高等数学下册知识点

第七章 空间解析几何与向量代数

一、填空与选择

1、已知点A(3,2,1)和点B(7,2,3)，取点M使AM2MB，则向量OM=2 已知点A(0,1,2)和点B(1,1,0)，则AB0=

2。

。

223、设向量a与三个坐标面的夹角分别为,,，则coscoscos= 4、设向量a的方向角 。 。

,为锐角，，且a4，则a= 35、向量a(7,2,5)在向量b(2,2,1)上的投影等于。 6、过点P1，2，1且与直线xt2，y3t4，zt1，

垂直的平面方程为_____________________________． 7、已知两直线方程是L1:x1y2z3x2y1zL:，则过L1且平行L2的平面方程为，221101____________________ 1x1y5z8xy60L:，则L1与L2的夹角为（ ） L:8、设直线1121,22yz30（A）． （B）． （C）． （D）．

64329、平面AxByCzD0过x轴，则（ ）

（A）AD0 （B）B0,C0 （C）B0,C0 （D）BC0 10、平面3x5z10（ ）

（A）平行于zox平面 （B）平行于y轴（C）垂直于y轴 （D）垂直于x轴 11、点M(1,2,1)到平面x2y2z100的距离为（ ）

1（A）1 （B）1 （C）－1 （D）

312、与xoy坐标平面垂直的平面的一般方程为 。

13、过点(1,2,1)与向量S1i2j3k,S2jk平行的平面方程为 。 14、平面19x4y8z210和19x4y8z420之间的距离等于 。 15、过点(0,2,4)且与平面x2z1及y3z2都平行的直线方程为。

x2y4z7016、过点(2,0,3)并与垂直的平面的方程为 。

3x5y2z10二、完成下列各题

1、设OCa13b,OB2a8b,OC(ab)与b是不平行的非零向量，求的值，使A、B、C三点在

同一直线上。

2、已知不平行的两向量a和b，求它们的夹角平分线上的单位向量。

3、设点A(1,0,1)为矢量AB的起点，AB10,AB与x轴、y轴的夹角分别为60,45，试求： （1）AB与z轴的夹角v；（2）点B的坐标。

4、求与向量a2ij2k共线且满足ax18的向量x。

5、若平面过x轴，且与xoy平面成30的角，求它的方程。

第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算

1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 第 1 页 共 18 页

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3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

4、 利用坐标做向量的运算：设a(ax,ay,az)，b(bx,by,bz)，

则 ab(axbx,ayby,azbz), a(ax,ay,az)；

5、 向量的模、方向角、投影：

1） 向量的模：

rx2y2z2；

2222） 两点间的距离公式：AB(x2x1)(y2y1)(z2z1)

3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,

xyzcos, cos, cos4） 方向余弦：

rrr

cos2cos2cos21

aacos，其中5） 投影：Prju

（二） 数量积，向量积

为向量a与u的夹角。

1、

ababcos数量积：

21）aaa

2）abab0 abaxbxaybyazbz

2、 向量积：cab

absin，方向：a,b,c符合右手规则

大小：

1）aa0

2）a//bab0

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abaxbxijaybykazbz

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运算律：反交换律 baab

（三） 曲面及其方程 1、 2、

曲面方程的概念：旋转曲面：

S:f(x,y,z)0

yoz面上曲线C:f(y,z)0，

22yf(y,xz)0 绕轴旋转一周：

22f(xy,z)0 z绕轴旋转一周：

3、

柱面：

F(x,y)0F(x,y)0表示母线平行于z轴，准线为的柱面

z04、

二次曲面

1）

xy2z椭圆锥面：

a2b2x2y2z2221 2椭球面：abc222）

x2y2z2221 2旋转椭球面：aac3）

x2y2z2221 2单叶双曲面：abc第 3 页 共 18 页

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4）

xyz221 2双叶双曲面：abc2225）

x2y22z 2椭圆抛物面：ab6）

x2y22z 2双曲抛物面（马鞍面）：

abxy21 2椭圆柱面：

abx2y221 2双曲柱面：

ab2xay 抛物柱面：

F(x,y,z)0一般方程：

G(x,y,z)0xx(t)xacostyy(t)yasint参数方程：，如螺旋线：zz(t)zbt空间曲线在坐标面上的投影

227）

8）

9）

（四） 空间曲线及其方程

1、

2、

3、

F(x,y,z)0，消去zG(x,y,z)0

（五） 平面及其方程 1、

点法式方程：

H(x,y)0，得到曲线在面xoy上的投影

z0A(xx0)B(yy0)C(zz0)0

 法向量：n(A,B,C)，过点(x0,y0,z0)

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2、

一般式方程：

AxByCzD0

xyz1

截距式方程：

abc3、

n(A,B,C)n两平面的夹角：1111，2(A2,B2,C2)，

A1A2B1B2C1C2ABCABC21212122222 2cos12 A1A2B1B2C1C20

A1B1C11//2 A2B2C24、

点

P0(x0,y0,z0)到平面AxByCzD0的距离：

ABC222

dAx0By0Cz0D（六） 空间直线及其方程

1、

A1xB1yC1zD10一般式方程：

A2xB2yC2zD20

xx0yy0zz02、 对称式（点向式）方程：

mnp 方向向量：s(m,n,p)，过点(x0,y0,z0)

3、

4、

xx0mtyy0nt

参数式方程：

zz0pts(m,n,p)s两直线的夹角：1111，2(m2,n2,p2)，

m1m2n1n2p1p2222m12n12p12m2n2p2cos

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L1L2 m1m2n1n2p1p20

m1n1p1L1//L2

m2n2p25、

直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

sinAmBnCpABCmnp222222

L// AmBnCp0

ABCL mnp

第九章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念 1、 2、 3、 4、 5、

距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。 多元函数：极限：连续：

zf(x,y)，图形： limf(x,y)A

f(x,y)f(x0,y0)

(x,y)(x0,y0)(x,y)(x0,y0)lim偏导数：

fx(x0,y0)limx0f( x0x,y0)f( x0,y0)

xfy(x0,y0)lim6、

方向导数：

y0f(x0,y0y)f(x0,y0)

yfffcoscoslxy7、

其中

,为

l的方向角。

梯度：zf(x,y)，则gradf(x0,y0)fx(x0,y0)ify(x0,y0)j。

8、

zzdzdxdy

全微分：设zf(x,y)，则

xy函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

（二） 性质 1、

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1 2 偏导数连续 函数可微 偏导数存在 充分条件

必要条件 4 定义 2 函数连续 2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 3、 微分法

1）

定义：

u x2） 复合函数求导：链式法则

z

若

zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)，则 zzuzvzzuzxuxvx，

yuyvvy

3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）

（三） 应用

1、 极值

1）

无条件极值：求函数

zf(x,y)的极值

fx0解方程组 f 求出所有驻点，对于每一个驻点(xy00,y0)，令 Afxx(x0,y0)，Bfxy(x0,y0)，Cfyy(x0,y0)，

① 若ACB20，A0，函数有极小值，

若

ACB20，A0，函数有极大值； ② 若ACB20，函数没有极值； ③ 若ACB20，不定。

2）

条件极值：求函数

zf(x,y)在条件(x,y)0下的极值

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3

v y

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令：

L(x,y)f(x,y)(x,y) ——— Lagrange函数

Lx0Ly0解方程组 (x,y)02、 1）

几何应用

曲线的切线与法平面

xx(t):yy(t)，则上一点M(x0,y0,z0)（对应参数为t0）处的 曲线

zz(t)xx0yy0zz0切线方程为：

x(t0)y(t0)z(t0)法平面方程为：2） 曲面

曲面的切平面与法线

x(t0)(xx0)y(t0)(yy0)z(t0)(zz0)0

:F(x,y,z)0，则上一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为：

Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0

xx0yy0zz0 法线方程为：

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

第十章 重积分 （一） 二重积分

1、 定义：

f(f(x,y)dlimD0k1nk,k)k

2、 3、 4、 1）

性质：（6条）

几何意义：曲顶柱体的体积。 计算： 直角坐标

1(x)y2(x)D(x,y)，

axb第 8 页 共 18 页

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f(x,y)dxdyDbadx2(x)1(x)f(x,y)dy

1(y)x2(y)D(x,y)，

cydf(x,y)dxdyD2）

极坐标

dcdy2(y)1(y)f(x,y)dx

1()2()D(,)

f(x,y)dxdydD1(2())f(cos,sin)d

n（二） 三重积分

1、 2、 3、 1）

定义： 性质： 计算：

f(x,y,z)dvlimf(k,k,k)vk0k1

直角坐标

2）

f(x,y,z)dvdxdyDz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz -------------“先一后二”

f(x,y,z)dvdza柱面坐标

bDZf(x,y,z)dxdy -------------“先二后一”

xcosysinzz3）

球面坐标

，

f(x,y,z)dvf(cos,sin,z)dddz

第 9 页 共 18 页

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xrsincosyrsinsinzrcos

曲面

f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd

（三） 应用

S:zf(x,y),(x,y)D的面积：

z2z21()()dxdy

xyA

D第十一章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分

1、 2、

定义：性质：

Lf(x,y)dslimf(i,i)si0i1n

1）

[f(x,y)(x,y)]dsLLf(x,y)dsg(x,y)ds.

L2）

Lf(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds. (LL1L2).

L1L23）在

L上，若

f(x,y)g(x,y)，则Lf(x,y)dsLg(x,y)ds.

4）3、

Ldsl ( l 为曲线弧 L的长度)

计算：

设

x(t),(t)，其中(t),(t)在f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为y(t),[,]上具有一阶连续导数，且2(t)2(t)0，则

Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt ,()

（二） 对坐标的曲线积分 第 10 页 共 18 页

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1、

定义：设 L 为

xoy面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数P(x,y)n，

Q(x,y)在 L 上有界，定义

LP(x,y)dxlimP(k,k)xk0k1，

Q(Q(x,y)dylimL0k1nk,k)yk.

向量形式：2、

LFdrP(x,y)dxQ(x,y)dy

L用L表示L的反向弧 , 则F(x,y)drF(x,y)dr

LL性质：

3、 计算：

设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续, L的参数方程为

x(t),(t:)，其中(t),(t)在[,]上具有一阶连续导数，且2(t)2(t)0，y(t),则

LP(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt

两类曲线积分之间的关系：

4、

设平面有向曲线弧为

x(t)L： y(t)，

L上点

(x,y)处的切向量的方向角为：

,，

(t)(t)coscos，222(t)2(t)(t)(t)则

（三） 格林公式

1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数P(x,，

LPdxQdy(PcosQcos)ds.

Ly),Q(x,y)在

QPdxdyPdxQdy

D 上具有连续一阶偏导数, 则有xyDL2、

G为一个单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数，则

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QP 曲线积分 PdxQdy在G内与路径无关 xyL曲线积分PdxQdy0

L P(x,y)dxQ(x,y)dy在G内为某一个函数u(x,y)的全微分

（四） 对面积的曲面积分 1、 设

定义：

为光滑曲面，函数f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数，

定义 2、

f(x,y,z)dSlimf(i,i,i)Si

0i1n计算：———“一单二投三代入”

:zz(x,y)，(x,y)Dxy，则

1、 2、 设

f(x,y,z)dS定义：

Dxyf[x,y,z(x,y)]1zx(x,y)zy(x,y)dxdy

22（五） 对坐标的曲面积分

预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量

为有向光滑曲面，函数

P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)n是定义在

上的有界函数，定义

R(x,y,z)dxdylimR(i,i,i)(Si)xy

0i1同理，

P(x,y,z)dydzlimP(i,i,i)(Si)yz

0ni1n1）

Q(x,y,z)dzdxlimR(i,i,i)(Si)zx

0i1性质：

3、

12，则

PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy12PdydzQdzdxRdxdy

2）

表示与取相反侧的有向曲面 , 则

RdxdyRdxdy

第 12 页 共 18 页

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4、

计算：——“一投二代三定号”

:zz(x,y)，(x,y)Dxy，zz(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x,y,z)在上连续，则

R(x,y,z)dxdy两类曲面积分之间的关系：

DxyR[x,y,z(x,y)]dxdy,为上侧取“ + ”， 为下侧取“ - ”.

5、

PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS

为有向曲面

其中

,,在点(x,y,z)处的法向量的方向角。

由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数P,Q,R在上有连续的一阶偏

（六） 高斯公式 1、

高斯公式：设空间闭区域

导数, 则有

PQRxyzdxdydz PdydzQdzdxRdxdy

PQRdxdydz PcosQcosRcosdS

或xyz2、

通量与散度

通量：向量场A(P,Q,R)通过曲面指定侧的通量为：PdydzQdzdxRdxdy

PQR散度：divAxyz（七） 斯托克斯公式 1、

斯托克斯公式：设光滑曲面  的边界 是分段光滑曲线,  的侧与  的正向符合右手法则,

P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有

RQPRQPyzdydzzxdzdxxydxdy PdxQdyRdz

为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:

dydzdzdxdxdyPdxQdyRdz xyzPQR第 13 页 共 18 页

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2、

环流量与旋度

环流量：向量场A(P,Q,R)沿着有向闭曲线的环流量为PdxQdyRdz

RQPRQP, , 旋度：rot A yzzxxy

第十二章 无穷级数 （一） 常数项级数 1、

定义：

1）无穷级数：

un1nk1nu1u2u3un

部分和：

Snuku1u2u3un，

正项级数：

un1n1n，

un0

n(1)un，un0 交错级数：2）级数收敛：若

nlimSnSn收敛，而

存在，则称级数

un1n收敛，否则称级数

un1n发散

3）条件收敛：

un1un1n发散；

绝对收敛：2、 1）

un1n收敛。

性质：

改变有限项不影响级数的收敛性；

2） 级数

a，bnn1n1n收敛，则

(an1nbn)收敛；

3） 级数

an1n收敛，则任意加括号后仍然收敛；

4） 必要条件：级数

un1n收敛

limunn0.（注意：不是充分条件！）

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3、

审敛法

正项级数：

un1n，

un0

存在；

1） 定义：

nlimSnS2）

un1n收敛

Snnn1有界；

3） 比较审敛法：

u，vn1n为正项级数，且unvn (n1,2,3,)

若

vn1n1n收敛，则

un1n收敛；若

un1n发散，则

vn1n发散.

4）

比较法的推论：

u，vnn1n为正项级数，若存在正整数

m，当nm时，unkvn，而vn收敛，

n1n1n1则

un1n收敛；若存在正整数

m，当nm时，unkvn，而vn发散，则un发散.

5）

unliml (0l)，

比较法的极限形式：un，vn为正项级数，若n而vnvnn1n1n1收敛，则

un1nununlim0或lim，而vn发散，则un发散.

收敛；若nnvvnn1n1nun1liml，则当l1时，级数un收敛；则当l1时，级数un比值法：un为正项级数，设nunn1n1n16）

发散；当

l1时，级数un可能收敛也可能发散.

n17） 根值法：

un1n为正项级数，设limnunl，则当l1时，级数un收敛；则当l1时，级数unnn1n1发散；当

l1时，级数un可能收敛也可能发散.

n18） 极限审敛法：

un1n为正项级数，若

limnun0或limnun，则级数un发散；若存在

nnn1nunl (0l)，则级数un收敛. p1，使得limnpn1交错级数： 第 15 页 共 18 页

高等数学（下）知识点

n(1)un，un0满足：un1un (n1,2,3,)，且limun0，则莱布尼茨审敛法：交错级数：n1n级数

n(1)un收敛。 n1任意项级数：

un1n绝对收敛，则

un1n收敛。

收敛， q1naq 常见典型级数：几何级数： n0 q1发散， p11收敛， p -级数：p nn1 p1发散，（二） 函数项级数 1、

定义：函数项级数

un1n(x)，收敛域，收敛半径，和函数；

2、

nax幂级数：nn0

an1收敛半径的求法：limnan1, 0R0, ，则收敛半径

, 03、 泰勒级数

f(x)n0f(n)(x0)f(n1)()n(xx0)  limRn(x)lim(xx0)n10

nn(n1)!n!展开步骤：（直接展开法） 1） 2）

求出求出

f(n)(x), n1,2,3,； f(n)(x0), n0,1,2,；

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3） 写出

n0f(n)(x0)(xx0)n；

n!4）

f(n1)()n1limR(x)lim(xx)0是否成立。 0验证nnn(n1)!x间接展开法：（利用已知函数的展开式） 1）e1nx, x(,)；

n0n!n12）

sinx(1)n01x2n1, x(,)；

(2n1)!12nx, x(,)；

(2n)!3）

cosx(1)n0n11nx, x(1, 1)； 4）

1xn01nn(1)x, x(1, 1) 5）

1xn0(1)nn1ln(1x)x, x(1, 1] 6）

n0n11n2n(1)x, x(1, 1) 7）21xn0m(m1)(mn1)nm(1x)1x, x(1, 1) 8）

n!n1 4、 1）

傅里叶级数 定义：

正交系：

1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,,sinnx,cosnx函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间

[, ]上积分为零。

傅里叶级数：

a0f(x)(ancosnxbnsinnx)

2n1第 17 页 共 18 页

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1anf(x)cosnxdx(n0,1,2,)系数：

1bnf(x)sinnxdx(n1,2,3,)2）

收敛定理：(展开定理)

设 f (x) 是周期为2的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有

x为连续点f(x), a0ancosnxbnsinnx f(x)f(x)2n1, x为间断点23） 傅里叶展开：

1anf(x)cosnxdx(n0,1,2,)①求出系数：；

1bnf(x)sinnxdx(n1,2,3,)②写出傅里叶级数

a0f(x)(ancosnxbnsinnx)；

2n1③根据收敛定理判定收敛性。

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