北京市石景山区重点名校2019-2020学年高二下学期期末经典数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量X的概率分布如下表，则P（x=io）（）
X 1 2 亍 2 2 32 2 【解析】
3 2 33 4 2 34 5 2 35 1 • ?
6 2 36 7 2 37 D.
8 2 38 1 9 2 39 10 m P A —
2 39
【答案】c
2（i—丄）
2 2 2 2
由分布列的性质可得：P(^10)-l-(- + —+ -+
+尹)\"-
八翠丿1
-~ 二尹，故选C.
1_
3
2. 给出以下四个说法:
① 残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小
② 在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数人2的值越大，说明拟合的效果越好; ③ ④
在回归直线方程y = o.2x+12中，当解释变量X每增加一个单位时，预报变量51平均增加0.2个单位; 对分类变量X与Y,若它们的随机变量的观测值点越小，则判断“X与Y有关系\"的把握程度越 大.
其中正确的说法是（）
A.①④
【答案】D 【解析】 【分析】
B.②④ C.①③ D.②③
根据残差点分布和相关指数的关系判断①是否正确，根据相关指数A?判断②是否正确，根据回归直线的 知识判断③是否正确,根据2x2联表独立性检验的知识判断④是否正确. 【详解】
残差点分布宽度越窄，相关指数越大，故①错误•相关指数越大，拟合效果越好，故②正确•回归直线方程 斜率为0.2故解释变量x每增加一个单位时，预报变量『平均增加0.2个单位，即③正确.K?越大，有把 握程度越大，故④错误.故正确的是②③，故选D. 【点睛】
本小题主要考查残差分析、相关指数、回归直线方程和独立性检验等知识，属于基础题.
3. 已知数据无,吃,...,无0，2的平均值为2,方差为1,则数据再,吃,...,无0相对于原数据（）
A. 一样稳定 C.变得比较不稳定
B.变得比较稳定 D.稳定性不可以判断
【答案】C 【解析】 【分析】
根据均值定义列式计算可得无,吃，…，无o的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得 （西-2『+（兀-2『......+ （召0—2『，从而得方差.然后判断. 【详解】
由题可得：巧+勺]：巧0 + 2=23再+九2
+礼=20二平均值为2,
由（兀 _ 2）2 + （心 _ 2）2 +（X]0 _ 2）2 + （2 _ 2）2 =],
H
（X| _ 2）~ + （兀 _ 2）_ +（X]O _ 2）~ =]]〉],
10 _ ' ，
所以变得不稳定. 故选：C. 【点睛】
_ '
本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义.属于基础题.
4. 中国古代数学的瑰宝一一《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体一一鳖揣，它是指四面皆为直 角三角形的四面
体.现有四面体4BCQ为一个鳖揣，已知4B丄平面BCD, AB = 1,BC = ^2,CD = 2, 若该鳖揣的每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）
A. 671
【答案】B 【解析】
B. 7兀 C. 8/1
D. 9冗
分析：把此四面体放入长方体中，BC, CD, AB刚好是长方体的长、宽、高，算出长方体体对角线即可. 详解：把此四面体放入长方体中，BC, CD, AB刚好是长方体的长、宽、高，
则-=J1 + 2 + 4 , ：.R = 2 2
,
故 S = 4兀衣=4TT- — = 7TT.
4
故选：B.
点睛：本题主要考查了转化与化归思想的运用.
5. 某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布N（10, 0.12）,今从该厂上、下午生产的零件 中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.32cm和10.31cm,则可认为( )
A.上午生产情况异常，下午生产情况正常B.上午生产情况正常，下午生产情况异常 C.上、下午生产情况均正常
D.上、下午生产情况均异常
【答案】B 【解析】 【分析】
根据生产的零件外直径符合正态分布，根据3b原则，写出零件大多数直径所在的范围，把所得的范围同 两个零件的外直径进行比较，得到结论. 【详解】
因为零件外直径X 2V(10,0.12),
所以根据3b原则，在10-3x0.1 = 9.7(加)与10 + 3x0.1 = 10.3(cm)之外时为异常， 因为上、下午生产的零件中随机取出一个，9.7 <9.82 <10.3, 10.31 >10.3, 所以下午生产的产品异常，上午的正常， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关正态分布的问题，涉及到的知识点有正态分布的3b原则，属于简单题目.
6. 函数/(-r)=-— (d A. f(a) = f(b) B. /(a)/(b) D. 【答案】C 【解析】 【分析】 Y ( ) 大小关系不能确定 对函数求导得到函数的导函数，进而得到原函数的单调性，从而得到结果. 【详解】 Y y — 1 函数/(X)= -— (a 故答案为C. 【点睛】 这个题目考查了导函数对于研究函数单调性的应用，函数的单调性可以通过常见函数的性质得到，也可以 通过定义法证明得到函数的单调性，或者通过求导得到函数的单调性. 7. 对于平面上点P和曲线C,任取C上一点0,若线段PQ的长度存在最小值，则称该值为点P到曲线 C的距离，记作d(P,C),若曲线C是边长为6的等边三角形，贝!I点集D = {P|d(P,C)Vl}所表示的图 形的面积为（ ） A. 36 【答案】D 【解析】 【分析】 B. 36 —3巧 + 彳 C. 36+71 D. 36-3^3 + ^- 根据〃（P,C）可画出满足题意的点P所构成的平面区域；分别求解区域各个构成部分的面积，加和得到结 果. 【详解】 由d（P,C）定义可知，若曲线C为边长为6的等边三角形ABC,则满足题意的点P构成如下图所示的阴 7H 丄 AC, /G丄AC, AD^AE = IH = JG = 1 71 2% 3 :.AH =羽 ,**辰1 = £ 上 DAE = 2 兀—71 - = —, AD = 1 3 ZIAH = ^, IH = 1 6 又 HG = AC-2AH = 6-2y/3 又 S? =6x1 = 6 ••-阴影区域面积为：S =3Sj +3S2 +3SJ +6S4 =兀+18+18—6巧+3巧= 36—3巧+ 兀 即点集D = {P|〃（P，C）< 1}所表示的图形的面积为：36-3巧+兀 本题正确选项：D 【点睛】 本题考查新定义运算的问题，关键是能够根据定义，找到距离等边三角形三边和顶点的最小距离小于等于 1的点所构成的区域，易错点是忽略三角形内部的点，造成区域缺失的情况. &用数学归纳法证明1 + - + -+ 2 3 2“ -1 ' ,11 C. 1 1—< 3 2 3 时，第一步应验证不等式（ ' ） 1 c A. 1 —< 2 2 【答案】B 【解析】 ,11c B. 1 1—<2 2 3 ,111 D. 1 1 1—< 3 2 3 4 【分析】 根据第一步应验证n = 2的情况，计算得到答案. 【详解】 因为“GN*,\"〉1,故第一步应验证n = 2的情况，即1 + - + -<2. 2 3 故选：B. 【点睛】 本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数学归纳法的理解和掌握. 9.若正整数N除以正整数加后的余数为\"，则记为N = ?7（modm）,例如10三2（mod4）.如图程序框图 的算法源于我 国古代闻名中外的《中国剩余定理》•执行该程序框图，则输出的i等于（） n=U i=l __尸 i=2i n=n+i || A. 4 【答案】C 【解析】 初如值n=ll, i=l, B・ 8 C・ 16 D. 32 i=2, n二13,不满足模3余2. i=4, n=17,满足模3余2,不满足模5余1・ i=8, n=25,不满足模3余2, i=16, n=41,满足模3余2,满足模5余1. 输出i=16.选C・ 10.已知圆「，飞_幺［2 + f y _ _ p平面区域_门,若圆心厂u门，且圆C与x轴相切, Z2： x - y + 4 > 0 y > 0 则圆心口口切与点乜8〕连线斜率的取值范围是（） B. (-co,--] 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 ，+co) C. . (-?,?) D. [-3，-] 分析：画出可行域，由可行域结合圆匚与X轴相切，得到5 =:且_3 画出可行域如图， 由圆的标准方程可得圆心匚& ],；,半径为], 因为圆厂与1轴相切， 所以b = 1，直线y = 1分别与直线* +)‘ 一 6 = 0与x -)• + 4 = 0交于点3(5,1),4(-3,1)， 所以-3 w a <5* 圆心C〔a,b卢点 <2,8连线斜率为 6-0 k = ； a-2 -3 < a < 2 时 ke [p +s) 2<心5 时ke(_s，W 所以圆心c(a,b〕与点 连线斜率的取值范围是 <2,8； s) ,故选A. 点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于中档题•含参变量的线性规划问题是近年来高 考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索 问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变 化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键. 11.已知 4B=(2,3), AC=(3, t), |BC|=1,则 AB BC = B. -2 C. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量三角形法则求出t,再求出向量的数量积. 【详解】 由 BC = AC-AB = (\\,t-y), 卜 J12+(/_3)2 =],得 t = 3,则 BC = (1,O), D. 3 AB BC = (2,3) (l,0) = 2xl + 3x0 = 2.故选 C. 【点睛】 本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大. 12.若复数z满足z(l-厅=1 +几 其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点位于( A.第一象限 【答案】B 【解析】 ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标即可得到结论. 详解：z(l-z)2 =l+z. • r 1 + i _l + i_(l + i)(i) _l + i ■■ = ~r~22 ,位于第二象限, 故选B. =+lf 1 1 . 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解，掌握 纯虚数、共轨复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运 算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 二、填空题：本题共4小题 13.定义在R上的偶函数=、 ex2, 满足 ，当f(x + ；) = fW 当* E 阴时'心)=-则函数能2 /(x)-tax 在0.6)上的零点个数为—个.(其中e为自然对数的底数，e = 2.7132『・) 【答案】4 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和周期性画出函数图像，由.=代£=上、两个函数图像交点个数，确定f、：零点个 【详解】 由 可知函数… 是周期为一的周期函数，而函数=、.为偶函数，函数图像结合 一.时, /(* +;) = /« f(x) = ex — 2的图像，可画出 X 6 ； 上的图像，进而画出函数「「的图像•令= 0, xe 阴 则 f(x) = lnT 画出「=『&] .「= ：：：、两个函数图像如下图所示，由图可知，两个函数有HE匚二四个公共点，故心；有r 个零点. 另，当「时m = ex-2,其斜率为e•令.. ，解得，代入丫 = lnx得)，= -「 M[°T 过函数=[「在点 处的切线方程为 (lnM=7 = e %=; ，即. = ex_\"即函数• = )•、与 f(x) = ex - 2在点人、处相切于点 匕一1丿 【点睛】 本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法， 属于中档题. 14.在西非“埃博拉病毒\"的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效 果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表： 感染 未感染 合计 服用 10 20 30 40 30 70 50 50 100 未服用 合计 n(ad _ bcf (a + b)(c + 〃)(a + c)(b + 〃) P(K2>k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 根据上表，有 __________ 的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关\"• 【答案】95% 【解析】 【分析】 先由题中数据求出KS再由临界值表，即可得出结果. 【详解】 由题中数据可得： n(ad -be)2 (a + b)(c + d)(a + c)(b + d) 100(10x30 — 40x20)2 50x50x30x70 莎 7.762 >3.841, 根据临界值表可得：犯错误的概率不超过0.05. 即有95%的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关 故答案为95% 【点睛】 本题主要考查独立性检验的问题，会由公式计算KS能分析临界值表即可，属于常考题型. 15.函数/(x) = xlnx + x的单调递增区间是 ________________ . 【答案】(八,+8) 【解析】 【分析】 求出函数y = /(%)的定义域，并求出该函数的导数，并在定义域内解不等式r(x)>0,可得出函数 y = /(%)的单调递增区间. 【详解】 函数/(x) = xln% + % 的定义域为(0,+oo),且 /,(x) = lnx+2,令/(%) >0,得 A- > e-. 因此，函数/(x) = xln% + x的单调递增区间为(e\"2,+oo),故答案为：(尹+<»). 【点睛】 本题考查利用导数求函数的单调区间，在求出导数不等式后，得出的解集应与定义域取交集可得出函数相 应的单调区间，考查计算能力，属于中等题. 16. 在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知里仏=^cosB = 1.，且AABC的面积为亘, a bl 则AABC的周长为 _______ . 【答案】3 + ^3 【解析】 2 【分析】 由正弦定理和已知竺亠辰osB ,可以求出角B的大小，进而可以求出b的值，结合面积公式和余弦 a 定理可以求出a + c的值，最后求出周长. 【详解】 解:由正弦定理及沁.\"cos B得1=亦血“，...tanB =巧，Be(0,7r), :.B = \\ b a b sinB 3 又忑 cosB =]_, 屁。込 _ \\ , :.b =羽,由余弦定理 M(V3)2 =a2+c2-2accos-, b 2 3 cr + c~ — cic — 3. S*BC = — ac sin B = ac = ac = 2 , (a + c)\" = 3ac + 3 = 9, .・.a + c = 3, :.AABC的周长为3 + JL 【点睛】 本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式，考查了数学运算能力. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 4 17. 若函数f(.x) = a疋-加+ 4 ,当x = 2时,函数/(x)有极值为-§. ⑴求函数/(x)的解析式； (2)若f(x) ”有3个解,求实数k的取值范围. 1 【答案】(1) /Xx) = 【解析】 【分析】 4 2S 一4x +4 ； (2) —— < k < . (1)求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得a』的值，从而得到函数 的解析式；(2)利用函数的单调性以及极值，通过/(兀)=比有三个不等的实数解，求得£的取值范围. 【详解】 (1)因为/(X)= ax3 -for+4 ,所以 /'(.x) = 3ax2 -b , 由x = 2时，函数/(x)有极值-扌, 广⑵=0 12a-b = 0 所以 /(x)=亍* —4x + 4 ； 所以 f\\x) = x-4 = (x + 2)(x — 2), 所以函数/(劝在(-8,-2)上是增函数，在(-2,2)上是减函数，在(2,+8)上是增函数， 2当x = —2时，/(X)有极大值寸； 当x = 2时，/(x)有极小值—扌， 因为关于x的方程/(兀)=k有三个不等实根， 所以函数v = /(x)的图象与直线y = k有三个交点， 4 则£的取值范围是-一28 3 3 【点睛】 该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0,利用条件求 函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中 档题目. 18.已知函数/(X)= |2x-a| + a. (1)当a = 4时，求不等式/(x)+|x-l|<8的解集； ⑵ 设函数g(x) = |2x-3|,当xeR时，f(x) + g(x)>5,求a的取值范围. 【答案】(1) < x^ (1) 将a = 4代入不等式，讨论x范围去绝对值符号解得不等式. (2) 利用绝对值三角不等式得到答案. 【详解】 (1)当 <7 = 4时，2|x—2| + |x—1| < 4 S 3x-5<4 l 2 4-2x + x-l<4 x 4-2x + l-x<4 3 综上< xj 1 —V x < 1 (2)/(%) + 5 |2x-3| +|2x-tz| + a > 5 二> |(2x-3) -(2x-a)| + a > 5 恒成立 |tz—3| + a > 5 恒成立 解不等式可得a>4 【点睛】 本题考查了解绝对值不等式，绝对值三角不等式，利用绝对值三角不等式将恒成立问题转化为最值问题是 解题的关键. 19. 已知函数/(x) = |2x+a|+|2x—l|, g(x) = |x-l| + 2. ⑴解不等式g(%)>4； (2)若对任意X2ER,都有x^R,使得f[x^ = g{x2 )成立，求实数“的取值范围. 【答案】⑴{x|x<-l^x>3}； (2) [-3,1], 【解析】 试题分析：(1)由|%-1| + 2>4, #|x-l|>2,去掉绝对值写出不等式的解集；(2)对任意沪R,都 有XleR，使得/(西)=g(勺)成立，则g(x)的值域为/(%)值域的子集，分别求出函数值域，建立不等式 解出a的范围即可. 试题解析：⑴由|%-1| + 2>4,得卜—1|>2,解得或123. 故不等式g(.v) > 4的解集为{x\\x< —1或x > 3} • (2)因为对任意R,都有.v, e R,使得/(xjugg)成立，所以= g(x)}u = /(x)}.又 因为 g(x) = |x —1| + 2 2 2, f(x) = |2x+a|+|2.v -1| > |(2x + a)-(2x—1)| = |a+l|. 所以|« + 1|<2,解得-3 WaW 1，所以实数\"的取值范围为[-3,1]. 20. 选修4-5：不等式选讲 已知函数 /(x) = X2-|X| + 3. (I )求不等式/(%)>3x的解集； (II)若关于X的不等式J(x)-X2 < | + 6/恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】 ⑴技|沦3或XV1｝；(2)(Y),—3] [3,炖). 【解析】 分析：(I )对x分两种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；(II) 问题等价于—+ « + 卜| > 3恒成立，因为—+ a + |x| = ~ + a + — + — A —+ <2 —=问+甘〉同， 只需|a| >3即可得结果. 详解：(I)当20时，/(X) = X2-X+3>3X，即X2-4X+3>0, 解得兀>3或X VI.所以x>3或OVxVl； 当x<0时，/(X) = X2+X+3>3X,此不等式F — 2x + 3>0恒成立，所以x X —a X + X = —a 1 1 2 X + X + X > —a — X 2 2 2 当且仅当x = 0时等式成立，解得a>3或3. 故实数a的取值范围是(Y),-3]o[3,炖). 点睛：绝对值不等式的常见解法： 2 2 ① 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ② 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③ 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 2 2 21. 已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线冷—右= l(a〉O,b〉O)的一个焦点，并且这条准线 与双曲线的两焦点的 连线垂直，抛物线与双曲线交于点P]|，、用｝求抛物线的方程和双曲线的方程. 【答案】y2=4x, 4x2-jy2=l. 【解析】 试题分析：首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得P=2c,再利用抛物线与双曲线同过P(|,、E), 求出c、p的值，进而结合双曲线的性质a+b^c即可求解. 222试题解析：依题意，设抛物线的方程为y2=2px(p>0), •••点P ]|，、用]在抛物线上， .\\6=2pX 3 .\\p=2, 所求抛物线的方程为y2=4x. •.•双曲线的左焦点在抛物线的准线x=-l上, .\".c=l,即 a2+b2=l. 又点P 在双曲线上, 爲一餐=1,解方程组< 4a2 b2 a2 +b2 =1 9__ '2_1 a ~4 8 [ a2 =9 （舍去）. 得 :或辽 2 b =- I 4 ，.所求双曲线的方程为』器一. 22.已知函数/(x) = (x —l『+a(lnx —x + 1)(其中a&R,且a为常数). (1)当a = 4时，求函数y = f(x)的单调区间; (2)若对于任意的\"(l,w>),都有/(%)>0成立，求a的取值范围; (3)若方程/(%) + a + l = O在“(1,2)上有且只有一个实根，求a的取值范围. 2 【答案】(I )在(0, 1), (2,+8)上单调递增，在(1,2)上单调递减(II) (Y),2] (in) ------------------------------------ 【解析】 【试题分析】(1)将0 = 4代入/(尢)=(尢—1)2+0(1眦—兀+ 1)再求导，借助导函数值的符号确定函数 /(x) = (x-l)2+4(lnx- x + l)的单调区间；(2)借助问题(1)的结论，对参数a进行分类讨论，最终 确定参数Q的取值范围；(3)依据题设条件将问 题进行等价转化为g(x) = /(%) + « + l = 0的零点的个数 问题，再运用导数知识及分类整合思想进行分析探求： 解：⑴函数/'(©的定义域为①如) 由 rW=2(x-i)+ 住»=W)知 当“4时，r(x)=3fczfc5 X 所以函数/X功在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，(2.+W)在上单调递增 (II) 由 1)+£-1]=炉呼7 当aW2时，>0对于xe(l-Hn)恒成立,.■-/(x)在(k+o>)上单调递增 /./(x)>/(1) = 0,此时命题成立; 2时，-./(X)在(人扌J上单调递减，在 任T 上单调递增，当xe^j时,有 /(x)< /(1) = 0 .这与题设矛盾，不合.故a的取值范围是(-OD^] (in)依题意，设= /Cx)+a+l,原题即为若田工)在CL2)上有且只有一个零点，求a的取值范围•显 然函数与川刃的单调性是一致的. jrfl) = 4-1 < 0 当aWO时,因为函数在(U)上递增，由题意可知｛电匕 … 2 “解得一上 l^(2) = /<2)+a+l>0 h2 ,当a >0时,因为g(x) = (x-XJ2+afa x+(2-j^a+l,当xe(lJ2)时，总有g(x)>0,此时方程没有实 根。 2 综上所述，当一上-< a< -1时,方程加+空+1=0在HG (L2)上有且只有一个实根。 ln2 点睛：解答本题的第一问时，先将a = 4代入/(K) = (X —l『+a(lnx —乂 + 1)再求导，借助导函数值的符 号确定函数/(x) = (x-l)2+4(lnx-x + l)的单调区间；求解第二问时，借助问题(1)的结论，对参数a 进行分类讨论，最终确定参数Q的取值范围； 解答第三问时，依据题设条件将问题进行等价转化为 g(x) = /(x) + a + l = 0的零点的个数问题，再运用导数知识及分类整合思想进行分析探求，从而求出参 数的取值范围。 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容