苏教
【知识内容】
一、有理数的有关概念与性质
象－5，－2、－11、－003％等这样的数是负数。它们都比0小。 象10，3，的数是正数。它们都比0小大。 零既不是正数，也不是负数。
正整数、零、负整数统称整数。正分数和负分数统称分数。整数和分数统称有理数。 二、数轴
规定了原点，正方向做数轴。
和单位长度的直线叫
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的的数。 正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。 三、绝对值与相反数
数轴上表示一个数的点与原点距离，叫做这个数的绝对值。 符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。
正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 两个正数，绝对值大的正数大； 两个负数，绝对值大的负数反而小。 【典型例题】
例1. 以下说法是否正确？正确的打“√〞，错误的打“×〞，并说明理由。 〔1〕前进2km记作+2km，那么－5km就表示后退－5km。〔 〕 〔2〕有理数中不是正数的数就是负数。〔 〕
〔3〕有一种记法，80分以上如88分记为+874分，应记为－6分。〔 〕 〔4〕负整数和非负整数统称为整数。〔 〕
分析：本例应准确把握互为相反意义的量的含义以及有理数的两种分类HY才能准确判断。 解：〔1〕〔×〕根据互为相反意义的量的含义，－5km应表示后退5km，后退－5km就表示前进5km。 〔2〕〔×〕有理数包括正数、负数以及0，而本小题无视了0为有理数这一特殊情况。
〔3〕〔√〕“0〞的HY我们可以根据具体情况而定，故此题80分相当于0分，所以80分以上为正，80分以下为负，故74分应记为－6分。
〔4〕〔√〕整数包括正整数、负整数、零，而非负整数指正整数和零。所以此题对整数的分类正确。
说明：对类似于本例的说理判断题，应注意灵活运用，全面把握各概念，否那么易因考虑不周全，似是而非致错。
例2. 把以下各数填入相应的大括号内，－7，3.01，300％，－0.142857，＋0.1，0， 〔1〕正整数集：{ ……} 〔2〕分数集：{ ……} 〔3〕正分数集：{ ……} 〔4〕负分数集：{ ……}
分析：正数集合包括所有的正整数和正分数；分数集合包括所有的正分数和负分数。
3559，。 3113 解：〔1〕正整数集：{ 300％，
9 ……} 3 〔2〕分数集：{ 3.01，＋3.01， ……}
9 ……} 3355 〔4〕负分数集：{－0.142857， ……}
113 〔3〕正数集：{3.01，300％，＋0.1，
说明：本例是对有理进行分类，做题之前首先要明确各集合的含义，特别是对于以分数和百分数形式出现的数应注意化简。 如本例中的“300%〞和“
9〞经化简后为正整数。 3 例3. 用正数、负数表示下面各组具有相反意义的量，并指出它们的分界点。 〔1〕零上10℃与零下5℃；
〔2〕高于海平面100米与低于海平面200米。
分析：在现实世界中，存在着大量具有相反意义的量，比方收入与支出，上升与下降。零上温度与零下温度等。引入负数后，我们就可以用相应的数表示它们。
解：〔1〕如果用正数表示零上温度，那么零上10℃就表示+10℃，零下5℃就表示为－5℃，它的分界点是0℃。
〔2〕如果用正数表示高出海平面的高度，那么高出海平面100米就表示为+100米，而低于海平面200米就表示为－200米，海平面就是它的分界点，用0表示。
说明：具有相反意义的两个量规定其中一个用正数表示，另一个量就用负数来表示，到底用正数，还是用负数来表示其中的一个量，只是我们的一种规定，但也常遵守人们的习惯。比方人们习惯用正数表示零上温度，用正数表示收入等。
例4. 数轴上与表示+2的点距离是3个单位长度的点有几个？它们分别是什么数？
分析：在数轴上，与点距离相等的点一定有两个，它们分别位于该点的左、右两边。 解：与表示+2的点的距离是3个单位长度的点有两个，它们分别是－1和+5。
说明：类似于本例借助于数轴求解的题目，我们只需把点按照题中要求移动〔如此题移动3个单位长度〕，左右各移动一次，即可求得两个数。此题易出现考虑不全只有一个数的情况。 例5. 如下列图，在数轴上有三个点A、B、C，请答复：
〔1〕将B点向左移动3个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？ 〔2〕将A点向右移动4个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？ 〔3〕将C点向左移动6个单位后，这时B点表示的数比C点表示的数大多少？ 〔4〕怎样移动A、B、C中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？ 解：〔1〕因为将B点向左移动3个单位后，点B表示－5，而点A表示－4，点C表示3，因此点B表示的数最小，是－5；
〔2〕将A点向右移动4个单位后，点A表示0，点B表示－2，点C表示3，因此点B表示的数最小，是－2；
〔3〕将C点向左移动6个单位后，C点表示数－3，A点表示数－4，B点表示数－2，所以B点表示的数比C点表示的数大1。
〔4〕使三个点表示的数相同共有三种移动的方法。 第一种：把点A向右移动2个单位，点C向左移动5个单位； 第二种：把B点向左移动2个单位，C点向左移动7个单位； 第三种：把A点向右移动7个单位，B点向右移动5个单位。
例6. 某人从A地向东走10米，然后折回向西走3米，又折回向东走6米，此人在A地哪个方向？
距离是多少？
分析：我们可以借助数轴求解，以A地为原点。1cm长表示2m，向东的方向表示数轴的正方向。 解：
观察数轴得知：此人在A地向向，距离为13米。
说明：借助数轴求解，即把实际问题转化为数学知识模型，实际行走路线是
ADBC。
例7. 判断以下语句是否正确？正确的打“√〞，错误的打“×〞，并说明理由。 〔1〕符号相反的两个数叫做互为相反数。〔 〕
〔2〕互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数。〔 〕 〔3〕相反数和我们以前学过的倒数是一样的。〔 〕
分析：本例要求准确理解相反数的定义，只有符号不同的两个数称互为相反数。其中“只有〞指的是除了符号不同以外完全相同。
解：〔1〕〔×〕。符号相反的两个数不一定互为相反数，如“－3〞和“+5〞虽然符号相反，但它们不是互为相反数。
〔2〕〔√〕。因为0的相反数是0，但0既不是正数，也不是负数。
〔3〕〔×〕。相反数和我们以前学过的倒数是两种绝然不同的意义，互为相反数对符号提出了要求，但倒数并没有此限定。
说明：对类似于本例的说理判断题，应注意特殊的数0，注意0的相反数是本身。 例8. 化简以下各数的符号，并答复后面的问题。
〔1〕31＝________________ 2 〔2〕＋〔－4
1〕＝___________________ 5 〔3〕 〔4〕
(5)________________ (2)________________
〔5〕 〔6〕
(3)(3)_____________ _____________
〔7〕+2前面有2000个正号，2001个负号。化简后的结果是_____________，符号化简的规律为___________________。
分析：某数的相反数在形式上表现为在该数前面添加“－〞号，本例应从相反数本身出发，总结化简规律。 解：〔1〕3
1； 2 〔2〕－4
1； 5 〔3〕5； 〔5〕3；
〔4〕2 〔6〕3
〔7〕+2前面有2000个正号，2001个负号，化简的结果是－2。
符号化简的规律是：一个数符号的改变与它前面的正号无关，与负号的个数有关。当负号的个数为奇数时，这个数的符号改变，正的变为负的，负的变为正的。当负号的个数为偶数时，这个数的符号不变。
例9. 求绝对值小于5的非负整数？
分析：从数轴上看，绝对值等于5的数有±5，绝对值小于5就是到原点的距离小于5，这样的整数
有
4，3，2，1，0，1，2，3，4，而非负整数有0，1，2，3，4。
解：绝对值小于5的非负整数是0，1，2，3，4。
说明：理解绝对值的几何意义要注意，求绝对值符合某些条件的数时，不要漏掉0或负数。 例10. 比较以下各组数的大小：
2313555939和3 2486 〔1〕和；〔2〕和7；〔3〕
分析：比较两个数的大小，可结合数轴知识、绝对值知识考虑，对两个负数间的大小比较，应用“绝对值大的反而小〞的性质。
解：〔1〕
13135515，24248824
又
13152424
〔2〕
5555，6677
又
5567
3223993399，33 〔3〕
苏教初一数学 有理数§1－§3 练习
一、填空题
1. 设向东走为正，向东30米，记作_______，向西走20米记作________，原地不动记作__________，－25米表示向___________走25米， +16米表示向___________走16米。 2. 把以下各数：－，－0.5，－
15，0.86，0.8，87，0，－36，－7，分别填在相应的大括号里。
正有理数集合：{ ……}； 非负有理数集合：{ ……}； 整数集合：{ ……}；
负分数集合：{ ……}。
3. 数轴上点M表示2，点N表示－，点A表示－1，点M和点N中，距离点A较远的是___________________。 4. 假设点P在数轴上原点的右边，那么点P表示的是_____数，－3在数轴上原点的____边，表示－3的点距离原点____个单位长度，距离原点3个单位长度的点表示的有理数是_____。 5、比较大小：－3 0；－5 9；0 3；－2 －3；－
56 －
67。
6、－〔＋6〕＝ ；－〔－6〕＝ ；＋〔－6〕＝ ；＋〔＋6〕＝ 。 7、－5是 的相反数，相反数是本身的数是 ，－8的绝对值是 。 8、数轴上点A、B 两点的距离是3，点A表示数－2，那么点B表示数 。 二、选择题
9. 有理数的绝对值一定是〔 〕 A. 正数 C. 正数或零
B. 整数 D. 有理数的本身
10. 以下说法：
〔1〕零是正数； 〔2〕零是整数； 〔3〕零是最小的有理数； 〔4〕零是非负数； 〔5〕零是偶数。 其中正确说法的个数为〔 〕 A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
11. 以下说法正确的选项是〔 〕
A. 有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数 B. 一个有理数不是正数就是负数 C. 一个有理数不是整数就是分数 D. 以上说法都正确
12. 一个数大于它的相反数，那么这个数是〔 〕 A. 负数 C. 非负数 13. 以下说法： 〔1〕－3是相反数； 〔2〕－3和+3都是相反数； 〔3〕－3是+3的相反数； 〔4〕－3和+3互为相反数； 〔5〕+3是－3的相反数；
〔6〕一个数的相反数必定是另一个数。
B. 正数
D. 非正数
其中正确的为〔 〕
A. 〔1〕〔3〕〔5〕 B. 〔2〕〔4〕〔6〕 C. 〔2〕〔3〕〔4〕 D. 〔3〕〔4〕〔5〕 14、一个数绝对值是它本身，那么这个数是〔 〕 A. 正数 C. 正数或零
B. 零 D. 负数或零
15、绝对值不大于5，而又不小于3的整数个数有〔 〕
A. 3个 三、解答题
16、把以下各数在数轴上表示出来，并用“＜〞连接。 2，－，0，－
B. 4个
C. 5个
D. 6个
3，－3 517、仔细观察以下数：
（1） 1－，2，－3，4，－5，6，－7，8，…
其中第200个数为 ，第2005个数为 。 〔2〕1，2，－3，4，5，－6，7，8，－9，…
其中第345个数为 ，第2002个数为 。
18、有理数m，n在数轴上的位置如下列图，请写出有关的三个正确结论。
m 0 n
〔1〕 ； 〔2〕 ；
〔3〕 。
[参考答案]
1. +30米，－20米，0米，西，东；
2. 正有理数集合：
0.86，0.8，8.7，…… 0.86，0.8，8.7，0，……
非负有理数集合： 整数集合：
0，7，……
153.4，0.5，，，……36 负分数集合：
3. 点m 4. 正数，左边，3，+3或－3 5、＜；＜；＜；＞；＞ 6、－6，6，－6，6 7、5，0，8 8、1，－5
9. C 10. B 11. C 12. B 13. D 14、C 15、D 16、
17、〔1〕－200， 2005； 〔2〕－345，2002。 18、m 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容