一个三角形的三边长分别为13、5、12，则最长边上的高是 ． 13．（3分）化简（
﹣1）
2017
（+1）
2018
的结果为 ．
14．（3分）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 ．
三、解答题（共9小题，计78分解答应写出过程） 15．（20分）计算和解方程： （1）（2）（3）（2
+
﹣
﹣4） ﹣1）+|1﹣
2
2
|
（4）（2x﹣1）＝169
16．（5分）已知一个正数的两个平方根分别是3x﹣2和x+6，求这个数．
17．（7分）如图，将长方形ABCD沿对角线折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，若AB＝4，BC＝8，
BE＝DE，求△BDE的面积．
18．（7分）如图所示，点P的坐标为（4，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．请求出点
Q的坐标．
19．（7分）某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨屯，计划内用水每吨收费4元，超计划部分每吨按6元收费．
（1）某月该单位用水2800吨，水费是 元；若用水3200吨，水费 元．
（2）写出超出计划时，该单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式 ． （3）若某月该单位缴纳水费15000元，求该单位用水多少吨？
20．（7分）已知a，b为实数，且满足（1）求a，b的值；
（2）若a，b为△ABC的两边，第三边c＝21．（7分）如图，点A表示的数为﹣表示的数为n． （1）求n的值； （2）求|n+1|+（n+2
﹣2）的值．
+b﹣6b+9＝0．
2
，求△ABC的面积．
，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所
22．（8分）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
＝（1）
+﹣1，
＝
﹣
，
＝
﹣
，
＝
﹣
，……
的倒数是 ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．（不必证明） （3）利用上面的结论，求下列式子的值： （
+
+
+……+
）•（
+1）
23．（10分）在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为单位1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示． （1）请写出点A，C的坐标；
（2）请作出三角形ABC关于y轴对称的三角形A1B1C1； （3）求△ABC中AB边上的高．
2018-2019学年陕西省西安市莲湖区八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1．（3分）下列实数中，无理数是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】根据无理数的定义求解即可． 【解答】解：，是无理数， 故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，
，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
，
是有理数，
2．（3分）下列各式正确的是（ ） A．C．
＝±2
＝
B．D．（3+2
＝a
）＝﹣3
）（3﹣2
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：A、
＝2，故此选项错误；
B、C、D、（3+2
＝|a|，故此选项错误；
＝2，）（3﹣2
＝﹣2，故此选项错误； ）＝﹣3，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 3．（3分）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．∠C＝∠A﹣∠B
B．a：b：c＝6：8：10 D．b＝a﹣c
2
2
2
【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝形，正确；
，所以不是直角三角
B、∵（6x）2+（8x）2＝（10x）2，∴是直角三角形，错误； C、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠C+∠B＝∠A，
∴∠A＝90°，是直角三角形，故本选项错误；
D、∵b2＝a2﹣c2，∴是直角三角形，错误；
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理． 4．（3分）若将四个数﹣
、
、
、2
表示在数轴上，其中可能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）
A．﹣
B．
C．
D．2
【分析】根据算术平方根的概念分别估算各个实数的大小，根据题意判断． 【解答】解：﹣2＜3＜3＜2
＜3， ＜4， ＜4，
，
＜0，
∴可能被如图所示的墨迹覆盖的数是故选：B．
【点评】本题考查的是实数和数轴，算术平方根，正确估算算术平方根的大小是解题的关键． 5．（3分）如图，点A（﹣2，1）到y轴的距离为（ ）
A．﹣2
B．1
C．2
D．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答． 【解答】解：点A的坐标为（﹣2，1），则点A到y轴的距离为2． 故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
6．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，1）关于x轴的对称点在（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出点的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点P（﹣1，1）关于x轴的对称点为（﹣1，﹣1），在第三象限． 故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7．（3分）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，3）
B．（3，2）
C．（0，3） D．（1，3）
【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：棋子“炮”的点的坐标为：（1，3）． 故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 8．（3分）若函数y＝（m﹣1）x﹣5是一次函数，则m的值为（ ） A．±1
B．﹣1
C．1
D．2
|m|
【分析】根据一次函数的定义列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，|m|＝1且m﹣1≠0， 解得m＝±1且m≠1， 所以，m＝﹣1． 故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
9．（3分）如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果． 【解答】解：第一个正方形的面积是64； 第二个正方形的面积是32； 第三个正方形的面积是16； …
第n个正方形的面积是
，
∴正方形⑤的面积是4． 故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的面积．
10．（3分）如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．20
B．25
C．30
D．32
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： ∴AB＝
＝25；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： ∴AB＝
；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得： ∴AB＝∵25＜5
，
；
∴蚂蚁爬行的最短距离是25， 故选：B．
【点评】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分） 11．（3分）
的平方根是 ±2 ．
2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题． 【解答】解：故答案为：±2
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．（3分）一个三角形的三边长分别为13、5、12，则最长边上的高是
．
的平方根是±2．
【分析】首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算出斜边上的高即可．
【解答】解：∵5+12＝13， ∴此三角形是直角三角形， 设最长边上的高为hcm，
2
2
2
×5×12＝×13×h， 解得：h＝故答案为：
． ．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积计算，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b＝c，那么这个三角形就是直角三角形． 13．（3分）化简（
﹣1）
2017
2
2
2
（+1）
2018
的结果为 +1）]
+1 ．
2017
【分析】利用积的乘方得到原式＝[（【解答】解：原式＝[（＝（21）＝
2017
﹣1）（
2017
•（+1），然后利用平方差公式计算．
﹣1）（+1）]•（+1）
•（+1）
+1．
+1．
故答案为
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
14．（3分）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 （4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1） ．
【分析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．
【解答】解：△ABD与△ABC有一条公共边AB，
当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）； 当点D在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）；
点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．
【点评】本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度较大的综合题，分情况进行讨论是解决本题的关键．
三、解答题（共9小题，计78分解答应写出过程） 15．（20分）计算和解方程： （1）（2）（3）（2
+
﹣
﹣4） ﹣1）+|1﹣
2
2
|
（4）（2x﹣1）＝169
【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据二次根式的除法法则运算； （3）利用完全平方公式计算；
（4）两边开方得到2x﹣1＝±13，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）原式＝2＝
；
+
﹣4
+4
﹣
（2）原式＝＝5+4﹣4 ＝5；
（3）原式＝12﹣4＝12﹣3
；
+1+﹣1
（4）2x﹣1＝±13， 所以x1＝7，x2＝﹣6．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x＝p或（nx+m）＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了二次根式的混合运算．
2
2
16．（5分）已知一个正数的两个平方根分别是3x﹣2和x+6，求这个数． 【分析】根据已知得出方程3x﹣2+x+6＝0，求出x，再计算（x+6）即可得． 【解答】解：根据题意知3x﹣2+x+6＝0， 解得：x＝﹣1，
则（x+6）＝（﹣1+6）＝5＝25， 所以这个数为25．
【点评】本题考查了平方根，能根据题意得出关于x的方程是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
17．（7分）如图，将长方形ABCD沿对角线折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，若AB＝4，BC＝8，
2
2
2
2
BE＝DE，求△BDE的面积．
【分析】设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x，在直角△ABE中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x， 在直角△ABE中，AB+AE＝BE， 即4+x＝（8﹣x）， 解得：x＝3，
则AE＝3，DE＝8﹣3＝5，
则S△BDE＝AB•DE＝×4×（8﹣3）＝10．
【点评】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得AE的长是解决本题的关键． 18．（7分）如图所示，点P的坐标为（4，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．请求出点
2
2
22
2
2
Q的坐标．
【分析】作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，由旋转的性质得：∠POQ＝90°，OQ＝OP，由AAS证明△ONQ≌△
PMO，得出ON＝PM，QN＝OM，由点P的坐标为（4，3），得出ON＝PM＝3，QN＝OM＝4，即可得出点Q的坐标．
【解答】解：作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，如图所示： 则∠PMO＝∠ONQ＝90°， ∴∠P+∠POM＝90°，
由旋转的性质得：∠POQ＝90°，OQ＝OP， ∴∠QON+∠POM＝90°， ∴∠QON＝∠P， 在△ONQ和△PMO中，∴△ONQ≌△PMO（AAS）， ∴ON＝PM，QN＝OM， ∵点P的坐标为（4，3）， ∴ON＝PM＝3，QN＝OM＝4， ∴点Q的坐标为（﹣3，4）．
，
【点评】本题考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握坐标与图形性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
19．（7分）某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨屯，计划内用水每吨收费4元，超计划部分每吨按6元收费．
（1）某月该单位用水2800吨，水费是 11200 元；若用水3200吨，水费 13200 元．
（2）写出超出计划时，该单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式 y＝6x﹣6000（x＞3000） ．
（3）若某月该单位缴纳水费15000元，求该单位用水多少吨？
【分析】（1）2800×4＝11200元，3200＝3000+200，收费为3000×4+200×6＝13200元； （2）由题意得：y＝6x﹣6000（x＞3000）； （3）6x﹣6000＝15000，解得：x＝3500．
【解答】解：（1）2800×4＝11200元，
3200＝3000+200，收费为3000×4+200×6＝13200元， 故答案为11200，13200；
（2）由题意得：y＝6x﹣6000（x＞3000）；
（3）该单位水费超过15000＞12000，说明用水超过3000吨， 则：6x﹣6000＝15000，解得：x＝3500， 答：该单位用水3500吨．
【点评】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想． 20．（7分）已知a，b为实数，且满足（1）求a，b的值；
（2）若a，b为△ABC的两边，第三边c＝
，求△ABC的面积． +b﹣6b+9＝0．
2
【分析】（1）利用完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求解即可；
（2）利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再根据直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半列式计算即可得解． 【解答】解：（1）整理得，所以，a﹣2＝0，b﹣3＝0， 解得a＝2，b＝3；
（2）∵a+b＝2+3＝13，
2
2
2
2
+（b﹣3）＝0，
2
c2＝（
2
2
）＝13，
2
2
∴a+b＝c，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°， ∴△ABC的面积＝ab＝×2×3＝3．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，还考查了勾股定理逆定理．
21．（7分）如图，点A表示的数为﹣表示的数为n． （1）求n的值； （2）求|n+1|+（n+2
﹣2）的值．
，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所
【分析】（1）根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出n的值； （2）把n的值代入，再根据绝对值的性质、实数运算的法则计算即可得解． 【解答】解：（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B， ∴点B所表示的数比点A表示的数大2， ∵点A表示﹣∴n＝﹣
（2）|n+1|+（n+2＝|﹣＝3﹣＝3．
【点评】本题考查了实数与数轴，是基础题，主要利用了在数轴上向右运动相加的规律，还利用了绝对值的性质和二次根式的运算．
22．（8分）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
＝（1）
+﹣1，的倒数是 ＝+﹣
，
＝
﹣
，
＝
﹣
，……
+2+1|+（﹣+
﹣2） +2+2
﹣2）
+2；
，点B所表示的数为n，
；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．（不必证明） （3）利用上面的结论，求下列式子的值： （
+
+
+……+
+
的倒数是＝﹣1+
﹣﹣）•（﹣； +
﹣
+…+
﹣
）（
+1），然
；
+1）
【分析】（1）利用分母有理化得到（2）利用题中的计算规律得到
（3）先利用（2）中结论得到原式＝（
后把前面括号内合并后利用平方差公式计算． 【解答】解：（1）故答案为
+
；
＝
+
；
（2）（3）原式＝（＝（＝2018﹣1 ＝2017．
＝﹣1+
﹣﹣+1）
； +
﹣
+…+
﹣
）（
+1）
﹣）（
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
23．（10分）在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为单位1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示． （1）请写出点A，C的坐标；
（2）请作出三角形ABC关于y轴对称的三角形A1B1C1； （3）求△ABC中AB边上的高．
【分析】（1）根据A、C在坐标系中的位置写出各点坐标即可； （2）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）先根据勾股定理求出AB的长，再求出△ABC的面积，进而可得出结论． 【解答】解：（1）由图可知，A（﹣4，5），C（﹣1，3）；
（2）如图，△A1B1C1即为所求；
（3）∵AB＝
＝2
，
S△ABC＝3×4﹣×2×4﹣×2×1﹣×2×3
＝12﹣4﹣1﹣3 ＝4， ∴h＝
＝
＝
．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
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