2015-2016学年高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算学案 新人教A版必修1

2．1 指数函数

2．1.1 指数与指数幂的运算

[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质．

[知识链接]

1．4的平方根为±2,8的立方根为2.

2

2．2·2＝32，(2)＝16，(2·3)＝36，3＝4.

2

3

2

22

2

5

[预习导引] 1.n次方根

(1)n次方根的定义：一般地，如果x＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N. (2)n次方根的性质

①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号a表示．

②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时正数a的正的n次方根用符号a表示，负的n次方根用符号－a表示．正的n次方根与负的n次方根可合并写成±a(a＞0)．

③0的任何次方根都是0，记作0＝0. ④负数没有偶次方根. 2．根式

(1)式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

n*

nnnnnn 1

(2)式子a对任意a∈R都有意义，当n为奇数时，a＝a，当n为偶数时，a＝|a|＝

a a≥0，

－a a＜0.

nnnnnn

3．分数指数幂

(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝a(a＞0，m，n∈N，且n＞1)． (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝mnnm*

mn1amn (a＞0，m，n∈N且n＞1)．

*,

(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质 (1)aa＝arsrsr＋s(a＞0，r，s∈Q)；

(2)(a)＝a(a＞0，r，s∈Q)； (3)(ab)＝ab(a＞0，b＞0，r∈Q)． 5．无理数指数幂

无理数指数幂a(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．

α

rsrrr

要点一 根式的运算 例1 求下列各式的值．

348328

(1)－2；(2)－3；(3)3－π； (4)x－2x＋1－x＋6x＋9，x∈(－3,3)． 33

解 (1)－2＝－2. 4422

(2)－3＝3＝3. 88(3)3－π＝|3－π|＝π－3.

(4)原式＝x－1－x＋3＝|x－1|－|x＋3|， 当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2. 当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.

－2x－2，－3＜x≤1，

因此，原式＝

－4，1＜x＜3.

2

2

2

2

2

规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．

2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．

跟踪演练1 化简下列各式．

544544(1)－2；(2)－10；(3)a－b. 55

解 (1)－2＝－2. 44

(2)－10＝|－10|＝10. (3)

4

a－ba≥b，

a－b＝|a－b|＝

b－aa＜b.

4

要点二 根式与分数指数幂的互化 例2 将下列根式化成分数指数幂形式． 34

(1)a·a； (2) aaa； 323233(3)a·a； (4)(a)·ab. 解 (1)a·a＝a·a＝a. (2)原式＝a·a·a＝a. (3)原式＝a·a＝a.

(4)原式＝(a)·a·b＝ab.

规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a＝a和amn132

34

131471212231432187813612327632nmmn＝

1amn＝

1

，其中字母a要使式子有意义．

nam跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式： 36

(1) a·－a(a＜0)； 32

3

(2) abab(a，b＞0)；

42(3)b3(b＜0)；



3

23(4)3

1

(x≠0)．

xx22

解 (1)原式＝a·(－a)

＝－(－a)·(－a)＝－(－a)(a＜0)． (2)原式＝abab＝ab ＝(a·b)＝ab(a，b＞0)． (3)原式＝b(4)原式＝

212343527213135

13161612323232352725676＝(－b)(b＜0)．

＝

191xx1341531x35＝x35(x≠0)．

要点三 分数指数幂的运算 例3 (1)计算：0.064

39213703－0.75－－＋[(－2)]3＋16＋|－0.01|2； 8

41(2)化简： aa3÷

3

3a73a13(a＞0)．

4－0.75

解 (1)原式＝(0.4)

193213－1＋(－2)＋(2)

1723－4

11143－1

＋(0.1)＝0.4－1＋＋＋0.1＝. 16880

2

12(2)原式＝[a＝a937136666·a1332]÷[a·a11323]

＝a＝1.

0

规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． 跟踪演练3 计算或化简：

33－10

(1)－3＋(0.002)2－10(5－2)＋(2－3)； 8

3221(2)a3a3·

a231-52a21-2. 113解 (1)原式＝(－1)

333＋12－10＋1 85005－2

4

1272

＝－＋(500)－10(5＋2)＋1

2834

＝＋105－105－20＋1 9167＝－. 9(2)原式＝(a·a＝(a)·(a·a＝(a)＝a.

－40

3232)·[(a))

1213－5

12·(a12)]

13

12135213212－2

1．下列各式正确的是( ) 3344

A．(a)＝a B．(7)＝－7 5566

C．(a)＝|a| D.a＝a 答案 A

445566

解析 (7)＝7，(a)＝a，a＝|a|. 525

2.a－b＋a－b的值是( ) A．0 B．2(a－b) C．0或2(a－b) D．a－b 答案 C

解析 当a－b≥0时， 原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)； 当a－b＜0时，原式＝b－a＋a－b＝0.

21

3．计算[(－2)]的结果是( )

2

A.2 B．－2 C.答案 A

22 D．－ 22

解析 [(－2)]＝[(2)]＝2.

2

122

12 5

1－1,212－1

4．在－2，，2中，最大的数是( )

22

1－1－A. B．22 2

1111－1C.2 D．2 2

答案 C

1－11212121－12－解析 ＝－2,2＝＝，＝2，2＝，所以最大．

222222

11115．2

12＋－4

2

0

＋

－1－5·8＝________. 2－1

1

0

23答案 22－3 解析 原式＝12＋12

＋2＋1－2＝22－3.

2

1.掌握两个公式：(1)(

a a≥0，

－aa＜0.

na)n＝a；(2)n为奇数，

nan＝a，n为偶数，

nan＝|a|＝

2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．

一、基础达标

3

1．化简 aa的结果是( ) 32

A．a B.a C．a D.a 答案 B 解析

3

aa＝(a·a)＝(a)＝a＝a.

3412133213122．若(1－2x)有意义，则x的取值范围是( )

1

A．x∈R B．x∈R且x≠ 2

6

C．x＞12 D．x＜12

答案 D 解析 ∵(1－2x)

34＝1，∴1－2x＞0，

4

1－2x

3

得x＜12

. 3．若a<12，则化简42a－12的结果是( )

A.2a－1 B．－2a－1 C.1－2a D．－1－2a 答案 C

解析 ∵a<1

2，∴2a－1<0，

∴2a－12

＝1－2a， ∴42a－12

＝1－2a.

234．化简

a3bab2(a，b＞0)的结果是( )

114abb423aA.b B．ab C.aab D．a2

b 答案 C

111解析 原式＝[a3b2

(ab2

)3]2÷(a1b2

b3a13)

3112752＝a322214b32÷(a3b3)＝a33×b373＝ab. 25．计算(2a－3

b3)·(－3a－1b)÷(4a－4

b53)得( )

A．－32b2 B.32b2

77C．－32b3 D.32b3

答案 A

7

解析 原式＝

6ab4a-4b1-435332

＝－b.

2

b1n－3

6．如果a＝3，b＝384，那么a7＝________.

a

答案 3×2

n－3

11b1384n－3n－3n－3n－37解析 a7＝3＝3[(128)7]＝3×2. a3

7．(1)求

1233372＋ 3－0.064的值； 98

1212(2)化简

mnmn12＋

mnmn12121212.

解 (1)原式＝2532733

＋－0.4 98

＝ 52＋ 333－30.43

32

5383

＝＋－0.4＝. 3230

1111222mnmn2＝2m＋n. (2)原式＝

111m－n12222mnmn22二、能力提升

11ab8．设2＝5＝m，且＋＝2，则m等于( )

abA.10 B．10 C．20 D．100 答案 A

解析 ∵2＝m,5＝m，∴2＝m，5＝m，∵2×5＝m·m＝m故选A. 9．化简

23－610－43＋22得( )

ab1a1b1a1b11ab∴m＝10，∴m＝10.

2

A．3＋2 B．2＋3 C．1＋22 D．1＋23 答案 A

8

解析 原式＝ 23－610－42＋1 ＝ 23－62－42＋2 ＝ 23－62－2 ＝ 9＋62＋2 ＝3＋2.

10．设α，β是方程5x＋10x＋1＝0的两个根，则2·2＝________，(2)＝________. 1

答案 25

4

1

解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝. 5则2·2＝2

α

β

α＋β

2

α

β

α

β

2

2

11αβαβ

＝2＝，(2)＝2＝25.

4

－2

111．计算下列各式的值：

1－10

(1)(0.027)－62＋2564＋(22)3－3＋π；

4

3133

(2)73－324－6＋

9(3)(a·b85131324

3

33；

65)

125453

·a÷b(a＞0，b＞0)．

1315196752343

解 (1)原式＝[(0.3)]－2＋(4)4＋(22)3－＋1＝0.3－＋4＋2－＋1＝.

323152(2)原式＝7×3－32×3－6

13131313323

33

12＋4333 3

1＝7×3－6×3－6×3＝2×3－2×3×3

131323＋3

131323

＝2×3－2×3＝0. (3)原式＝a＝a＝a4535815245·b61-52·a÷b

4535·b·a÷b

354455b3355＝ab＝1.

00

三、探究与创新

9

12．(1)已知2＋2＝a(常数)，求8＋8的值；

x－xx－x(2)已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求

xyxy12121212的值．

解 (1)∵4＋4＝(2)＋(2) ＝(2＋2)－2·2·2＝a－2， ∴8＋8＝2＋2

x－xx2－x2

x－x2x－x2

x－x3x－3x＝(2)＋(2)＝(2＋2)·[(2)－2·2＋(2)]＝(2＋2)(4＋4

x3－x3x－xx2x－x－x2x－xx－x－1)＝a(a2

－2－1)＝a3

－3a.

112112x2(2)xy2y211＝x2y21111 x2y2x2y21＝

xy-2xy2xy.①

∵x＋y＝12，xy＝9，②

∴(x－y)2

＝(x＋y)2

－4xy＝122

－4×9＝108. 又∵x＜y，∴x－y＝－63.③

1112将②③代入①，得

xy29211＝

122＝－33

. x2y26313．若a＝2，b>0，

12求

a2ba＋111121a2b3aa2b3b3的值． a2b3解 原式＝a2＋b－1

＋13

13

a2－b3

3333＝a2＋b－1

＋a2－b－1

＝2a2＝2×22＝42.

10