经典⾼考概率类型题总结⼀、超⼏何分布类型⼆、⼆项分布类型
三、超⼏何分布与⼆项分布的对⽐四、古典概型算法
五、独⽴事件概率分布之⾮⼆项分布（主要在于如何分类）六、综合算法⼀、超⼏何分布
1.甲、⼄两⼈参加普法知识竞赛，共设有10 个不同的题⽬，其中选择题 6 个，判断题 4 个 . （1）若甲、⼄⼆⼈依次各抽⼀题，计算：①甲抽到判断题，⼄抽到选择题的概率是多少？②甲、⼄⼆⼈中⾄少有⼀⼈抽到选择题的概率是多少？
（2）若甲从中随机抽取 5 个题⽬，其中判断题的个数为X，求 X 的概率分布和数学期望.
⼆、⼆项分布
1.某市医疗保险实⾏定点医疗制度，按照“就近就医、⽅便管理”的原则，参加保险⼈员可⾃主选择四家医疗保险定点医院和⼀家社区医院作为本⼈就诊的医疗机构.若甲、⼄、丙、丁 4 名参加保险⼈员所在的地区附近有A， B，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独⽴的.
（1）求甲、⼄两⼈都选择 A 社区医院的概率；（2）求甲、⼄两⼈不选择同⼀家社区医院的概率；
（3）设 4 名参加保险⼈员中选择 A 社区医院的⼈数为X，求 X 的概率分布和数学期望．2. 某⼴场上有 4 盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯， 每盏灯出现红2 1
灯的概率都是 3，出现绿灯的概率都是 3.记这 4 盏灯中出现红灯的数量为 X ， 当这排装饰灯闪烁⼀次时：(1)求 X ＝ 2 时的概率；(2)求 X 的数学期望．
解 (1)依题意知： X ＝ 2 表⽰ 4 盏装饰灯闪烁⼀次时，恰好有2 盏灯出现红2
灯，⽽每盏灯出现红灯的概率都是3，
故 X ＝2 时的概率 P ＝ C 22 2 1 2＝ 8.43 3 27
(2)法⼀ X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，依题意知
k 2 k 1 4－kP(X ＝ k)＝C 4 3 3(k ＝0,1,2,3,4)．∴ X 的概率分布列为X 0 1 2 3 4 P1 8 8 3
2 16 81 81 81 81 8118832
16 8 ∴数学期望 E(X) ＝0×8＋1×81＋ 2× 81＋3×81＋ 4× 81＝3.
三、超⼏何分布与⼆项分布的对⽐
有⼀批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地依次任取 3 件，若 X 表⽰取到次品的次数，则 P （ X ）＝.辨析：
1.有⼀批产品，其中有
12 件正品和 4 件次品，从中不放回地依次任取 3 件，若 X 表⽰取到次品的件数，则P （ X ）＝
2. 有⼀批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地依次任取件，第 k 次取到次品的概率，则 P （ X ）＝3.有⼀批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中不放回地依次任取件，第 k 次取到次品的概率，则 P （ X ）＝四、古典概型算法
1.⼀个均匀的正四⾯体的四个⾯分别涂有 1，2， 3， 4 四个数字，现随机投掷两次，正四⾯体底⾯上的数字分别为 x 1,x 2，记 X=(x 1-2)2+(x 2-2)2.
（ 1）分别求出 X 取得最⼤值和最⼩值的概率；（ 2）求 X 的概率分布及⽅差 .
2.（ 2012·江苏⾼考）设ξ为随机变量，从棱长为 1 的正⽅体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时， ξ =0；当两条棱平⾏时， ξ的值为两条棱之间的距离； 当两条棱异⾯时ξ=1．
（ 1）求概率 P （ξ =0）；
（ 2）求ξ的分布列，并求其数学期望E （ξ）．
3.某市公租房的房源位于 A ， B ， C 三个⽚区，设每位申请⼈只申请其中⼀个⽚区的房源，且申请其中任⼀个⽚区的房源是等可能的，求该市的任 4 位申请⼈中：（1）恰有 2 ⼈申请 A ⽚区房源的概率； （2）申请的房源所在⽚区的个数X 的概率分布与期望 .
4.设 S 是不等式 x 2－ x － 6≤ 0 的解集，整数 m ， n ∈ S.
(1)记“使得 m ＋n ＝ 0 成⽴的有序数组 (m ，n) ”为事件 A ， 试列举 A 包含的基本事件；(2)设 ξ＝ m 2，求 ξ的概率分布表及其数学期望 E(ξ)．
解 (1)由 x 2－ x － 6≤ 0，得－ 2≤ x ≤3，即 S ＝{x| － 2≤ x ≤ 3} ．
由于 m ， n ∈ Z ， m ，n ∈ S 且 m ＋n ＝ 0，所以 A 包含的基本事件为 (－2,2) ，(2，－ 2)， (－ 1,1)， (1，－ 1) ，(0,0) ．(2)由于 m 的所有不同取值为－ 2，－ 1,0,1,2,3， 所以 ξ＝m 2 的所有不同取值为 0,1,4,9，且有 P(ξ＝0) ＝16，21
P( ξ＝ 1) ＝ ＝ ，2 1
P( ξ＝ 4)＝ 6＝3，1
P( ξ＝ 9)＝ 6.故 ξ的概率分布表为ξ0 1 49 P 11 1 1 6
3 36
1 1 1 1 19 所以 E(ξ)＝0× 6＋ 1×3＋ 4× 3＋9×6＝ 6 .
5.在⾼中“⾃选模块”考试中，某考场的每位同学都选了⼀道数学题，第⼀⼩组选《数学史与不等式选讲》的有
1 ⼈，选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》
的有 5 ⼈，第⼆⼩组选《数学史与不等式选讲》的有2 ⼈，选《矩阵变换和
坐标系与参数⽅程》的有 4 ⼈，现从第⼀、第⼆两⼩组各任选 2 ⼈分析得分情况 .
(1)求选出的 4 ⼈均为选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》的概率；
(2)设 X 为选出的 4 个⼈中选《数学史与不等式选讲》 的⼈数，求 X 的分布列和数学期望．
解 (1)设“从第⼀⼩组选出的 2 ⼈均选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》”为事件 A ，“从第⼆⼩组选出的 2 ⼈均选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》 ” 为事件 B.由于事件 A 、B 相互独⽴，222C 5C 4 2
所以 P(A) ＝C 62＝ 3， P(B)＝C 62＝5，
所以选出的 4 ⼈均选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》的概率为P(A ·B)＝2 24
P(A) · P(B)＝ 3×5＝15.(2)X 可能的取值为 0,1,2,3，则42111222C 5C 2·C 4C 5C 4
， P(X ＝1)＝2· 2 ＋ 2·2＝，
P(X ＝ 0)＝15C 6 C 6C 6 C 645111
P(X ＝ 3)＝ C 52· 2＝ .C 6 C 6 452
P(X ＝ 2)＝1－P(X ＝0) －P(X ＝1)－ P(X ＝ 3)＝ 9.故 X 的分布列为X 0 1 2 3 P4 22 2 1 15
45945
所以 X 的数学期望 E(X) ＝0× 4 ＋1×22＋2×2＋3× 1 ＝1 (⼈ )．15 45 9 45 6.
已知甲盒内有⼤⼩相同的 1 个红球和 3 个⿊球，⼄盒内有⼤⼩相同的2 个红球和 4 个⿊球．现在从甲、⼄两个盒内各任取 2 个球．
（ I ）求取出的 4 个球均为⿊⾊球的概率；（II ）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；
（III ）设ξ为取出的 4 个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．解：（ I）设“从甲盒内取出的 2 个球均⿊球”为事件 A ，“从⼄盒内取出的 2 个球为⿊球”为事件B．∵事件 A ， B 相互独⽴，且．
∴取出的 4 个球均为⿊球的概率为P（AB ） =P （ A ）P（ B）=．
（ II ）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为⿊球；从⼄盒内取出的 2 个球中， 1 个是红红， 1 个是⿊球”为事件 C，“从甲盒内取出的 2 个球中， 1 个是红球， 1 个是⿊球；从⼄盒内取出的 2 个球均为⿊球”为事件D．∵事件 C， D 互斥，且．
∴取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为P（C+D ） =P （C） +P （ D ） =．（III ）解：ξ可能的取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ．由（ I），（ II ）得，⼜ ，
从⽽ P （ξ=2 ） =1
P （ξ=0 ） P （ξ=1 ） P （ξ=3 ）= ．ξ的分布列ξ的数学期望．
五、独⽴事件概率分布之⾮⼆ 分布（主要在于如何分 ）1.开 次数的数学期望和⽅差
有 n 把看上去 ⼦相同的 匙， 其中只有⼀把能把⼤ 上的 打开． ⽤它 去 开 上的 ． 抽取 匙是相互独⽴且等可能的．每把 匙 开后不能放回．求 开次数的数学期望和⽅差．分析： 求 P(
k ) ，由 知前 k 1次没打开，恰第 k 次打开．不 ，⼀般我 从的地⽅⼊⼿，如
1,2,3 ， 律后，推⼴到⼀般．解： 的可能取1， 2，3，?， n ．P(1)1 ,nP(2) 11n 1 11;(1 )n 1 n
n 1 nnP(3) (1 1) (11 ) 1n 1 n 2 11 ;nn 1 n 2n n 1 n 2 nP(k) (1 1) (11 ) (11) (11 ) 1 n 1 n2 n3 n k 111n n 1n 2n k 2 n k 1
n n 1 n 2 n k 2 n k 1 n；所以的分布列 ：12 ? k ? nP1 1 1 1 nnnnE 112131n 1 n 1 ；nnnn2D(1n 1 2 1n 1 21 n 1 21(kn 1 21 n 1)2
1)( 22 )( 3)n )n(nn2nn2221 (12 2232n 2) ( n 1)(1 2 3n) (n 1) 2 nn21 1
n(n 1)(2n 1) n( n 1) 2 n( n 1)2 n 2 1n 62 4 12
2. 射 中耗⽤⼦ 数的分布列、期望及⽅差
某射⼿ ⾏射 ，每射 5 ⼦ 算⼀ ，⼀旦命中就停⽌射 ，并 ⼊下⼀ 的 ，否 ⼀直打完 5 ⼦ 后才能 ⼊下⼀ ， 若 射⼿在某 中射 命中⼀次，并且已知他射 ⼀次的命中率
0.8，求在 ⼀ 中耗⽤⼦ 数 的分布列，并求出 的期望 E与⽅差 D
（保留两位⼩数） ．
分析： 根据随机 量不同的取 确定 的概率，在利⽤期望和⽅差的定 求解．解：耗⽤的⼦ 数随机 量，可以取
1， 2， 3， 4， 5．＝ 1，表⽰⼀ 即中，故概率P ( 1)0.8;
＝ 2，表⽰第⼀ 未中，第⼆ 命中，故P ( 2) (1 0.8) 0.8 0.2 0.8 0.16;
＝ 3，表⽰第⼀、⼆ 未中，第三 命中，故P (
3) (1 0.8)2 0.8 0.22 0.8 0.032;
＝ 4，表⽰第⼀、⼆、三 未中，第四 命中，故P (
4) (1 0.8)3 0.8 0.23 0.8 0.0064＝ 5，表⽰第五 命中，故P ( 5) (1 0.8) 4 1 0.24 0.0016.
因此，的分布列为1 2 3 4 5
P 0.8 0.16 0.032 0.0064 0.0016
E 1 0.8 2 0.16 3 0.032 4 0.0064 5 0.00160.8 0.32 0.096 0.0256 0.008 1.25,
D (1 1.25)2 0.8 (2 1.25)2 0.16 (3 1.25 )2 0.032 (4 1.25) 2 0.0064 (5 1.25)2 0.00160.05 0.09 0.098 0.0484 0.0225 0.31.
3. 在某校组织的⼀次篮球定点投篮训练中，规定每⼈最多投 3 次；在 A 处每投进⼀球得 3 分，在 B 处每投进⼀球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停⽌投篮，否则投第三次 . 某同学在 A 处的命中率 q 1为 0. 25，在 B 处的命中率为q 2，该同学选择先在 A 处投⼀球，以后都在 B 处投，⽤表⽰该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（1）求 q 2的值；
（2）求随机变量的数学期望E；
（ 3）试⽐较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述⽅式投篮得分超过 3 分的概率的⼤⼩．
解 :（ 1）设该同学在 A 处投中为事件A，在 B 处投中为事件B，则事件 A，B 相互独⽴，且 P(A)=0. 25，P( A)0.75 ，P(B)= q2，P( B)1q2．根据分布列知：=0时P( ABB )P( A)P( B)P(B)0.75(1 q2 ) 2=0. 03，所以1 q20.2 ，q2=0. 8．（ 2）当=2 时， P1= P( AB B ABB) P(ABB) P( ABB)
P( A) P( B)P( B) P( A) P(B) P( B) =0. 75q2(1 q2)×2=1.5q2(1q2)=0. 24．当=3 时， P2= P( ABB )P( A) P( B)P( B)0.25(1 q2 )2=0. 01，当 =4 时， P 3 = P( ABB) P( A) P( B)P( B) 0.75q 2 2 =0. 48，当 =5 时， P 4 = P( ABB AB)P( ABB ) P( AB)
P( A) P( B)P( B) P( A) P(B) 0.25q 2 (1 q 2 ) 0.25q 2 =0. 24．所以随机变量的分布列为：随机变量
的数学期望 E 0 0.03 2 0.24 3 0.01 4 0.48 5 0.24 3.63 ．（ 3）该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P(BBBBBB BB)
P(BBB ) P( BBB ) P(BB )2(1 q 2 )q 22 q 22 0.896 ；
该同学选择（ 1）中⽅式投篮得分超过 3 分的概率为 0. 48+0. 24=0. 72．由此看来该同学选择都在
B 处投篮得分超过 3 分的概率⼤．
4. 某科技公司遇到⼀个技术难题，紧急成⽴甲、⼄
两个攻关⼩组，按要求各⾃单独进⾏为期⼀个⽉的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的⼩组给予奖励．已知这2 些技术难题在攻关期满时被甲⼩组攻克的概率为 被⼄⼩组攻3
克的概率为3.4
（1）设 X 为攻关期满时获奖的攻关⼩组数，求 X 的概率分布及V(X)；
（2）设 Y 为攻关期满时获奖的攻关⼩组数的 2 倍与没有获奖的攻关⼩组数之差，求 V(Y).5. 某城市有甲、⼄、丙3 个旅游景点，⼀位客⼈游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6 ，且客⼈是否游览哪个景点互不影响，设表⽰客⼈离开该城市时游览的
景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．（Ⅰ）求
的分布列及数学期望；（Ⅱ）记“函数 f ( x)x 2 3 x 1在区间 [2,
) 上单调递增”为事件 A ，求事件 A的概率 .
分析：（ 2）这是⼆次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，32 即可．
就本题⽽⾔，只需2
解：（ 1）分别记“客⼈游览甲景点”，“客⼈游览⼄景点” ，“客⼈游览丙景点”为事件 A1, A2 , A3．由已知 A1 , A2 , A3 相互独⽴， P( A1 ) 0.4, P( A2 ) 0.5, P( A3 ) 0.6 . 客⼈游览的景点数的可能取值为0，1， 2， 3. 相应的，客⼈没有游览的景点数的可能取值为 3， 2， 1， 0，所以的可能取值为 1， 3．P( 3) P( A1 gA2 gA3 ) P( A1 gA2 gA3 )[
P( A1 )P( A2 )P( A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3) 2 0.4 0.5 0.6 0.24P( 1) 1 0.24 0.761 3
所以的分布列为P 0.76 0.24
E( ) 1 0.76 3 0.24 1.48
（Ⅱ）解法⼀：因为 f ( x) (x 3 )2 19 2 , 所以函数2 4
f ( x) x2 3 x 1在区间[ 3
, ) 上单调递增，要使 f (x)在 [2, ) 上单调递增，2当且仅当3
2,即 4 .从⽽ P( A) P( 4 )P( 1) 0.76.2 3 3
解法⼆：的可能取值为1， 3.
当 1 时，函数 f ( x) x2 3x 1在区间 [2, ) 上单调递增，当 3 时，函数 f (x) x2 9x 1在区间 [2, ) 上不单调递增.所以 P( A) P( 1) 0.76.
6.甲、⼄两⼈各进⾏ 3 次射击，甲每次击中⽬标的概率为1，⼄每次击中⽬标22
的概率为3.
(1)求⼄⾄多击中⽬标 2 次的概率；
(2)记甲击中⽬标的次数为 Z ，求 Z 的分布列、数学期望和标准差．解 (1)甲、⼄两⼈射击命中的次数服从⼆项分布，故⼄⾄多击中⽬标2 次的3 2 319
概率为 1－C 3 3 ＝27.
0 1 3 1 (2)P(Z ＝0)＝C 3 2 ＝8；P(Z ＝1) 1 1 3 3
＝C 3 2 ＝ 8； P(Z ＝2) ＝C 32 1 3＝32 8；
P(Z ＝3) ＝C 33 1 12 3＝ . 8
Z 的分布列如下表：Z 0 1 2 3 P 1 3 3 188881331 3
E(Z)＝0× 8＋1×8＋2×8＋3×8＝ 2，D(Z) ＝ 0－ 3 1 3 3 33 3 1 3 D Z ＝3
2 2× ＋ 1－ 2 2× ＋ 2－2 2× ＋ 3－
2
2× ＝ ，∴ 2 .8 8 88 4
7.某陶瓷⼚准备烧制甲、⼄、丙三件不同的⼯艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第⼀次烧制合格后⽅可进⼊第⼆次烧制，两次烧制过程相互独⽴．根据该⼚现有的技术⽔平，经过第⼀次烧制后，甲、⼄、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6， 0.4.经过
第⼆次烧制后，甲、⼄、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.
(1)求第⼀次烧制后恰有⼀件产品合格的概率；(2)经过前后两次烧制后，合格⼯艺品的个数为ξ，求随机变量 ξ的期望与⽅差．解
分别记甲、⼄、丙经第⼀次烧制后合格为事件 A 1、A 2、 A 3 .(1)设 E 表⽰第⼀次烧制后恰好有⼀件合格，则
P(E)＝ P(A 1 A 2 A 3)＋ P( A 1A 2 A 3) ＋ P( A 1 A 2A 3)＝ 0.5× 0.4× 0.6＋ 0.5× 0.6× 0.6＋0.5× 0.4×0.4＝ 0.38.
(2)因为每件⼯艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p ＝ 0.3，所以 ξ～B(3,0.3) ．故 E(ξ)＝np ＝3× 0.3＝0.9，V( ξ)＝np(1－p)＝ 3× 0.3×0.7＝ 0.63.8.某地最近出台⼀项机动车驾照考试规定；每位考试者⼀年之内最多有 4 次参加考试的机会，
如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6， 0.7， 0.8，0.9，
求在⼀年内李明参加驾照考试次数
的分布列和 的期望，并求李明在⼀年内领到驾照的概率 .
解： 的取值分别为 1， 2， 3，4.
1 ，表明李明第⼀次参加驾照考试就通过了，故P （1） =0.6.
2 ，表明李明在第⼀次考试未通过，第⼆次通过了，故P(
2) (1 0.6) 0.7 0.28.
ξ =3，表明李明在第⼀、⼆次考试未通过，第三次通过了，故P(
3) (1 0.6) (1 0.7) 0.8 0.096.
ξ =4，表明李明第⼀、⼆、三次考试都未通过，故P(4) (1 0.6) (1 0.7) (1 0.8) 0.024.∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为ξ
1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.0960.024
∴ξ的期望 E ξ=1× 0.6+2 ×0.28+3 ×0.096+4×0.024=1.544. 李明在⼀年内领到驾照的概率为1－ (1－ 0.6)(1－ 0.7)(1 -0.8)(1－ 0.9)=0.9976.
9.某先⽣居住在城镇的 A 处 ,准备开车到单位 B 处上班，若该地各路段发⽣堵车事件都是独⽴的，且在同⼀路段发⽣堵车事件最多只有⼀次，发⽣堵车事件的概率，如图． ( 例如： ＡＣ
Ｄ算作两个路段：路段Ａ C 发⽣堵车事件的概率为1
，路段 CD 发⽣堵车事件的概率为110)．15
（１） 请你为其选择⼀条由Ａ到Ｂ的路线，使得 途中发⽣堵车事件的概率最⼩； （２） 若记ξ路线ＡＣＦＢ中遇到堵车
次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Ｅξ．解： (1)记路段 MN 发⽣堵车事件为MN.
因为各路段发⽣堵车事件都是独⽴的，且在同⼀路段发⽣堵车事件最多只有⼀次， 所以路线Ａ Ｃ D Ｂ中遇到堵车的概率 P 1 为1－Ｐ ( AC ? CD ? DB )=1－Ｐ ( AC ) ? Ｐ ( CD ) ?Ｐ ( DB )＝１－［１－Ｐ (AC)］［１－Ｐ (CD)］［１－ P(DB)］＝１－9
14 5 ＝ 3 ； 10 15 6 10同理：路线Ａ
Ｃ Ｆ Ｂ中遇到堵车的概率 P ２为1－Ｐ ( AC ? CF ? FB )=239（⼩于3）；800 10路线ＡＥＦ
Ｂ中遇到堵车的概率 P 为３
1－Ｐ ( AE ? EF ? FB )=91 （⼤于 3 ）300
10 显然要使得由Ａ到Ｂ的路线途中发⽣堵车事件的概率最⼩，只可能在以上三条路线中选择．因此选择路线Ａ
Ｃ Ｆ Ｂ ,可使得途中发⽣堵车事件的概率最⼩.(2) 路线Ａ Ｃ Ｆ
Ｂ中遇到堵车次数ξ可取值为0,1,2,3．
Ｐ (ξ＝０ )＝Ｐ ( AC ? CF ? FB )＝561， 800
Ｐ (ξ＝ 1)＝Ｐ (AC ? CF ? FB )＋Ｐ ( AC ? ＣＦ ? FB )＋Ｐ ( AC ? CF ? ＦＢ )＝1
17 11 ＋ 9 3 11 ＋ 9 17 1 ＝ 637 ，10 20 12
10 20 12 10 20 12 2400
Ｐ (ξ＝２ )＝Ｐ (AC ? ＣＦ ? FB )＋Ｐ (ＡＣ ? CF ? ＦＢ )＋Ｐ ( AC ? ＣＦ ? ＦＢ )＝1
3 11 ＋ 1 17 1 ＋ 9 31 ＝ 77 ， 10 20 12 10 20 12 10 20 12 2400Ｐ (ξ＝ 3)＝Ｐ ( AC CF FB )＝13 1 ＝3 ．10 20 12
2400∴Ｅξ＝０×561＋１×637 ＋２× 77＋３× 3 ＝ 1。 800
2400 2400 2400 3答: 路线Ａ
Ｃ Ｆ Ｂ中遇到堵车次数的数学期望为10.分类题型中的难题13
在⼀次电视节⽬的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断
正确的概率为 p ，判断错误的概率为 q ，若判断正确则加 1 分，判断错误则减 1 分，现记“该 明星答完 n 题后总得分为 S n ”．2 时，记ξ =|S
3 | ，求ξ的分布列及数学期望及⽅差；
（2）当 p= 1 3 ， q= 2 3 时，求 S 8 =2且 S i ≥ 0（ i=1， 2， 3， 4）的概率．解：（ 1）∵ξ=|S 3|的取值为 1 ， 3 ，⼜；∴， ．
∴ξ的分布列为：∴E ξ=1 × +3 × = ；D ξ= =
（ 2 ）当 S 8 =2 时，即答完 8 题后，回答正确的题数为5 题，回答错误的题数是3 题，
⼜已知 S i ≥0（ i=1 ，2 ， 3 ， 4 ），若第⼀题和第⼆题回答正确，则其余6 题可任意答对 3 题；
若第⼀题正确，第⼆题回答错误，第三题回答正确，则后5 题可任意答对 3 题．此时的概率为．. 六．拓展
1.某车站每天 8∶ 00~9∶ 00，9∶ 00~10∶ 00 都恰有⼀辆客车到站， 8∶00~9∶ 00 到站的客车A 可能在 8∶ 10，8∶ 30，8∶50 到站，其概率依次为 1 , 1 , 1;9∶ 00~10∶ 00 到站的客车 B
6 2 3 可能在 9∶ 10， 9∶ 30,9∶ 50 到站，其概率依次为 1 , 1 , 1 .3 2 6
(1) 旅客甲 8∶ 00 到站，设他的候车时间为 ，求 的分布列和 E ； (2) 旅客⼄ 8∶ 20 到站，设他的候车时间为,求 的分布列和 E .
（1）旅客 8∶00 到站，他的候车时间的分布列为：E 101 30
1 1 100 (分钟 )6 50332
（2）旅客⼄ 8∶ 20 到站，他的候车时间的分布列为：10 30 50 70 50P1
1）当 p=q= 1 （1
1 1 1 1 1 1636 22366E
10 1 30 1 50 1 70 1 90 1235 (分钟 )2 3 18 12 36 9
2.A 、 B 两个投资项⽬的利润率分别为随机变量X 1 和 X 2，根据市场分析， X 1 和X 2 的分布列分别为X 15% 10% P0.80.2
X 2 2% 8% 12% P0.20.50.3
(1)在 A ， B 两个项⽬上各投资 100 万元， Y 1 和 Y 2 分别表⽰投资项⽬ A 和 B 所获得的利润，求⽅差 V(Y 1 、 2 ；) V(Y )
(2)将 x(0≤x ≤100)万元投资 A 项⽬， 100－x 万元投资 B 项⽬， f(x) 表⽰投资 A 项⽬所得利润的⽅差与投资 B 项⽬所得利润的⽅差的和． 求 f(x) 的最⼩值，并指出 x 为何值时， f(x) 取到最⼩值．解 (1)由题设可知 Y 1 和 Y 2 的分布列分别为Y 15 10 P0.80.2Y 22 8 12P0.20.50.3
E(Y 1 )＝ 5× 0.8＋ 10×0.2＝6，
V(Y 1)＝ (5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E(Y 2 )＝ 2× 0.2＋ 8× 0.5＋12×0.3＝8，
V(Y 2)＝ (2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.x － x
(2)f(x) ＝V 100Y 1 ＋ V 100 100 Y 2＝x 2V(Y 1)＋100－x2V(Y2)100 100＝10042[x
2＋3(100－x)2]＝10042(4x
2－ 600x＋3×1002)，当 x＝600
＝ 75 时， f(x)＝3 为最⼩值 . 2× 43.
0.25，有⼤洪⽔的概率为0.01。设⼯地上有
据⽓象预报，某地区下个⽉有⼩洪⽔的概率为台⼤型设备，为保护设备有以下三种⽅案。⽅案 1 ：运⾛设备，此时需花费3800 元。
⽅案 2：建⼀保护围墙，需花费2000 元。但围墙⽆法防⽌⼤洪⽔，当⼤洪⽔来临，设备受损，损失费为 60000 元。⽅案 3 ：不采取措施，希望不发⽣洪⽔。此时⼤洪⽔来临损失60000 元，⼩洪⽔来临损失 10000 元。试⽐较哪⼀种⽅案好。
解：⽐较三者费⽤的期望值即可A ⽅案：费⽤为3800
B ⽅案：设 B 为费⽤，则列出分布列如下：B
0 2000 6000P 0.74 0.25 0.01
所以 E B 0 0.74 2000 0.21 6 10 4 0.01 500 620 1120C ⽅案：设 C 为费⽤，则列出分布列如下：C 0 1000 60000P 0.74 0.250.01
所以 E c 0 0.74 104 0.25 6 10 4 0.01 3100
故 : ⽅案 A 的费⽤ >⽅案 C 的费⽤ >⽅案 B 的费⽤所以采⽤⽅案 B。六、综合算法1.2015 年期末考试题
长时间⽤⼿机上⽹严重影响学⽣的健康，如果学⽣平均每周⼿机上⽹的时长超过 5 ⼩时，则称为“过度⽤⽹” ，某校为了解A,B 两班学⽣⼿机上⽹的情况，分别从这两个班中随机抽取6 名学⽣样本进⾏调查，
1 , 1 由样本数据统计得到 A,B 两班学⽣“过度⽤⽹”的概率分别为3 2
（1）从 A 班的样本数据中抽取 2 个数据，求恰有 1 个数据为“过度⽤⽹”的概率
（2）从 A 班， B 班的样本中随机抽取 2 名学⽣的数据，记“过度⽤⽹”的学⽣⼈数为，写出其分布列和数学期望 E 。2.国家公务员考试，某单位已录⽤公务员5 ⼈，已安排到 A,B,C 三个科室⼯作，但甲必须安排在 A 科室，其余 4 ⼈可以随机安排.
（1）求每个科室安排⾄少 1 ⼈⾄多 2 ⼈的概率；（分为 A 和⾮ A 两种情况，⾮ A 需要讨论，所以⽤古典概型）
（2）设安排在 A 科室的⼈数为随机变量 X，求 X 的概率分布及数学期望和⽅差 .（分为 A 和⾮ A 两种情况，⾮ A 不再需要讨论，所以部分⽤⼆项分布）
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容