2017年上海市杨浦区高考数学二模试卷
一、填空题
1．（4分）三阶行列式
中，5的余子式的值是 ．
2．（4分）若实数ω＞0，若函数f（x）=cos（ωx）+sin（ωx）的最小正周期为π，则ω= ．
3．（4分）已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为 ． 4．（4分）设向量=（2，3），向量=（6，t），若与夹角为钝角，则实数t的取值范围为 ．
5．（4分）集合A={1，3，a}，集合B={a+1，a+2}，若B∪A=A，则实数a= ．
2
6．（4分）设z1、z2是方程z+2z+3=0的两根，则|z1﹣z2|= ．
7．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2﹣3，则不等式f（x）＜﹣5的解为 ．
x
2
8．若变量x、y满足约束条件，则z=y﹣x的最小值为 ．
9．小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为 ． 10．设A是椭圆
+
=1（a＞0）上的动点，点F的坐标为（﹣2，0），若
满足|AF|=10的点A有且仅有两个，则实数a的取值范围为 ． 11．已知a＞0，b＞0，当（a+4b）+
2
取到最小值时，b= ．
2
2
12．设函数fa（x）=|x|+|x﹣a|，当a在实数范围内变化时，在圆盘x+y≤1
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内，且不在任一fa（x）的图象上的点的全体组成的图形的面积为 ．
二、选择题
13．设z∈C且z≠0，“z是纯虚数”是“z∈R”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2
14．设等差数列{an}的公差为d，d≠0，若{an}的前10项之和大于其前21项之和，则（ ） A．d＜0
B．d＞0
C．a16＜0 D．a16＞0
15．如图，N、S是球O直径的两个端点，圆C1是经过N和S点的大圆，圆C2和圆C3分别是所在平面与NS垂直的大圆和小圆，圆C1和C2交于点A、B，圆C1和C3交于点C、D，设a、b、c分别表示圆C1上劣弧CND的弧长、圆C2上半圆弧AB的弧长、圆C3上半圆弧CD的弧长，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．b＞a=c B．b=c＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
16．对于定义在R上的函数f（x），若存在正常数a、b，使得f（x+a）≤f（x）+b对一切x∈R均成立，则称f（x）是“控制增长函数”，在以下四个函数中：①f（x）=x+x+1； ②f（x）=“控制增长函数”的有（ ） A．②③
B．③④
C．②③④ D．①②④
2
； ③f（x）=sin（x）；④f（x）=x•sinx．是
2
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三、解答题
17．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，P、Q分别是棱BC与B1C1的中点．
（1）求异面直线D1P和A1Q所成角的大小；
（2）求以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积．
18．（14分）已知函数f（x）=．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）若不等式f（x）＞log9（2c﹣1）有解，求c的取值范围．
19．（14分）如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道．
（1）如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；
（2）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）
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20．（16分）设数列{an}满足an=A•4+B•n，其中A、B是两个确定的实数，B≠0．
（1）若A=B=1，求{an}的前n项之和； （2）证明：{an}不是等比数列；
（3）若a1=a2，数列{an}中除去开始的两项之外，是否还有相等的两项？证明你的结论．
21．（18分）设双曲线Γ的方程为x﹣
2
n
=1，过其右焦点F且斜率不为零的
直线l1与双曲线交于A、B两点，直线l2的方程为x=t，A、B在直线l2上的射影分别为C、D．
（1）当l1垂直于x轴，t=﹣2时，求四边形ABDC的面积； （2）当t=0，l1的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限时，试比较和1的大小，并说明理由；
（3）是否存在实数t∈（﹣1，1），使得对满足题意的任意直线l1，直线AD和直线BC的交点总在x轴上，若存在，求出所有的t的值和此时直线AD与BC交点的位置；若不存在，说明理由．
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2017年上海市杨浦区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题 1．三阶行列式
中，5的余子式的值是 ﹣12 ．
【考点】OU：特征向量的意义．
【分析】去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值． 【解答】解：由题意，去掉5所在行与列得：故答案为﹣12．
【点评】本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义．
2．若实数ω＞0，若函数f（x）=cos（ωx）+sin（ωx）的最小正周期为π，则ω= 2 ．
【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得ω的值．
【解答】解：实数ω＞0，若函数f（x）=cos（ωx）+sin（ωx）=的最小正周期为π， ∴
=π，∴ω=2，
sin（ωx+
）
=﹣12
故答案为：2．
【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．
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3．已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为 【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
．
【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，高为1， ∴母线长l为：
=
，
=
π，
∴圆锥的侧面积为：πrl=π×1×故答案为：
π．
【点评】题考查了圆锥的侧面积的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
4．设向量=（2，3），向量=（6，t），若与夹角为钝角，则实数t的取值范围为 （﹣∞，﹣4） ．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角． 【分析】由题意可得t的取值范围．
【解答】解：若与夹角为钝角，向量=（2，3），向量=（6，t）， 则
＜0，且、不共线，∴
，求得t＜﹣4，
＜0，且、不共线，即
，由此求得实数
故答案为：（﹣∞，﹣4）．
【点评】本题主要考查两个向量的数量公式，两个向量共线的性质，属于基础题．
5．集合A={1，3，a}，集合B={a+1，a+2}，若B∪A=A，则实数a= 2 ．
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2
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【考点】18：集合的包含关系判断及应用．
【分析】根据并集的意义，由A∪B=A得到集合B中的元素都属于集合A，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值． 【解答】解：由A∪B=A，得到B⊆A， ∵A={1，3，a}，集合B={a+1，a+2}，
∴a+1=1，a+2=a，或a+1=a，a+2=1，或a+1=3，a+2=a，或a+1=a，a+2=3， 解得：a=2． 故答案为2．
【点评】此题考查了并集的意义，以及集合中元素的特点．集合中元素有三个特点，即确定性，互异性，无序性．学生做题时注意利用元素的特点判断得到满足题意的a的值．
6．设z1、z2是方程z+2z+3=0的两根，则|z1﹣z2|= 2【考点】A7：复数代数形式的混合运算． 【分析】求出z，即可求出|z1﹣z2|． 【解答】解：由题意，z=﹣1±∴|z1﹣z2|=|2故答案为2
i|=2．
，
i，
2
2
2
2
2
2
．
【点评】本题考查复数的运算与球模，考查学生的计算能力，比较基础．
7．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2﹣3，则不等式f（x）＜﹣5的解为 （﹣∞，﹣3） ． 【考点】3L：函数奇偶性的性质．
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x
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【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0的解析式，讨论x＞0，x＜0，x=0，解不等式即可．
【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0， ∵当x＞0时，f（x）=2﹣3， ∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=2﹣3， ∵f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（﹣x）=2﹣3=﹣f（x）， 则f（x）=﹣2+3，x＜0，
当x＞0时，不等式f（x）＜﹣5等价为2﹣3＜﹣5即2＜﹣2，无解，不成立；
x
x
﹣x﹣x
﹣x
x
当x＜0时，不等式f（x）＜﹣5等价为﹣2+3＜﹣5即2＞8， 得﹣x＞3，即x＜﹣3；
当x=0时，f（0）=0，不等式f（x）＜﹣5不成立， 综上，不等式的解为x＜﹣3． 故不等式的解集为（﹣∞，﹣3）． 故答案为（﹣∞，﹣3）．
【点评】本题主要考查不等式的解集的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．
﹣x﹣x
8．若变量x、y满足约束条件，则z=y﹣x的最小值为 ﹣4 ．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得
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到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（8，4），
化目标函数z=y﹣x，得y=x+z，
由图可知，当直线y=x+z过点A（8，4）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣4． 故答案为：﹣4．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
9．小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，再求出小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3包含的基本事件个数m=2×6+6×4﹣2×4=28，由此能求出小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率．
【解答】解：小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，
．
基本事件总数n=6×6=36，
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小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3包含的基本事件个数： m=2×6+6×4﹣2×4=28，
∴小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为： p=
=．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
10．设A是椭圆
+
=1（a＞0）上的动点，点F的坐标为（﹣2，0），若
满足|AF|=10的点A有且仅有两个，则实数a的取值范围为 8＜a＜12 ． 【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】由题意，F是椭圆的焦点，满足|AF|=10的点A有且仅有两个，可得a﹣2＜10＜a+2，即可得出结论．
【解答】解：由题意，F是椭圆的焦点， ∵满足|AF|=10的点A有且仅有两个， ∴a﹣2＜10＜a+2， ∴8＜a＜12，
故答案为：8＜a＜12．
【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
11．已知a＞0，b＞0，当（a+4b）+【考点】7F：基本不等式．
2
取到最小值时，b= ．
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【分析】根据基本不等式，，a=4b时取等号，进而得出
时，
取到最小
，进一步可求出a=1，
值，即求出了此时的b的值． 【解答】解：∵a＞0，b＞0； ∴
2
，当a=4b时取“=”；
∴（a+4b）≥16ab； ∴=8，当此时，b=． 故答案为：．
【点评】考查基本不等式，注意基本不等式等号成立的条件，不等式的性质．
12．设函数fa（x）=|x|+|x﹣a|，当a在实数范围内变化时，在圆盘x+y≤1内，且不在任一fa（x）的图象上的点的全体组成的图形的面积为 【考点】7F：基本不等式．
【分析】根据题意，分析可得函数fa（x）=|x|+|x﹣a|（当a在实数范围内变化）的图象，进而可得在圆盘x+y≤1内，且不在任一fa（x）的图象上的点单位圆的，由圆的面积公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，对于函数fa（x）=|x|+|x﹣a|，当a变化时，其图象为 在圆盘x+y≤1内，且不在任一fa（x）的图象上的点单位圆的， 则其面积S=×π=
；
2
2
2
2
2
2
，即，a=1时取“=”；
．
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故答案为：．
【点评】本题考查函数的图象，关键是分析函数fa（x）=|x|+|x﹣a|（当a在实数范围内变化）的图象．
二、选择题
13．设z∈C且z≠0，“z是纯虚数”是“z∈R”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】z∈C且z≠0，“z是纯虚数”⇒“z∈R”，反之不成立，例如取z=2．即可判断出结论．
【解答】解：∵z∈C且z≠0，“z是纯虚数”⇒“z∈R”，反之不成立，例如取z=2．
∴“z是纯虚数”是“z∈R”的充分不必要条件． 故选：A．
【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算法则、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
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2
2
2
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14．设等差数列{an}的公差为d，d≠0，若{an}的前10项之和大于其前21项之和，则（ ） A．d＜0
B．d＞0
C．a16＜0 D．a16＞0
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】由{an}的前10项之和大于其前21项之和，得到a1＜﹣15d，由此得到a16=a1+15d＜0．
【解答】解：等差数列{an}的公差为d，d≠0， ∵{an}的前10项之和大于其前21项之和， ∴10a1+
＞21a1+
d，
∴11a1＜﹣165d，即a1＜﹣15d， ∴a16=a1+15d＜0． 故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
15．如图，N、S是球O直径的两个端点，圆C1是经过N和S点的大圆，圆C2和圆C3分别是所在平面与NS垂直的大圆和小圆，圆C1和C2交于点A、B，圆C1和C3交于点C、D，设a、b、c分别表示圆C1上劣弧CND的弧长、圆C2上半圆弧AB的弧长、圆C3上半圆弧CD的弧长，则a、b、c的大小关系为（ ）
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A．b＞a=c B．b=c＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【考点】L*：球面距离及相关计算．
【分析】分别计算a，b，c，即可得出结论．
【解答】解：设球的半径为R，球心角∠COD=2α，则b=πR，a=2αR， ∵CD＜AB，∴c＜b， ∵CD=2Rsinα， ∴c=2πRsinα， ∵0＜α＜∴c＞a， ∴b＞c＞a， 故选D．
【点评】本题考查球中弧长的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．
16．对于定义在R上的函数f（x），若存在正常数a、b，使得f（x+a）≤f（x）+b对一切x∈R均成立，则称f（x）是“控制增长函数”，在以下四个函数中：①f（x）=x+x+1； ②f（x）=“控制增长函数”的有（ ） A．②③
B．③④
C．②③④ D．①②④
2
，∴ =＞1，
； ③f（x）=sin（x）；④f（x）=x•sinx．是
2
【考点】3T：函数的值．
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【分析】假设各函数为“控制增长函数”，根据定义推倒f（x+a）≤f（x）+b恒成立的条件，判断a，b的存在性即可得出答案．
【解答】解：对于①，f（x+a）≤f（x）+b可化为：（x+a）+（x+a）+1≤x+x+1+b，
2
2
即2ax≤﹣a﹣a+b，即x≤
2
对一切x∈R均成立，
2
由函数的定义域为R，故不存在满足条件的正常数a、b，故f（x）=x+x+1不是“控制增长函数”； 对于②，若f（x）=
≤
+b，
2
是“控制增长函数”，则f（x+a）≤f（x）+b可化为：
∴|x+a|≤|x|+b+2b∴|x|+a≤|x|+b+2b∴f（x）=
2
恒成立，又|x+a|≤|x|+a， ，∴
≥
，显然当a＜b时式子恒成立，
2
是“控制增长函数”；
2
对于③，∵﹣1≤f（x）=sin（x）≤1，∴f（x+a）﹣f（x）≤2，
∴当b≥2时，a为任意正数，使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）=sin（x）是“控制增长函数”；
对于④，若f（x）=xsinx是“控制增长函数”，则（x+a）sin（x+a）≤xsinx+b恒成立，
∵（x+a）sin（x+a）≤x+a，∴x+a≤xsinx+b≤x+b，即a≤b， ∴f（x）=xsinx是“控制增长函数”． 故选C．
【点评】本题考查了新定义的理解，函数存在性与恒成立问题研究，属于中档题．
2
三、解答题
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17．（14分）（2017•杨浦区二模）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，P、Q分别是棱BC与B1C1的中点．
（1）求异面直线D1P和A1Q所成角的大小；
（2）求以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角． 【分析】（1）以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线D1P和A1Q所成角．
（2）以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积V=
．
【解答】解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D1（0，0，4），P（2，4，0），A1（4，0，4），Q（2，4，4），
=（2，4，﹣4），
=（﹣2，4，0），
设异面直线D1P和A1Q所成角为θ， 则cosθ=∴θ=arccoa
．
．
=
=
，
∴异面直线D1P和A1Q所成角为arccos（2）∵
=
=8，PQ⊥平面A1D1Q，且PQ=4，
∴以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积：
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V===．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查四面体的体积的求法，是中档题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想．
18．（14分）（2017•杨浦区二模）已知函数f（x）=（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）若不等式f（x）＞log9（2c﹣1）有解，求c的取值范围． 【考点】3K：函数奇偶性的判断．
【分析】（1）利用奇函数的定义，即可得出结论； （2）f（x）=
=
=﹣+
∈（﹣，），不等式f（x）＞
．
log9（2c﹣1）有解，可得＞log9（2c﹣1），即可求c的取值范围． 【解答】解：（1）函数的定义域为R， f（x）=
=
，f（﹣x）=
=﹣f（x），
∴函数f（x）是奇函数； （2）f（x）=
=
=﹣+
∈（﹣，）
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∵不等式f（x）＞log9（2c﹣1）有解， ∴＞log9（2c﹣1）， ∴0＜2c﹣1＜3， ∴
．
【点评】本题考查奇函数的定义，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．（14分）（2017•杨浦区二模）如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道． （1）如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；
（2）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）
【考点】HU：解三角形的实际应用；HS：余弦定理的应用．
【分析】（1）由P为于∠BAC的角平分线上，利用几何关系，分别表示丨PQ丨，丨PR丨，丨RQ丨，即可求得三条街道的总长度；
（2）设∠PAB=θ，0＜θ＜60°，根据三角函数关系及余弦定理，即可求得丨PQ丨，丨PR丨，丨RQ丨，则总效益W=丨PQ丨×300+丨PR丨×200+丨RQ丨×400，利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得答案．
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【解答】解：（1）由P位于弧BC的中点，在P位于∠BAC的角平分线上， 则丨PQ丨=丨PR丨=丨PA丨sin∠PAB=2×sin30°=2×=1， 丨AQ丨=丨PA丨cos∠PAB=2×
=
，
由∠BAC=60°，且丨AQ丨=丨AR丨， ∴△QAB为等边三角形， 则丨RQ丨=丨AQ丨=
，
=2+
；
三条街道的总长度l=丨PQ丨+丨PR丨+丨RQ丨=1+1+（2）设∠PAB=θ，0＜θ＜60°，
则丨PQ丨=丨AP丨sinθ=2sinθ，丨PR丨=丨AP丨sin（60°﹣θ）=2sin（60°﹣θ）=
cosθ﹣sinθ，
丨AQ丨=丨AP丨cosθ=2cosθ，丨AR丨=丨AP丨cos（60°﹣θ）=2cos（60°﹣θ）=cosθ+
sinθ
2
2
2
由余弦定理可知：丨RQ丨=丨AQ丨+丨AR丨﹣2丨AQ丨丨AR丨cos60°， =（2cosθ）+（cosθ+=3， 则丨RQ丨=
，
2
sinθ）﹣2×2cosθ（cosθ+
2
sinθ）cos60°，
三条街道每年能产生的经济总效益W，W=丨PQ丨×300+丨PR丨×200+丨RQ丨×400 =300×2sinθ+（=200（2sinθ+=200
cosθ﹣sinθ）×200+400cosθ）+400
，
，
+400
≈1222，
=400sinθ+200
cosθ+400
，
sin（θ+φ）+400，tanφ=
当sin（θ+φ）=1时，W取最大值，最大值为200
三条街道每年能产生的经济总效益最高约为1222万元．
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【点评】本题考查三角函数的综合应用，考查余弦定理，正弦函数图象及性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．
20．（16分）（2017•杨浦区二模）设数列{an}满足an=A•4+B•n，其中A、B是两个确定的实数，B≠0．
（1）若A=B=1，求{an}的前n项之和； （2）证明：{an}不是等比数列；
（3）若a1=a2，数列{an}中除去开始的两项之外，是否还有相等的两项？证明你的结论．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（1）运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和；
（2）运用反证法，假设{an}是等比数列，由定义，设公比为q，化简整理推出B=0与题意矛盾，即可得证；
（3）数列{an}中除去开始的两项之外，假设还有相等的两项，由题意可得B=﹣12A，构造函数f（x）=4﹣12x，x＞0，求出导数和单调性，即可得到结论． 【解答】解：（1）由an=4+n，
可得{an}的前n项之和为（4+4+…+4）+（1+2+…+n） =
+n（n+1）=（4﹣1）+（n+n）；
n
2
2
n
nx
n
（2）证明：假设{an}是等比数列， 即有
=q（q为公比），
n
n+1
即为Aq•4+Bq•n=A•4+B•（n+1），
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即Aq=4A，Bq=B，B=0，
解得q=4，B=0，这与B≠0矛盾， 则{an}不是等比数列；
（3）若a1=a2，数列{an}中除去开始的两项之外，假设还有相等的两项， 设为ak=am，（k，m不相等）， 由a1=a2，可得4A+B=16A+2B， 即B=﹣12A．
则an=A•4+B•n=A（4﹣12•n）， 即有A（4﹣12•k）=A（4﹣12•m）， 即为4﹣12•k=4﹣12•m， 构造函数f（x）=4﹣12x，x＞0， f′（x）=4ln4﹣12， 由f′（x）=0可得x0=log4
∈（1，2），
x
x
k
m
k
m
n
n
当x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）递增，
故数列{an}中除去开始的两项之外，再没有相等的两项．
【点评】本题考查数列的求和方法：分组求和，考查等比数列和等差数列的求和公式，同时考查反证法的运用，以及构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
21．（18分）（2017•杨浦区二模）设双曲线Γ的方程为x﹣
2
=1，过其右
焦点F且斜率不为零的直线l1与双曲线交于A、B两点，直线l2的方程为x=t，A、B在直线l2上的射影分别为C、D．
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（1）当l1垂直于x轴，t=﹣2时，求四边形ABDC的面积； （2）当t=0，l1的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限时，试比较和1的大小，并说明理由；
（3）是否存在实数t∈（﹣1，1），使得对满足题意的任意直线l1，直线AD和直线BC的交点总在x轴上，若存在，求出所有的t的值和此时直线AD与BC交点的位置；若不存在，说明理由． 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】（1）由双曲线Γ的方程为x﹣
2
=1，可得c==2，可得右焦点F
（2，0）．当l1垂直于x轴，t=﹣2时，由双曲线的对称性可得：四边形ABDC为矩形．即可得出面积．
（2）作出右准线MN：x=．e==2．分别作AC⊥MN，垂足为M；BD⊥MN，垂足
为N．利用双曲线的第二定义可得： =， ==．
（3）存在实数t∈（﹣1，1），t=时，定点．下面给出证明分析：设
直线AB的方程为：y=k（x﹣2），A（x1，k（x1﹣2）），B（x2，k（x2﹣2））．则C（t，k（x1﹣2）），D（t，k（x2﹣2））．直线方程与双曲线方程联立化为：（3﹣k）x+4kx﹣4k﹣3=0，分别得出：直线AD与BC的方程，进而得出． 【解答】解：（1）由双曲线Γ的方程为x﹣点F（2，0）．
当l1垂直于x轴，t=﹣2时，由双曲线的对称性可得：四边形ABDC为矩形． 代入双曲线可得：2﹣
2
2
2
2
2
2
=1，可得c==2，可得右焦
=1，焦点y=±3．
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∴四边形ABDC的面积S=4×6=24． （2）作出右准线MN：x=．e==2．
分别作AC⊥MN，垂足为M；BD⊥MN，垂足为N． 则
=
=+
．
===．
∵|AF|＞|FB|，∴∴
＜1．
＜．
（3）存在实数t∈（﹣1，1），t=时，定点．下面给出证明：
设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），A（x1，k（x1﹣2）），B（x2，k（x2﹣2））．
则C（t，k（x1﹣2）），D（t，k（x2﹣2））．
联立，化为：（3﹣k）x+4kx﹣4k﹣3=0，
2222
可得x1+x2=，x1•x2=．
直线AD的方程为：y﹣k（x1﹣2）=（x﹣x1），令y=0，解得
x=．
直线BC的方程为：y﹣k（x2﹣2）=（x﹣x2），令y=0，解得
x=．
由=，可得：（2+t）（x1+x2）﹣2x1•x2
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﹣4t=0． ∴（2+t）•
﹣2•
2
﹣4t=0．
化为：t=，不妨取k=1，则2x+4x﹣7=0， 解得x=
定点的横坐标x=∴定点坐标
． ．不妨取x1=
=，x2=
．
=．
【点评】本题考查了双曲线的第二定义、直线与双曲线相交问题、一元二次方程
的根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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