2019-2020年北京市石景山区高三上学期期末考试数学(理)试卷(有答案)

数 学（理）

考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项．

1},那么AIB等于（ ） 1．已知集合A{2,1,0,1,2},B{x|0≤x≤A．{0} 2．若zB．{1}

C．{0,1}

D．[0,1] 开始

1 k kk2 34i，则|z|（ ） iB．3 D．5

A．2 C．4

3．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（ ）

A．5 B．3 C．9 D．7

a2k bk2 ab 否 是 输出k 4．下列函数中既是奇函数又在区间(0,)上单调递减的是（ ） 结束 A．yex

B．yln(x)

C．yx3

D．y1 x5．由直线xy10，xy50和x1所围成的三角形区域（包括边界），用不等

式组可表示为（ ）

xy10,A．xy50,

x1xy10, C．xy50,

x1xy10,B．xy50,

x1xy10,D．xy50,

x16．一个几何体的三视图如右图所示．

已知这个几何体的体积为8，则h（ ） h A．1 B．2 C．3 D．6

3 正视图

4 侧视图

俯视图 个单位长度得到 7．将函数y(x3)2图象上的点P(t,(t3)2)向左平移m(m >0)点Q．若Q位于函数yx2的图象上，则以下说法正确的是（ ） A．当t2时，m的最小值为3 C．当t4时，m的最大值为3

B．当t3时，m一定为3 D．tR，m一定为3

8．六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过，那么F在第一天参加的比赛局数为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．在(x3)7的展开式中，x5的系数是 （结果用数值表示）．

10．已知△ABC中，AB=3，BC=1，sinC=3cosC，则△ABC的面积为．

x2y2311．若双曲线1的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是 ．

24m12．等差数列{an}中，a12，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那

么该等比数列公比的值等于 ．

rrrrrrrr13．有以下4个条件：①ab；②|a||b|；③a与b的方向相反；④a与b都是单位向量．其

rr中a//b的充分不必要条件有 ．（填正确的序号）．

1x1,x1,14．已知函数f(x)4，

lnx,x1①方程f(x)x有________个根；

②若方程f(x)ax恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是____________．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）

已知函数f(x)2sin(x)sinx3cos2x． （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在[π2ππ,]上的最大值． 12616．（本小题共13分）

2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄

只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18-36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：

微信群数量 频数 频率 0至5个 6至10个 11至15个 16至20个 0 30 0 0.3 30 a 0.3 c 20个以上 合计 5 100 b 1 （Ⅰ）求a，b，c的值； （Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率； （Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中．．．．．随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望

EX．

17．（本小题共14分）

如图1，等腰梯形BCDP中，BC∥PD，BAPD于点A，PD3BC，且ABBC1． 沿AB把△PAB折起到△PAB的位置（如图2），使PAD90． （Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC； （Ⅱ）求二面角APDC的余弦值；

（Ⅲ）线段PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD．若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由． P

图1图2

A

D

P′

B C

B 18．（本小题共13分）

ABCC A

D x2y23已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，点(2,0)在椭圆C上．

2ab（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过点P(1,0)的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A、B两点，设点B关于轴的对称点为

B．直线AB与轴的交点Q是否为定点？请说明理由．

19．（本小题共14分）

已知函数f(x)x1，g(x)x2eax(a0)． x12（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若对任意x1,x2[0,2]，f(x1)g(x2)恒成立，求a的取值范围．

20．（本小题共13分）

集合M的若干个子集的集合称为集合M的一个子集族．对于集合{1,2,3Ln}的一个子集族

D满足如下条件：若AD,BA，则BD，则称子集族D是“向下封闭”的．

（Ⅰ）写出一个含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族D并计算此时(1)的值

AAD（其中A表示集合A中元素的个数，约定0；表示对子集族D中所有成员A求

AD和）；

（Ⅱ）D是集合{1,2,3Ln}的任一“向下封闭的”子集族，对AD,记kmaxA，

f(k)max(1)（其中ma表示最大值），

AAD（ⅰ）求f(2)；

（ⅱ）若k是偶数，求f(k)．

石景山区第一学期期末考试

高三数学（理科）参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．

题号 答案

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

题号 答案 9 10 11 12 13 14 C D A D A B B D 1 2 3 4 5 6 7 8 189 32 (7,0) 4 ① ③ 111,[,) 4e三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）f(x)2cosxsinx3cos2x ……1分

sin2x3cos2x ……2分

π2sin(2x)， ……4分

3因此f(x)的最小正周期为π． …………6分 （Ⅱ）当x[当2x即xππππ2π,]时，2x， ………8分 126633πππ，sin(2x)有最大值1． ………10分 323π时，f(x)的最大值为2． ……………13分 1216．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）03030a5100解得a35，

b51357，c．…………………3分 1002010020（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A，

11C40C6016则P(A)． 2C10033所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为（Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为P16． ……………7分 332． 5X的所有可能取值0，1，2，3． ……………8分

则PX0C3()(1)0032525272254121，PX1C3()(1)， 125551252236208323PX2C32()2(1)1，PX3C3()(1)．

5512555125其分布列如下：

X 0 27 1251 54 1252 36 1253 8 125P 所以，EX017．（本小题共14分）

27543686123．……………13分 1251251251255解：（Ⅰ）因为PAD90，所以PA⊥AD．

因为在等腰梯形中，AB⊥AP，所以在四棱锥中，AB⊥AP． 又ADABA，所以PA⊥面ABCD． 因为CD面ABCD，所以PA⊥CD．……3分

因为等腰梯形BCDE中，ABBC，PD3BC，且ABBC1． 所以AC2，CD2，AD2．所以AC2CD2AD2． 所以AC⊥CD．

因为PAAC=A, 所以CD⊥平面PAC． ……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，PA⊥面ABCD，AB⊥AD， 如图，建立空间直角坐标系，

P’ z A PD y A0,0,0，B1,0,0，C1,1,0，

D0,2,0，P0,0,1．…………5分

uuuruuuur所以AB(1,0,0)，PC(1,1,1)．

uuur由（Ⅰ）知，平面PAD的法向量为AB(1,0,0)，

ruuurrxy0nCD0设n(x,y,z)为平面PCD的一个法向量，则ruuu,即， urnPC0xyz0uuurrrABnuuurr6再令y1，得n(1,1,2)．cosAB,n=uuu． rr=

ABn6所以二面角APDC的余弦值为

6． …………9分 6（Ⅲ）若线段PA上存在点M，使得BM∥平面PCD．

uuuuruuuruuuurAMAPBM(1,0,)． 依题意可设,其中01．所以M(0,0,)，

r由（Ⅱ）知，平面PCD的一个法向量n(1,1,2)．

uuuurr因为BM∥平面PCD，所以BMn，

uuuurr1所以BMn120，解得．

2

所以，线段PA上存在点M，使得BM∥平面PCD…………………14分 18．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C上，所以a2．

又因为ec322，所以c3，bac1． a2x2所以椭圆C的标准方程为：y21． ……………………5分

4（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2),B(x2,y2),Q(n,0)．

设直线AB：yk(x1)(k0)． ……………………6分 联立yk(x1)和x4y40，得：(14k)x8kx4k40．

2222228k24k24所以x1x2，x1x2． ……………8分 2214k14k直线AB的方程为yy1y1y2(xx1)， ……………9分

x1x2令y0，解得ny1(x1x2)xyxyx11221 ………11分

y1y2y1y2又y1k(x11),y2k(x21)， 所以nx1x2(x1x2)4．

x1x22所以直线AB与轴的交点Q是定点，坐标为Q(4,0)．………13分 19．（本小题共14分）

(1x2)(1x)(1x)解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为R，f(x)2．……2分 222(x1)(x1)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f(x) (,1) (1,1) (1,)  Z f(x) ] ] 所以，函数f(x)的单调递增区间是(1,1)， 单调递减区间是(,1)，(1,)． …………5分

（Ⅱ）依题意，“对于任意x1,x2[0,2]，f(x1)g(x2)恒成立”等价于 “对于任意x[0,2]，

f(x)ming(x)max成立”．

由（Ⅰ）知，函数f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， 因为f(0)1，f(2)2m11，所以函数f(x)的最小值为f(0)1． 5所以应满足g(x)max1．………………………………………………7分

2ax因为g(x)xe，所以g(x)(ax+2x)e．………8分

2ax因为a0，令g(x)0得，x10，x2（ⅰ）当2． a22，即1a0时， a在[0,2]上g(x)0，所以函数g(x)在[0,2]上单调递增，

2a所以函数g(x)maxg(2)4e．

由4e2a1得，aln2，所以1aln2． ……………11分 （ⅱ）当022，即a1时, a2,2]上g(x)0， a2,2]上单调递减， a在[0,)上g(x)0，在(2a所以函数g(x)在[0,)上单调递增，在(所以g(x)maxg()由

2a2a4． 22ae42得，，所以a1． ……………13分 1a22aee综上所述，a的取值范围是(,ln2]． ……………14分

20．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族D{,{1},{2},{1,2}} ……2分

0112(1)(1)(1)(1)(1)0 …………4分 此时AAD（Ⅱ）设{1,2,3Ln}的所有不超过k个元素的子集族为Dk （ⅰ）易知当DD2时，(1)达到最大值，

AAD1nn(n1)n23n2所以f(2)(1)(1)C(1)C1n …6分 220122n（ⅱ）设D是使得kmaxA的任一个“向下封闭”的子集族，记DD'UD''，其中D'

为不超过k2元的子集族，D''为k1元或k元的子集

则(1)=

AADAD'(1)AAD''(1)f(k2)AAD''(1) ………8 分

Ak现设D''有l（lCn）个{1,2,3Ln}的k元子集，由于一个k1元子集至多出 k1现在nk1个{1,2,3Ln}的k元子集中，而一个k元子集中有Ck个k1元子集，故l个k元

lCkk1子集至少产生个不同的k1元子集．

nk1lCkk1kkkkk1(1)ll(1)C(1)CnCn ''nnk1nk1nk1ADAAD(1)Ak1kf(k2)CnCnf(k)

由（ⅰ）得

if(k)(1)(1)C(1)CL(1)C(1)iCn…13分

011n22nkkni1k【注：若有其它解法，请酌情给分．】