双曲线教案

授课人：金成

一、教学目标：

（1） 知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；

（2） 过程与方法：通过定义及标准方程的深刻挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力； （3） 情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。 二、教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用 三、教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a<2c的理解 四、授课类型：新授课 五、课时安排：1课时 六、教 具：多媒体、细线 七、教学过程：

1、复习提问：

①椭圆的定义

②如何求出椭圆的标准方程 （建系、设点、列式、化简）

③复习椭圆的标准方程及a,b,c的关系

2、新课引入： （1）设问：

按照椭圆的研究方法，我们来研究一下平面内任意一点到两个定点之间

的距离之差等于常数的点的轨迹是什么。 （2）实验：

我们一起做一个实验来探索常数为正数或负数时的轨迹到底是什么。 通过实验得到两支曲线，其中一支满足：|MF1|－|MF2|=2a(a>0)；另一支满足 |MF1|－|MF2|=－2a(a>0)。我们将这两条曲线叫双曲线,其中的一条叫双曲线的一支。

（3）研究2a和2c的关系.

提出问题：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数的动点的轨迹一定是双曲线吗?

① 当2a<2c 时：双曲线

② 当2a=2c时：以F1或F2 为端点的两条向外射线

③ 当2a>2c时，动点没有轨迹.

现在请同学们给出双曲线的准确定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距

3、新课讲解：

（1）、双曲线定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距

强调：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数2a小于2c ” (2)、双曲线的标准方程：

与求椭圆的标准方程类似，我们根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程。求曲线方程的基本步骤是什么？

①建系；②设点；③列式；④化简 (3)、双曲线的标准方程的特点：

①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

x2y2 焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为：221 (a＞0,b＞0)

aby2x2 焦点在 y轴上时，双曲线的标准方程为：221(a＞0,b＞0)

ab②有关系式c

2a2b2 成立，且其中a与b均为正值，大小关系不确定

4、如何根据双曲线的标准方程判断焦点的位置： 从椭圆的标准方程不难看出，椭圆的焦点位置可由方程中含字母x2 、y2 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据二次项前面的系数正负来判断焦点所在的位置，即x2项的系数是正的，那么焦点在 x轴上；y2 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上。 四、例题讲解 例1、 判断下列方程是否表示双曲线.如果是并求出相应的a,b,c x2y2x2y21 ③方程： x2y22 1 ② 方程：① 方程： 169169例2、 已知双曲线的焦点为F1 ( －5 ， 0 )，F2 ( 5 ， 0 )，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 练习：(1)求满足下列条件的双曲线标准方程

①a=5,b=4且焦点在x轴上. ②a=4,c=6且焦点在y轴上.

③a=3,焦点坐标是(0,-5)和(0,5).

（2）已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动点P，PF1－PF2= 6，

求点P的轨迹方程.

思考题:

x2y21表示双曲线，求m的取值范围. 已知方程

m2m1五、课时小结

（1）双曲线的定义 （与椭圆的区别） （2）双曲线标准方程 （两种形式） （3）双曲线焦点位置的判断 （与椭圆的区别） （4）双曲线中a 、b、 c的关系（与椭圆的区别）（片）

六、课后作业

附：

双曲线与椭圆之间的区别与联系表

定义 椭圆 双曲线 |MF1|+|MF2|=2a ||MF1|－|MF2||=2a （ a ＞ 0） （ a ＞ 0） yM 图像 X轴 F1oF2x Y轴 yMF2 xF1 焦点坐标 标准方程 F（±c，0）;F（0，±c） F（±c，0）;F（0，±c） 22xy ab0) 0,b0)X轴 xy1(21(a2aba2b2222x2 Y轴 y21(ab0)2aba>b>0， y2x2 0,b0)1(aa2b2a>0，b>0， 但a不一定大于b a,b,c的关系 abc222 cab

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