高中数学教案不等式 极值定理

第四教时

教材：极值定理

目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步

应用。 过程：

一、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式 二、若x,yR，设Q(x,y)x2y22 A(x,y)xy2 G(x,y)xy

H(x,y)21 求证：Q(x,y)A(x,y)G(x,y)H(x,y)

xy 加权平均；算术平均；几何平均；调和平均

证：∵(xy2x2y22xyx2y2x2y2x2y2)442 22∴

xyxy22即：Q(x,y)A(x,y)（俗称幂平均不等式） 由平均不等式A(x,y)G(x,y)

H(x,y)2xyxy2xy2xyxyG(x,y)即：G(x,y)H(x,y) 综上所述：Q(x,y)A(x,y)G(x,y)H(x,y)

例一、若ab1,a,bR 求证(a1a)2(b125b)22

(a1b1)2证：由幂平均不等式：(a11a)2(babb)22

(1abaabb)2(3ba)2 2ab(32)222252 三、极值定理

已知x,y都是正数，求证：

1 如果积xy是定值p，那么当xy时和xy有最小值2p

2 如果和xy是定值s，那么当xy时积xy有最大值14s2

证：∵x,yR ∴ xy2xy

1当xyp (定值)时，xy2p ∴xy2p

∵上式当xy时取“=” ∴当xy时有(xy)min2p 2当xys (定值)时，xys2 ∴xy14s2 ∵上式当xy时取“=” ∴当xy时有(xy)12max4s 注意强调：1最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值） 2用极值定理求最值的三个必要条件：

一“正”、二“定”、三“相等”

四、例题

1．证明下列各题：

⑴ lgxlogx102 (x1) 证：∵x1∴lgx0 logx100

于是lgxlogx102lgxlgx102 ⑵若上题改成0x1，结果将如何？ 解：∵0x1 lgx0 logx100

于是(lgx)(logx10)2 从而lgxlogx102

⑶若ab1 则ab14

解：若a,bR则显然有0ab14 若a,b异号或一个为0则ab0 ∴ab14 2．①求函数yx2(1x)的最大值(0x1) ②求函数yx(1x2)的最大值(0x1) 解：①∵0x1 ∴1x0 ∴当

x21x即x2

3

时 xx1xy4x2x2(1x)4(224243)327即x3时ymax27 ②∵0x1 ∴01x21

∴y2x2(1x2)2122x2(1x2)(1x2) 12x2(1x2)(1x2)2(3)3427 ∴当2x21x2,x33时y2max427 y23max9 3．若x1，则x为何值时x1x1有最小值，最小值为几？ 解：∵x1 ∴x10

1x10 ∴x11x1=x1x112(x1)1x11211

当且仅当x11x1即x0时(x1x1)min1 五、小结：1．四大平均值之间的关系及其证明 2．极值定理及三要素

六、作业：P12 练习3、4 习题6.2 4、5、6

补充：下列函数中x取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？

1 yx(23x) x13时y1max3 2y14x154x x1,ymin2 3x0时 y12x3x x62,ymin16