应用 信号分析中小波变换基函数选择研究 晏［摘强 周冬梅 （成都理工大学信息科学与技术学院，四川 成都 ６１００５９） 要］ 不同的小波基具有不同的时频特征，用不同的小波基分析同一个问题产生的结果会有区别。因此在小波分 析应用中就存在了小波基的选取问题。本文详述了小波变换的原理以及选择小波基函数的基本方法．根据不同的应用需要 来使用相应的小波基函数。 ［关键词］ 小波基；信号分析；选择；小波特性 １．引言 信号分析的主要目的是寻找一种简单有效的信号变换 方法，使信号所包含的重要特征能显示出来。在信号分析 中，对信号的基本刻画往往采用两种最基本形式，即时域形 式和频域形式。把时间或空间位置作为自变量，而把信号的 某一数字化特征作为因变量描述信号是常用方式。小波变 换作为一个可以很好地完成时频分析的工具进入人们的视 野。而小波分析中小波基的选择又对分析产生举足轻重的 影响。如何能够很好地选择小波基函数，选择的要求等成为 我们研究的话题之一。 ２．小波变换 小波变换是由法国科学家Ｍｏｒｌｅｔ于１９８４年在进行地 震数据分析时提出的，他在研究地震波的局部特性时，发现 传统的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换和加窗Ｆｏｕｒｉｅｒ变换难以达到其要求，从 而引入小波的概念。 定义：小波是一个满足条件： ｒ Ｌ Ｏ（ｔ）ｄｔ＝－０ （１） 的函数（ＩｌＪ（ｔ））。通过平移和伸缩可产生一函数ｌｌ， ， ｔ）： ．上 ． Ｉｌ， ．ｂ（ｔ）＝ｌａｆ Ｉ１Ｊ（ 二ｃａ Ｊｂ）ａｔｂＥ Ｒ ａ≠０ （２） 其中ｔｌＪ（ｔ）称为基小波或母小波，ａ为伸缩因子也称为尺 度因子，ｂ为平移因子，式（２）称为基小波生成的连续波。 小波变换定义： ，＋∞ ．上，＋∞ ． ｗｆ（ａ，ｂ）＝Ｌ ｉｆｔ）。 （ｔ）ｄｔ＝ｌａｌ Ｊ ｆ（１）Ｉｌ，（ ）ｄｔ （３） 如果将小波变换定义式（３）与加宽Ｆｏｕｒｉｅｒ变换定义式 进行比较，不难看出，连续小波 ． （ｔ）的作用与加窗Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换中的函数ｇｗ， ｔ）＝ｇ（ｔ—ｒ）ｅ 相似，都起到窗函数的作用， 其中参数ｂ与，ｒ都起着平移作用，而本质不同的是ａ与∞， 从前面对加窗Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的讨论中，我们知道，在加窗 Ｆｏｕｒｉｅｒ变换中，参数‘１）的大小与时频窗口大小有关系，即ｔＯ 的变化与时频窗口长宽有关系，但不改变窗口的大小，时频 窗口的大小只与窗函数ｇ（ｔ）有关，当窗函数ｇ（ｔ）确定，时频窗 口大小就随之确定。而在小波变换中，时频窗口的大小则与 作者简介：晏强，男，河南信１￣ｓＡ．，硕士，研究方向：电路与系统。 ａ有关。 ３．小波基特性及选择条件 ３．１小波函数特性 由于小波变换是将原始图像与小波基函数以及尺度函 数进行内积运算，基于小波变换的数据压缩目的就是希望经 小波分解后得到的三个方向的细节分量具有高度的局部相 关性，而整体相关性能最大限度地消除。因此对于同一幅图 像，选择不同的小波基进行分解所得到的数据压缩效果是不 同的。本文即是对小波函数的特征进行研究，分析不同小波 基对图像压缩编码的影响。 小波变换以其优异的时域和频域局部化能力、方向选择 能力和与人眼视觉特性相符的多分辨率分析能力，被广泛 应用于图像压缩领域，并取得了很好的效果。将小波变换用 于图像压缩时，并非所有的小波基都适合图像分解，小波 基帕选择直接影响到整个算法的编码能力、变换的复杂性和 重构图像的质量，因此小波基的选择是图像压缩中的一个 关键问题。对于图像压缩来说理想的小波基应该具有下列性 质： ｆ１）正交性 用正交小波基由多尺度分解得到的各子带数据分别落 在相互正交的ＬＺ（Ｒ２）的子空间中，使各子带数据相关性减 小。但是能准确重建的、正交的、线性相位、有限冲击响应滤 波器组是不存在的，此时一般放宽正交性条件为双正交。 （２）紧支性与衰减性 称小波 （ｔ）是紧支的，如果它有紧支集；称小波 （ｔ）是 急衰或急降的，当ｔ—ｏｏ时，它快速衰减或按指数规律衰减。 紧支性与衰减性是小波的重要性质，紧支宽度越窄或衰减越 快，小波的局部化特性越好；紧支小波不需做人为的截断，应 用精度很高，但是一个函数不可能在时域和频域都是紧支 的，最多有一个是紧支的，另一个是急衰的。一般希望小波 基能够在时域上具有紧支性。 （３１对称性 对称或反对称的尺度函数和小波函数是非常重要的，因 为可以构造紧支的正则小波基，而且具有线性相位。 Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ已经证明，除了Ｈａａｒ小波基，不存在对称的紧支 ・－——４９－－—— 学术探讨应用技术与研究 ２『１１２率第３期 正交小波基。而对于双正交小波基，可以合成具有对称或反 对称的紧支撑小波基。 ｆ４）正则性 （２）小波滤波器长度的选择对称的双正交小波基可以满 足图像处理中比较严格的线性相位特性要求，不仅可减少或 消除重建图像的边缘失真，而且在级联的塔型结构中无须相 正则性是函数光滑程度的一种描述，也是函数频域能量 集中的一种度量。若ｑｓ（ｔ）具有Ｎ阶连续导数，正则性阶数ｒ 越大，意味着ｌｌＪ（ｔ）越光滑，其频域的能量越集中，一般而言数 据压缩的结果也越好。 位补偿，同时支集较短便于快速实现和进行边界处理，因此 在图像编码领域得到广泛应用。对于非平稳图像信号，采用 非对称滤波器（ＡＦＢ）比传统滤波器（如ＦＩＲ）图像重建后的 视觉效果要好。小波基与待压缩图像的相似性对压缩效果 的影响实验证明，在小波函数基本图像与压缩图像的结构较 相似的情况下，可以忽略正则性，结构越相似压缩效果越 好。 ｆ５）消失矩 小波基函数应具有消失矩性质，即： Ｊ ｔｋｏ（ｔ）ｄｔ＝Ｏ：ｋ＝Ｏ，１，……ｎ一１ Ｊ・ （３）小波变换的级数由一维小波采用张量积构成的可分 离的二维小波变换是将原始图像分解成一个低频信号和三 个方向的高频分量信号。即每层分解为四个子带信号，每层 的低频信号又可以进一步分解成四个子带信号，总的子带数 为３Ｋ＋１，其中Ｋ为分解层数。 Ｄ凸 其中 （ｔ）有ｎ个连续的零点，我们说 （ｔ）的消失矩为 ｋ。当ｋ＝０时有ｆ ｔ （ｔ）ｄｔ＝Ｏ，这表明 （ｔ）是一个迅速衰减 且平均值为０的波。消失矩的大小决定了用小波逼近光滑 函数的收敛率。当图像光滑时，消失矩越大，将导致小波系 数越小。 ４．小波变换未来发展 小波应用的范围虽广，但真正取得极佳效果的领域并 ３．２小波函数选择条件 在不同的应用领域，小波基的选取标准不同，不同的小 不多，人们也正在挖掘有前景的应用领域。小波分析打开 了信号处理的大门，这个领域远比Ｆｏｕｒｉｅｒ分析处理的时不 波基适应不同的具体情况。小波变换中的小波基的选择转 换为正交镜像滤波器组ＱＭＦＢ的选择。小波基的选取应从 一变系统复杂。在这个大领域里，小波分析是一个重要工具， 同时也需要其它的理论和工具。 参考文献： 【１】魏明果．实用小波分析［Ｍ】．北京：北京理工大学出版社 ２００５． 般原则和具体应用两方面考虑。根据小波函数特征，一般 （１）小波基的正则性阶数对图像压缩效果有影响 正则性是函数光滑程度的一种描述，也是函数频域能量 原则如下： 集中的一种度量。在小波变换过程中，对于正则性较弱的滤 波器，输入信号光滑部分会因变换级数的增加而发生不连 续的情况，这种非信号本身的不连续性也将反映在图像压 ［２】崔锦泰，程正兴译．小波分析导论［Ｍ］．西安：西安交通大学出 版社．１９９５． 缩时的离散小波的变换系数中，量化过程使得这些系数出 现误差，导致图像重建失真，正则性越弱，则图像变化部分 越不光滑，视觉效果越差，反之小波函数正则性越强，图像 重建效果越好。小波正交性、能量集中性和图像压缩小波基 恰当选择使得信号经小波正交变换后，其能量大部分集中 在其中ｋ个变换系数上，若ｋ越小，则表明该变换能量越集 中。在图像压缩中，为提高压缩比可只保留权值较大的前ｎ 个分量。可见，能量集中特性越好，图像压缩效果越好。 ［３】谭善文，秦树人，汤宝平．小波基时频特性及其在分析突变信 号中的应用［Ｊ］．重庆大学学报２００１，２４（２）：１２—１７． 【４］陈志奎，徐铭陶．小波基和它对一维信号的直接分解［Ｊ］．重庆 大学学报，１９９８，２１（３）：１３１－１３８． ［５］杨福生．小波变换的工程分析与应用［Ｍ］．北京：科学出版 社．１９９９． ［６］王建中．小波理论及其在物理和工程中的应用…．数学进展， １９９２，２１（３）：２８９—３１１． ［７】邓东皋，彭立中．小渡分析［Ｊ］．数学进展，１９９１，２０（１）：２９４－３１０． Ｔｈｅ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｂａｓｉｓ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｗａｖｅｌｅｔ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｉｎ Ｓｉｇｎａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｙａｎ Ｑｉａｎｇ Ｚｈｏｕ Ｄｏｎｇｍｅｉ （Ｃｈｅｎｇｄｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１００５９，Ｓｉｃｈｕａｎ） 【Ａｌｍｒ￣】Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｗａｖｅｌｅｔ ｂａｓｉｓ ｈａｓ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ａ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ｂｅ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｗａｖｅｌｅｔ ｂａｓｉｓ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｗａｖｅｌｅｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｎ ｔｈｅ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｗａｖｅｌｅｔ ｂａｓｉｓ ｉｓ ｃｒｉｔｉｃａ１．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｅｔａｉｌｓ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ａｎｄ ｃｈｏｏｓｅｓ ｔｈｅ ｗａｖｅｌｅｔ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｎｅｅｄｓ ｔｏ ｕｓｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｗａｖｅｌｅｔ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． 【ｌ【‘ 喇恤】ｗａｖｅｌｅｔ ｂａｓｉｓ；ｓｉｇｎａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ；ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ；ｗａｖｅｌｅｔ ｆｅａｔｕｒｅｓ 一５０—