高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案 新人教A版必修1

教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；

2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；

3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法：学导式 教学过程： 第一课时 引例：填空

（nN)； a=1（a0)； a（1）aaa0n*nn个a1(a0,nN*) na (2)aaamnmn (m,n∈Z)； (am)namn (m,n∈Z)； (ab)nanbn (n∈Z) （3）9_____； -9_____； （4）(a)2_____( a0)； a2________（II）讲授新课 1.引入：

0______ （1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为aa可看作aa所以aaamnmnmnmn,

可以归入性质aaamnmnmn；又因为()可看作aa，所以

abnanan()n可以归入性质(ab)nanbn(n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性bb质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（nN*）的概念。 （2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如： 2=4 ，（-2）=4  2，-2叫4的平方根 332=8  2叫8的立方根； （-2）=-8-2叫-8的立方根 5n2=32  2叫32的5次方根 „ 2=a 2叫a的n次方根 22分析：若2=4，则2叫4的平方根；若2=8，2叫做8的立方根；若2=32，则2叫做32的n

5次方根，类似地，若2=a，则2叫a的n次方根。由此，可有： 2.n次方根的定义：（板书） 一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根（n th root）,其中n1，且nN。 问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？x分析过程：

例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a的3次方根。（要求完整地叙述求解过程） 6235nna是否正确？

解：因为3=27，所以3是27的3次方根；因为(2)5=-32，所以-2是-32的5次方根；

因为(a2)3a6，所以a是a的3次方根。

结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为x从而有：3273，5322，3a6a2

例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。 解：因为216，(2)416，所以2和-2是16的4次方根；

因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。 结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：na(a0) 其中na表示a的正的n次方根，na表示a的负的n次方根。 例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。 解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。 结论3：0的n次方根是0，记作n00,即na当a=0时也有意义。 这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质： 3.n次方根的性质：（板书）

na,n2k1na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。 x(kN*) 其中 na,n2kn2

6

3

na。

4注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。 4.根式运算性质：（板书） ①（na）a，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。 问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ 例4：求3(2)3 ， 525 ， 434 ， (3)2 由所得结果，可有：（板书） ②nanna,n为奇数；|a|,n为偶数

性质的推导如下：

性质①推导过程： 当n为奇数时，xna,由xna得(na)na 当n为偶数时，xna,由xna得(na)na 综上所述，可知：(na)na 性质②推导过程： 当n为奇数时，由n次方根定义得：anan 当n为偶数时，由n次方根定义得：anan 则|a||nan|nan 综上所述：(na)na,n为奇数|a|，n为偶数 注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。 （III）例题讲解 例1．求下列各式的值： 32434 （4）(ab)2（a>b） （1）（－8）（2）（－10）（3）（3－）注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。 （III）课堂练习：求下列各式的值

(1)532 (2)(3)4 (3)(23)2 (4)526 （IV）课时小结 通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。 （V）课后作业 1、书面作业：

a.求下列各式的值 3（1）－27 (2)a62 (4)(（3）（－4）x12) 3xb.书P69习题2.1 A组题第1题。 2、预习作业：

a.预习内容：课本P59—P62。 b.预习提纲：

（1）根式与分数指数幂有何关系？

（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？

第二课时 1.填空 5（1）364______, （2）481______,32_______；481______； 312（3）(43)4______, (4)5a10_____, (56)5______；a_______；5（5）5（2）___,7(3)7_____； （6）6(4)6____,454______. （II）讲授新课

分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解： (a2)5a10,5a10a2；也可根据n次方根的性质来解：5a105(a2)5a2。

问题1：观察5a10a2,4a12a3，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？

a510a105a,a2412a123即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，a4，

根式可以写成分数指数幂的形式。

问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：aa是否可行？

2323分析：假设幂的运算性质(a)amn23mn对于分数指数幂也适用，那么(a)a2

2

233233a2，这

说明a也是a2的3次方根，而3a2也是a的3次方根（由于这里n=3，a的3次方根唯一），于是a2a。这说明a2a可行。 由此可有：

1.正数的正分数指数幂的意义：<板书>

323323anam(a0,m,nN*,且n1)

注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数a的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。 问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？ 分析：正例：(8)反例：(8)124n

mn13382,(2)52610(2)105(2)4,(2)3(2)2等等；

2231331282,(8)6(8)22,而实际上；又如：

36434124（8）（8）（8），（8）48124（83）83。这样就产生了混乱，因此

12“a>0”这个限制不可少。至于(8)13382，这是正确的，但此时(8)不能理解

13为分数指数幂，

5510512不能代表有理数（因为不能改写为），这只表示一种上标。而3623那是因为(2)10210,(2)222，负号内部消化了。 (2)(2),(2)3(2)2，

问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？

分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。

2.负分数指数幂：<板书>

amn1amn(a0,m,nN*,且n1)

3.0的分数指数幂：（板书）

0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。 说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性； （2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数； （3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）

arasars(a0,r,sQ)； (ar)sars(a0,r,sQ) (ab)rarbr(a0,b0,rQ)

(4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用

mnmn(a)nanam来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。

（5）同样可规定ap(p0,p是无理数）的意义：

① a表示一个确定的实数；

② 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关念和证明从略； ③ 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。 （III）例题讲解（投影2）

p

1－316－3100，（），（）4 例2．求值：8，481－2312分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。 1＝10－1＝；10解： 33（－）1－316－242－327－3（－2）（－3）（）＝（2－2）＝2＝26＝64；（）4＝（）4＝（）＝。4813388＝（2）＝233232323＝2＝4；100＝（10）＝1022－12－1212（－）2例3．用分数指数幂的形式表示下列各式： a2a,a33a2,aa(式中a0) 分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。

解：

aaaaa332323221221223a;a;

3411352aaaaa11223aa(aa)(a)a.（IV）课堂练习

课本P63练习：1、2、3、4 （V）课时小结

通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质。 （V）课后作业

1、书面作业：课本P69习题2.1A组题第2,3,4. 2、预习作业

（1）预习内容：课本P61例题5。 （2）预习提纲：

a.根式的运算如何进行？

b.利用理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？

教学后记

第三课时

教学目标

1.掌握根式与分数指数幂的互化；

2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值； 3.培养学生的数学应用意识。 教学重点：有理指数幂运算性质运用。 教学难点：化简、求值的技巧 教学方法：启发引导式 教学过程 （I）复习回顾

1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质

分数指数幂概念 有理指数幂运算性质 mn3122anam aaarsrs(a0,r,sQ)； amnnam＝1nam (a)a(a0,r,sQ) rsrs (a0,m,nN*,且n1) (ab)rarbr(a0,b0,rQ) 2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0） 5a2

14x

x6x (a)3

（II）讲授新课

例1．计算下列各式（式中字母都是正数） (1)(2ab)(6ab)(3ab); (2)(mn). 分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：

① 结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数； ③ 根式需化成最简根式。 23121213165614388(1)(2ab)(6ab)(3ab)解：[2(6)(3)]a211326231212131656(2)(mn)14814388383b115236 (m)(n)33 4ab04a;m2mn3n 例2．计算下列各式：

(1)a2a3a2(a0); (2)(325125)45 分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。 （2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。 解： a3a2 5 a66a5;例3．求值：

(1)a2a12232a12223(2)(25125)5(55)55555551254231432142134 34233214aa53124551255545.(1)526743642;(2)2331.5612 分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；

解： (1)526743642(3)2232(2)222223(3)222222(2)2((32))2(23)2(22)2|32||23||22|3223(22)22注意：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号。113236(2)2331.5612＝23（）（32）212 ＝2111－＋333111＋＋236＝23＝6要求：例3学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。 （III）课堂练习 计算下列各式：

141－3（1）16－（）－（）162 4（2）[53()0]215要求：学生板演练习，做完后老师讲评。 （IV）课时小结

通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。 （V）课后作业 第二教材有关题目

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