初中数学竞赛(四)

一、选择题：

1、如图8-1，已知AB＝10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作两个等边三角形APC和BPD，则线段CD的长度的最小值是 （ ） A. 4

B. 5

C. 6

D. 5(51)

2、如图8-2，四边形ABCD中∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AD＝8，AB＝7， 则BC＋CD等于 （ ） A. 63

B. 53

C. 43

D. 33

3、如图8-3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为 （ ） A. 45

7C B. 33

5C. 39

D 5D. 15

A D 2 D C

E F 60° B C A B B A P 图8-3 图8-2 图8-1

4、已知△ABC的三个内角为A、B、C且α＝A+B，β＝C+A，γ＝C+B，则α、β、γ中，锐角的个数最多为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

5、如图8-4，矩形ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为 （ ） A. 4cm 10cm C. 4cm 23cm

B. 5cm 10cm D. 5cm 23cm

A B D A E B CD F C C

图8-4

6、一个三角形的三边长分别为a，a，b，另一个三角形的三边长分别为a，b，b，其中a>b，若两个三角形的最小内角相等，则a的值等于

b （ ）

A.

31

2B.

51 2C.

322 D.

52 27、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是 （ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5

18、若函数ykx(k0)与函数y的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于

xB，则△ABC的面积为 （ ）

2

A. 1 B. 2 C. k D. k 二、填空题

1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为a，b，则d与

ab的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿ 2· E A B A′

图8-5

C B′ D 2、如图8-5，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′＝BB′＝AB，则∠BAC的度数为＿＿＿

3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7）、（5、9、11）……问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长＿4、如图8-6，P是矩形ABCD内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则PD＝＿＿＿＿＿＿＿ 5、如图8-7，甲楼楼高16米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时求①如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？＿＿＿＿＿＿②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是＿＿＿＿＿＿米。

6、如图8-8，在△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内的一点， 使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝＿＿ 三、解答题

B

A A B P 图8-6 A 1甲 6 D C 20C 乙 D B 图8-7

P 图8-8

C 1、如图8-9，AD是△ABC中BC边上的中线，

1求证：AD＜（AB+AC）

2C B D

图8-9 2、已知一个三角形的周长为P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？ 3、如图8-10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是角平分线，C DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F。 F E 2

求证：①四边形CEDF是正方形。 ②CD＝2AE·BF

A D 图一、选择题

C 1、如图过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥PB于F，过

D

G D作DG⊥CE于G。

A 1E P F B 显然DG＝EF＝AB＝5，CD≥DG，当P为AB中点

2时，有CD＝DG＝5，所以CD长度的最小值是5。 2、如图延长AB、DC相交于E，在Rt△ADE中，可求得

D A B

AE＝16，DE＝83，于是BE＝AE－AB＝9，在Rt△

A 60° C B E

A D BEC中，可求得BC＝33，CE＝63，于是CD＝DE－CE＝23 BC＋CD＝53。

3、由已知AD+AE+EF+FD＝EF+EB+BC+CF

1 ∴AD+AE+FD＝EB+BC+CF＝(ADABBCCD)11

2 ∵EF∥BC，∴EF∥AD，AEDF

EBFC 设AEDFEBFCk，AEk6kk4k AB，DFCDk1k1k1k1 AD+AE+FD＝3+

6k4k13k3 k1k1k1∴13k311 解得k＝4

k1 作AH∥CD，AH交BC于H，交EF于G，

则GF＝HC＝AD＝3，BH＝BC－CH＝9-3＝6

∵EGBHAE4，∴424 EGBHAB555∴EFEGGF24339

554、假设α、β、γ三个角都是锐角，即α＜90°，β＜90°，γ＜90°，也就

是A+B＜90°，B+C＜90°，C+A＜90°。∵2（A+B+C）＜270°，A＋B＋C＜135°与A＋B＋C＝180°矛盾。故α、β、γ不可能都是锐角，假设α、β、γ中有两个锐角，不妨设α、β是锐角，那么有A＋B＜90°，C＋A＜90°，∴A＋(A＋B＋C)<180°，即A+180°＜180°，A＜0°这也不可能，所以α、β、γ中至多只有一个锐角，如A＝20°，B＝30°，C＝130°，α＝50°，选A。

5、折叠后，DE＝BE，设DE＝x，则AE＝9－x，在Rt△ABC中，AB2＋AE2＝

BE2，即 ，解得x＝5，连结BD交EF于O，则EO＝FO，BO＝DO ∵BD9232310 ∴DO＝310

2 在Rt△DOE中，EO＝

DE2DO252(31010)222 ∴EF＝10。选B。

6、设△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b，如图D是AB上一点，有AD＝b，因

a>b，故∠A是△ABC的最小角，设∠A＝Q，则以b,b,a为三边之A 三角形的最小角亦为Q，从而它与△ABC全等，所以DC＝b，∠Q ACD＝Q，因有公共底角∠B，所以有等腰△ADC∽等腰△CBD，

从而得BCBD，即bab，令xa，即得方程x2x10，解

ABBCD B C

abb得xa51。选B。

b27、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360°，故外角中钝角的个数不能

超过3个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形。 8、A。设点A的坐标为（x，y），则xy1，故△ABO的面积为1xy1，又因

22为△ABO与△CBO同底等高，因此△ABC的面积＝2×△ABO的面积＝1。

二、填空题

1、如图设四边形ABCD的一组对边AB和CD的中点分别为M、

N，MN＝d，另一组对边是AD和BC，其长度分别为a、b，

连结BD，设P是BD的中点，连结MP、PN，则MP＝a，

2D A M B P N C

NP＝b，显然恒有dab，当AD∥BC，由平行线等分线段定理知M、N、

22P三点共线，此时有dab，所以d与ab的大小关系是dab(或abd)。

22222、12°。设∠BAC的度数为x，∵AB＝BB′ ∴∠B′BD＝2x，∠CBD＝4x ∵AB＝AA′ ∴∠AA′B＝∠AB A′＝∠CBD＝4x ∵∠A′AB＝

1(180x) 2 ∴1(180x)4x4x180，于是可解出x＝12°。

23、以3，5，7，9，11构成的三数组不难列举出共有10组，它们是（3，5，7）、

（3，5，9）、（3，5，11）、（3，7，9）、（3，7，11）、（3，9，11）、（5，7，9）、（5，7，11）、（5，9，11）、（7，9，11）。由3+5＜9，3+5＜11，3+7＜11可以判定（3，5，9）、（3，5，11）、（3，7，11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有7个数组构成三角形三边长。

4、过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F，过P作BC的平E A 行线分别交AB、CD于G、H。 a G 设AG＝DH＝a，BG＝CH＝b，AE＝BF＝c，DE＝CF＝d， 则APac，CPbd，

BP2b2c2，　DP2＝d2a2222222D a H b C P b B c F d 于是AP2CP2BP2DP2，故DP2AP2CP2BP232524218，DP＝32

5、①设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，那么图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设CE⊥AB于点E，那么在△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，EC＝20米。 所以AE＝ECtanACE20tan3020311.6（米）。

3A 16 甲 E 米 20 CD＝EB＝AB-AE＝16-11.6＝4.4（米）

②设点A的影子落到地面上某一点C，则在△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝16米，所以BCABcotACB16327.7C 乙 D B （米）。所以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27.7米。 6、提示：由题意∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，设∠PBC＝α，∠ABC＝60°

则∠ABP＝60°－α，∴∠BAP＝∠PBC＝α， ∴△ABP∽△BPC，APBPBP，BP2＝AP·PC PCA BPAPPC4843

B D E C 三、解答题

1、证明：如图延长AD至E，使AD＝DE，连结BE。

∵BD＝DC，AD＝DE，∠ADC＝∠EDB ∴△ACD≌△EBD ∴AC＝BE

1在△ABE中，AE＜AB＋BE，即2AD＜AB＋AC ∴AD＜（AB＋AC）

22、答案提示：在△ABC中，不妨设a≤b≤c ∵a+b>ca+b+c>2c 即p>2cpc<， 2另一方面c≥a且c≥b2c≥a+b ∴3cabcpcp。因此pcp

3323、证明：①∵∠ACB＝90°，DE∥BC，DF∥AC，∴DE⊥AC，DE⊥BC，

从而∠ECF＝∠DEC＝∠DFC＝90°。

∵CD是角平分线 ∴DE＝DF，即知四边形CEDF是正方形。

②在Rt△AED和Rt△DFB中,∵DE∥BC ∴∠ADE＝∠B ∴Rt△AED∽Rt△DFB

∴

AEDE，即DFBFDE·DF＝AE·BF ∵CD＝2DE＝2DF，

∴CD22DE2DF2DEDF2AEBF

4、解：这一问题等价于在1，2，3，……，2004中选k－1个数，使其中任意三

个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的k的最大值是多少？符合上述条件的数组，当k＝4时，最小的三个数就是1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和，所以，为使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：

1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597

①

共16个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2……an显然总有ai大于等于①中的第i个数，所以n≤16≤k－1，从而知k的最小值为17。