繁峙县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

繁峙县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（ ） A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3

2． 已知函数f（x）=x2﹣

，则函数y=f（x）的大致图象是（ ）

A． B． C． D．

3． 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是，，，已知8b5c，C2B，则cosC（ ） A．

77724 B． C.  D．

25252525，则

的值是（ ）

B．

C．

D．0

C．

4． 已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且A．

5． 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A．

B．

D．

6． 某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（ ）

A．4320 B．2400 C．2160 D．1320

7． 集合Mx|x4k2,kZ，Nx|x2k,kZ，Px|x4k2,kZ，则M，

N，P的关系（ ）

A．MPN B．NPM C．MNP D．MPN 8． 函数

的定义域是（ ）

A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（0，+∞） D．（1，+∞）

9． 已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的范围是（ ） A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．[﹣∞，3]

10．特称命题“∃x∈R，使x2+1＜0”的否定可以写成（ ） A．若x∉R，则x2+1≥0

B．∃x∉R，x2+1≥0

D．[﹣∞，3）

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C．∀x∈R，x2+1＜0 D．∀x∈R，x2+1≥0

11．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S的值为（ ）

A．9.6 B．7.68 C．6.144 D．4.9152

12．下列图象中，不能作为函数y=f（x）的图象的是（ ）

A． B．C．

D．

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二、填空题

13．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为 ．

14．直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，则实数a的值为 ．

15．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为 ．

16．三角形ABC中，AB23,BC2,C60，则三角形ABC的面积为 . 17．设α为锐角，若sin（α﹣18．已知点M（x，y）满足是 ．

）=，则cos2α= ．

，当a＞0，b＞0时，若ax+by的最大值为12，则+的最小值

三、解答题

19．有编号为A1，A2，…A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据： 编号 直径

A1 1.51

A2 1.49

A3 1.49

A4 1.51

A5 1.49

A6 1.51

A7 1.47

A8 1.46

A9 1.53

A10 1.47

其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品． （Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个． （ⅱ）求这2个零件直径相等的概率．

（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； （ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；

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20．已知函数f（x）=x3+x．

（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论； （2）求证：f（x）是R上的增函数；

（3）若f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，求m的取值范围．

3322

（参考公式：a﹣b=（a﹣b）（a+ab+b））

21．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC内种植花卉.已知AB长为1千米，设角C,AC边长为BC边长的aa1倍，三角形ABC的面积为S（千米2）. 试用和a表示S；

（2）若恰好当60时，S取得最大值，求a的值.

22．（本小题满分13分） 设f(x)

11，数列{an}满足：a1，an1f(an),nN．

21x第 4 页，共 16 页

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（Ⅰ）若1,2为方程f(x)x的两个不相等的实根，证明：数列an1为等比数列；

an2（Ⅱ）证明：存在实数m，使得对nN，a2n1a2n1ma2n2a2n．

）

223．设集合Ax|x8x150,Bx|ax10．

1，判断集合A与B的关系； 5（2）若ABB，求实数组成的集合C．

（1）若a

24．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l过点P（1，0）， 斜率为

，曲线C：ρ=ρcos2θ+8cosθ．

（Ⅰ）写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

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繁峙县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是， x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件， x＞3是x＞2的充分条件，

x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件， 故选：A

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．

2． 【答案】A

【解析】解：由题意可得，函数的定义域x≠0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足f（﹣1）=f（1）=1，可排除B、C两个选项． ∵当x＞0时，t=∴函数y=f（x）=x﹣

2

=在x=e时，t有最小值为

2

，当x＞0时满足y=f（x）≥e﹣＞0，

因此，当x＞0时，函数图象恒在x轴上方，排除D选项 故选A

3． 【答案】A 【解析】

考

点：正弦定理及二倍角公式.

【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如sin理

2cos21,cos2cos2sin2,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定

abc2R，余弦定理a2b2c22bccosA， 实现边与角的互相转化. sinAsinBsinC第 7 页，共 16 页

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4． 【答案】A

【解析】解：取AB的中点C，连接OC，∴sin

=sin∠AOC=

=

，则AC=

，OA=1

所以：∠AOB=120° 则

•

=1×1×cos120°=

．

故选A．

5． 【答案】D

【解析】解：设F2为椭圆的右焦点

．

．

由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线， 所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2． 又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a， 所以|PF2|=2a﹣c． 所以2a﹣c=故选D．

，所以e=

【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．

6． 【答案】D

【解析】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（根据分类计数原理，可得388+932=1320种，

﹣

）•

=932

•=388，

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故选D．

【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．

7． 【答案】A 【解析】

试题分析：通过列举可知MP2,6,N0,2,4,6，所以MPN. 考点：两个集合相等、子集．1 8． 【答案】A

xx0

【解析】解：由题意得：2﹣1≥0，即2≥1=2，

因为2＞1，所以指数函数y=2为增函数，则x≥0．

x

所以函数的定义域为[0，+∞） 故选A

【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．

9． 【答案】B

【解析】解：∵集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}， 若A⊆B，则a＞3， 故选：B．

【点评】本题考查了集合的包含关系，考查不等式问题，是一道基础题． 10．【答案】D

2

【解析】解：∵命题“∃x∈R，使x+1＜0”是特称命题

2

∴否定命题为：∀x∈R，都有x+1≥0．

故选D．

11．【答案】C

x

【解析】解：由题意可知，设汽车x年后的价值为S，则S=15（1﹣20%）， 4

结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）=6.144．

故选：C．

12．【答案】B

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【解析】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量x只能有唯一的y与x对应，选项B中，当x＞0时，有两个不同的y和x对应，所以不满足y值的唯一性． 所以B不能作为函数图象． 故选B．

【点评】本题主要考查函数图象的识别，利用函数的定义是解决本题的关键，注意函数的三个条件：非空数集，定义域内x的任意性，x对应y值的唯一性．

二、填空题

13．【答案】 A ．

【解析】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为A． 故答案为：A．

但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，

【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．

14．【答案】1

【解析】 【分析】利用两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a的值． 【解答】解：直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行， ∴

故答案为 1． 15．【答案】

． ，解得 a=1．

【解析】解：由题意画出几何体的图形如图

由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大． ∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=在RT△SHO中，OH=

OC=

OS

CH=

．

∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1， ∴体积V=

Sh=

×

×2×1=

2

．

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故答案是．

【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．

16．【答案】23 【解析】

试题分析：因为ABC中，AB23,BC2,C60，由正弦定理得BCAB，即AC，所以C30，∴B90，ABBC，SABC考点：正弦定理，三角形的面积．

1232，sinA，又23sinA21ABBC23． 2【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式．在解三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，一般来说，当条件中同时出现ab及b、a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正

22弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦，再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答．解三角形时．三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式17．【答案】 ﹣

【解析】解：∵α为锐角，若sin（α﹣∴cos（α﹣∴sin

2

∴cos2α=1﹣2sinα=﹣

111abcabsinC，ah，(abc)r，等等． 2224R ．

）=，

）=，

=

．

[sin（α﹣

）+cos（α﹣

）]=

，

故答案为：﹣．

【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．

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18．【答案】 4 ．

【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

，

由，解得：A（3，4），

显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12， 此时：3a+4b=12，即+=1， ∴+=（+）（+）=2+当且仅当3a=4b时“=”成立， 故答案为：4．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．

+

≥2+2

=4，

三、解答题

19．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个． 设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P（A）=（Ⅱ）（i）一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6． 从这6个一等品零件中随机抽取2个，

=；

所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}， {A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}， {A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}共有15种． （ii）“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件B

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B的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}， {A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种． ∴P（B）=

．

【点评】本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．

20．【答案】

【解析】解：（1）f（x）是R上的奇函数

33

证明：∵f（﹣x）=﹣x﹣x=﹣（x+x）=﹣f（x），

∴f（x）是R上的奇函数

（2）设R上任意实数x1、x2满足x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，

f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+[（x1）3﹣（x2）3]=（x1﹣x2）[（x1）2+（x2）2+x1x2+1]=（x1﹣x2）[（x1+x2）

2

+x22+1]＜0恒成立，

因此得到函数f（x）是R上的增函数．

（3）f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，可化为f（m+1）＜﹣f（2m﹣3）， ∵f（x）是R上的奇函数，∴﹣f（2m﹣3）=f（3﹣2m）， ∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3﹣2m）， ∵函数f（x）是R上的增函数， ∴m+1＜3﹣2m， ∴

21．【答案】（1）S

1asin （2）a23 21a22acos【解析】解析：

（1）设边BCx，则ACax， 在三角形ABC中，由余弦定理得：

试题

1x2ax22ax2cos，

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1，

1a22acos11asin所以Saxxsin，

221a22acos2所以x21acos1a2acos2asinasin（2）因为S， 2221a2acos221acos1a2a， 2221a2acos2a, 1a22a且当0时，cos0，S0， 21a2a当0时，cos0，S0，

1a2令S0，得cos0所以当0时，面积S最大，此时0600，所以解得a23， 因为a1，则a23. 点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。 22．【答案】

221011111【解析】解：证明：f(x)xx2x10，∴2，∴． 2221012211an111an111an121an1an12∵， （3分）

1an121aaa22n22n2n221ana110，10，

a1222a1， 1a22∴数列an1为等比数列． （4分）

an251，则f(m)m． 2（Ⅱ）证明：设m第 14 页，共 16 页

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由a11231及an1得a2，a3，∴0a1a3m． 2351an∵f(x)在(0,)上递减，∴f(a1)f(a3)f(m)，∴a2a4m．∴a1a3ma4a2，（8分） 下面用数学归纳法证明：当nN时，a2n1a2n1ma2n2a2n． ①当n1时，命题成立． （9分）

②假设当nk时命题成立，即a2k1a2k1ma2k2a2k，那么 由f(x)在(0,)上递减得f(a2k1)f(a2k1)f(m)f(a2k2)f(a2k) ∴a2ka2k2ma2k3a2k1

由ma2k3a2k1得f(m)f(a2k3)f(a2k1)，∴ma2k4a2k2， ∴当nk1时命题也成立， （12分）

由①②知，对一切nN命题成立，即存在实数m，使得对nN，a2n1a2n1ma2n2a2n.

23．【答案】（1）BA；（2）C0,3,5. 【解析】

考

点：1、集合的表示；2、子集的性质. 24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，0），斜率为∴直线l的一个参数方程为

（t为参数）；

，

2

∵ρ=ρcos2θ+8cosθ，∴ρ（1﹣cos2θ）=8cosθ，即得（ρsinθ）=4ρcosθ， 22

∴y=4x，∴曲线C的直角坐标方程为y=4x．

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（Ⅱ） 把22

代入y=4x整理得：3t﹣8t﹣16=0，

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则∴

．

，

【点评】本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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