辽宁省实验中学2017-2018学年度下学期期中阶段测试
高二文科 数学试卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.复数
的虚部是
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意结合复数虚部的定义求解虚部即可. 【详解】由复数虚部的定义可知复数的虚部为
.
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查虚部的定义，属于基础题目. 2.复数的共轭复数是 A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意结合共轭复数的定义求解共轭复数即可. 【详解】由共轭复数的定义可知复数的共轭复数是
.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查共轭复数的定义与计算，属于基础题目. 3.复数
在复平面上对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】
首先进行复数运算，然后确定其对应的点所在的象限即可. 【详解】由复数的运算法则可知：
，
该复数在复平面上对应的点为本题选择D选项.
，该点位于第四象限.
【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式. 4.已知复数A. B. 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意得到关于m的方程组，求解方程组即可求得实数m的值. 【详解】复数
，据此可得：
本题选择A选项.
【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化. 5.已知复数A. B. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求解
，然后得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.
，其中 C. 或
.若 D.
，则
是纯虚数，则： .
C. 或
,其中 D.
.若是纯虚数，则
【详解】由题意可得：
，
若，则，解得： 或.
本题选择C选项.
【点睛】复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数内容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题范畴. 6.复数满足A. B. 【答案】C 【解析】 【分析】
首先确定复数z，然后求解复数的模即可. 【详解】由题意可得：本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的求解等知识，意在考查学生的转化能和计算求解能力. 7.复数满足
，则的最大值是
，则
.
C.
，则 D.
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意首先确定z的轨迹，然后数形结合确定的最大值即可. 【详解】由题意可知：
，即复数与复数
的距离为，
复数在复平面内的轨迹为如图所示的圆，数形结合可知的最大值在点处取得， 其最大值为：本题选择A选项.
.
【点睛】本题主要
考查复数的模的几何意义，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8.复数满足
，则下列四个判断中，正确的个数是
①有且只有两个解； ②只有虚数解； ③的所有解的和等于； ④的解的模都等于； A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】
由题意结合复数的运算法则求得z的值，然后考查所给的说法是否正确即可. 【详解】设
，则
，
结合题意可得：，解得：或，
即或.
考查题中说给的四个说法： ①有且只有两个解正确； ②只有虚数解正确； ③的所有解的和等于正确； ④的解的模都等于正确； 即四个判断中，正确的个数是4. 本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9.为了表示散点图中个点与某一条直线在整体上的接近程度,我们常用下面四个量中的 A. 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意结合回归方程的性质确定所需的量即可.
【详解】对于散点图，我们用回归方程来拟合所给的点， 在度量上，用本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查回归方程的性质与应用，属于基础题目.
10.在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有四个.类似的：在立体几何中，与正四面体的六条棱所在直线的距离相等的点 （ ） A. 有且只有一个 B. 有且只有三个 C. 有且只有四个 D. 有且只有五个 【答案】D 【解析】 【分析】
由题意结合三角形的性质类比推理三棱锥的性质即可.
来表示散点图中个点与某一条直线在整体上的接近程度.
B.
C.
D.
【详解】如图1所示的四个圆的圆心到到△ABC的三边距离相等，这样的点有且只有四个， 类似的，如图2所示，三棱锥P-ABC的内切球球心到六条棱所在直线的距离相等， 将三棱锥延拓为三棱锥
，所得三棱台
的内切球(只可能与底面不相切)球心到
正四面体的六条棱所在直线的距离相等，同理，对每个面进行延拓均可得到一个满足题意的点，据此可知，满足题意的点有且只有五个. 本题选择D选项.
【点睛】在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误． 11.函数
,已知
在
时取得极值,则的值为
A. B. C. 和 D. 以上都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】
首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的极值确定实数a的值即可. 【详解】由题意可得：函数即当当
时，时，在
时取得极值的必要条件为，据此可得：
，在，在
或
，
的符号相同，不合题意，舍去； 的符号不同，符合题意；
，
，
两侧函数两侧函数
综上可得的值为1. 本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查导函数研究函数的极值及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12.角①④
是△
的两个内角.下列六个条件中，“
； ③； ⑥
； .
”的充分必要条件的个数是
； ②； ⑤
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】
由题意结合三角函数的性质和三角形的性质逐一考查所给的条件是否符合题意即可. 【详解】逐一考查所给的条件： 由正弦定理可知在△ABC中，故函数当当据此可得：综上可得：当
时，
；
无意义，则⑤⑥均不是“”的充分必要条件的个数是4.
”的充分必要条件.
在区间
上单调递减，故
，则，故
，据此可得：；
；
； ， ，
，
时，易知时，由于
综上可得：“本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角函数知识的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13.用反证法证明“已知所做出的假设为____________.
,求证:
这三个数中至少有一个不小于”时，
【答案】假设【解析】 【分析】
这三个数都小于
由题意结合反证法否定结论即可. 【详解】题中原命题的结论为否定结论可知其做出的假设为：假设
这三个数中至少有一个不小于，
这三个数都小于.
【点睛】本题主要考查反证法的概念与应用，属于基础题目. 14.在平面几何中：已知是△
内的任意一点，连结
并延长交对边于
，则
.这是一个真命题，其证明常采用“面积法”.拓展到空间，可以得出的真
命题是：已知是四面体则___________. 【答案】【解析】 【分析】
由题意利用等体积法进行类比推理即可得出等式. 【详解】利用类比推理可给出结论：由题意结合三棱锥的结构特征可得：
，
由于
故以上四个等式相加可得：
，
，
，
.
，
.证明如下：
内的任意一点，连结
并延长交对面于
，
【点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 15.在研究函数和区间
(
)的单调区间时，有如下解法:设
与
有相同的单调区间,所以
在区间
,
在区间和区间
上是减函数,因为
上是减函数.类比上述作法,研究函数
_____________. 【答案】【解析】 【分析】
()的单调区间,其单调增区间为
利用题中所给的方法构造出新的函数，然后结合复合函数的单调性确定函数调区间即可. 【详解】构造函数当当
时，时，
(
，则
，
((
()的单
单调递减，由复合函数的单调性可知函数单调递增，由复合函数的单调性可知函数)的单调增区间为
.
)单调递减； )单调递增；
综上可得：函数
【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，复合函数单调性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16.某同学在一次研究性学习中发现： 若集合若集合若集合
满足：满足：满足：
，则
共有组； ，则
共有组； ，则
共有
组.
根据上述结果, 将该同学的发现推广为
满足：
【答案】【解析】 【分析】
，则
五个集合, 可以得出的正确结论是：若集合
共有___________组.
由题意结合所得的组数进行归纳推理即可求得最终结果. 【详解】由题意进行归纳推理： 集合个数为2时，满足题意的集合组数为集合个数为3时，满足题意的集合组数为集合个数为4时，满足题意的集合组数为
组； 组； 组；
据此可归纳推理：集合个数为5时，满足题意的集合组数为即若集合
满足：
，则
组；
共有961组.
【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.为了调查某校高二同学是否需要学校提供学法指导，用简单随机抽样方法从该校高二年级调查了55位同学，结果如下： 需要 不需要
（Ⅰ）估计该校高二年级同学中，需要学校提供学法指导的同学的比例（用百分数表示，保留两位有效数字）；
（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校高二年级同学是否需要学校提供学法指导与性别有关？ （Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该校高二年级同学中，需要学校提供学法指导？说明理由. 附：
男 20 10 女 10 15
【答案】(Ⅰ)【解析】 【分析】
；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)答案见解析.
(Ⅰ)由比例关系计算可得需要学校提供学法指导的同学的比例估计值为(Ⅱ)计算独立性检验的观测值为否需要学校提供学法指导与性别有关.
，故有
.
的把握认为该校高二年级同学是
(Ⅲ)由（Ⅱ）的结论可知，在调查时，先确定该校高二年级同学中男、女的比例，再把同学分成男、女两层并采用分层抽样的方法更好.
【详解】(Ⅰ)该校高二年级同学中，需要学校提供学法指导的同学的比例估计值为
.
(Ⅱ)因为所以有
，
，
的把握认为该校高二年级同学是否需要学校提供学法指导与性别有关.
(Ⅲ)由（Ⅱ）的结论可知，该校高二年级同学是否需要学校提供学法指导与性别有关，并且从样本数据能看出该校高二年级同学男同学与女同学中需要学校提供学法指导的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该校高二年级同学中男、女的比例，再把同学分成男、女两层并采用分层抽样的方法.这样的抽样比采用简单随机抽样方法更好.
【点睛】独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
18.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下： 零件的个数（个） 加工的时间（小时）
（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
2 2.5 3 3 4 4 5 4.5
（Ⅱ）试对与的关系进行相关性检验,如与具有线性相关关系,求出对的回归直线方程； （Ⅲ）试预测加工个零件需要多少时间？ 参考数据：
，
.
附：)；, ；
相关性检验的临界值表
小概率 n-2 0.05 1 2 3
注：表中的n为数据的组数
0.997 0.950 0.878 0.01 1 0.990 0.959 4 5 6 n-2 0.05 0.811 0.754 0.707 0.01 0.917 0.874 0.834 7 8 9 小概率 n-2 0.05 0.666 0.632 0.602 0.01 0.798 0.765 0.735 小概率
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)【解析】 【分析】
(Ⅰ)由题意绘制散点图即可； （Ⅱ）由题意计算可得回归方程即可；
（Ⅲ）利用回归方程进行预测可得加工个零件需要【详解】（Ⅰ）散点图如图所示：
，据此可知回归直线方程是有意义的，计算其
小时.
（Ⅱ）由表中数据得：
,
,
,
,
；
，
从而有计算得：所以
的把握认为与之间具有线性相关关系，因此求回归直线方程是有意义的.
，.
（小时）
，
（Ⅲ）将代入回归直线方程，得预测加工个零件需要
小时.
【点睛】一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值． 19.已知数列
满足
,
(
).
(Ⅰ) 求,,,，并猜测的通项公式；
是等差数列；(无需证明)
的通项公式.
(Ⅱ）试写出常数的一个值，使数列(Ⅲ）证明(Ⅱ）中的数列【答案】(Ⅰ)【解析】 【分析】
是等差数列，并求
.
；(Ⅱ)1；(Ⅲ)
（Ⅰ）由递推关系计算,,,的值，据此可猜测数列的通项公式为（Ⅱ）由题意可令常数（Ⅲ）由题意证明通项公式计算【详解】（Ⅰ）（Ⅱ）
；
(
)， 使数列
是等差数列；
；
的值为常数即可说明数列是等差数列，结合等差数列的
的通项公式即可. ,
,
,
，通项公式为
；
（Ⅲ）因为
所以().
从而数列故
(
是首项为，公差为的等差数列，即).
().
【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的判定与证明，数列通项公式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20.已知函数(Ⅰ) 求
，并指出函数
((
)，设
是
的导函数.
)的单调性和值域；
(Ⅱ）若的最小值等于，证明：.
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由导数的运算法则可得单调性和最值即可. （Ⅱ）结合(Ⅰ)的结论可得函数的性质即可证得题中的结论. 【详解】（Ⅰ）由题意得：因为所以函数
在
上是单调增函数，值域为
有且只有一个解，设满足；当
时，
.
上是增函数，
是极小值.
.
，
.
有且只有一个解，不妨设满足
，利用导函数研究
，据此可得
，然后求解函数的
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：则当所以函数从而因为函数所以因为所以
.
， . (时，在区间
上是减函数，在区间
.
)是减函数且
，
，
【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的值域，利用导数证明不等式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21.已知在直角坐标系是
中，直线的参数方程是
.
（为参数），曲线的参数方程
（为参数），点
（Ⅰ）将曲线的方程化为普通方程，并指出曲线是哪一种曲线； （Ⅱ）直线与曲线交于点【答案】(Ⅰ)
，当
时，求直线的斜率..
，圆;(Ⅱ)1.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）消去参数可得曲线的普通方程是
，曲线是圆.
（Ⅱ）联立直线的参数方程与圆的普通方程，结合直线参数的几何意义计算可得直线的斜率为.
【详解】（Ⅰ）参数方程化为普通方程可得曲线的普通方程是（Ⅱ）点所以因为从而所以
.
.
，而极坐标方程转化为直
，所以
.
满足：
，即.
.
，曲线是圆.
据此可得直线的斜率为
【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式
角坐标方程的关键是利用公式
,
以便转化.
. 的解集为
，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，
22.已知函数（Ⅰ）若不等式（Ⅱ）若不等式【答案】(Ⅰ)【解析】 【分析】
，
，求的值；
的解集非空，求实数的取值范围.
；(Ⅱ)
.
（Ⅰ）由不等式的解集得到关于a,b的方程组，求解方程组可得（Ⅱ）由绝对值三角不等式得是
.
成立，当且仅当，
.
的最小值是
，
与
的最小值是
，.
，结合题意可得实数的取值范围
【详解】（Ⅰ）不等式依题意
解得
同时成立.
（Ⅱ）由绝对值三角不等式得
所以不等式即
.
的解集非空，当且仅当满足，
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23.在直角坐标系
中，直线的方程是
，圆的参数方程是
（为参数）．以
为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求直线和圆的极坐标方程；（Ⅱ）射线
:
(其中
，与直线的交点为；射线的最大值．
:
)与圆的交点为
与圆的交点为【答案】（1）【解析】
，与直线的交点为．求，
（2）
试题解析：（Ⅰ）直线的极坐标方程分别是圆的普通方程分别是所以圆的极坐标方程分别是
，
.
.
（Ⅱ）依题意得，点的极坐标分别为和
所以，，
从而.
同理，.
所以，
故当时，的值最大，该最大值是.
考点：极坐标.
24.已知函数（Ⅰ）证明：当（Ⅱ）设
，当
，函数时，时，
；
．当时，．
的最大值等于．求
.
．
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)【解析】 【分析】 （Ⅰ）由题意可知中的结论.
（Ⅱ）由一次函数的性质可知
.
【详解】（Ⅰ）证明：由题意得：所以
结合绝对值三角不等式的结性质和函数的解析式即可证得题
，结合待定系数法可得函数的解析式为
即
， .
由于所以当所以
.
， 时，
的最大值是
或
.
（Ⅱ）由题意得又因为
， ，且
所以或
解得又因为当所以故即经检验，
. .
或
时，
（舍去）. ，且
，
.
符合题意.
【点睛】本题主要考查一次函数性质，二次函数解析式的求解，绝对值三角不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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