三篓 一点点突破· Ｖ ＂ｒ 例１ 函数厂（ｚ）一２ａｘ 一２ ＋４口一１在［１，２］上 的最小值为ｔ，若￡≤３恒成立，求实数ａ的取值范围． 析◇江苏王婧靓 单从题目的表象上观察，学生易将此题误认 为是恒成立问题，因为题目中有明显的字眼 “恒成立”，但这是错误的判断，实质是存在性问题．再 次观察题设，￡≤３恒成立，即ｆ （ｚ）≤３，对比以上４ 在数学中有２类关于参数取值范围的问题，由于 题设的表征经常性地利用全称或特称命题来叙述，故 而常将它们称为恒成立问题与存在性问题．由于这２ 种结论，仅了Ｘ∈［ ， ］，使得，（ｚ）≤ｎ成立的条件为 ｆ ｉ （ｚ）≤ｎ与题意相匹配，因此，此题在本质上是一 道存在性问题，它的等价表达为 Ｘ∈［１，２］，使得 ２ａｘ。一２ｘ＋４ａ一１≤３．整理可得２口（ｚ。＋２）≤２（ｚ＋ 类问题的结论在表达上具有相似性，经常为学生们所 混淆．同时２类问题在处理时，存在着极大的弹性，使 学生极难熟练掌握，因此备受高考专家青睐，成为高 考常见知识点．下面对２类问题作更深入的研究，让 学生认清问题的本质． １ 理论辨析：形似导致混淆。本质厘清错乱 １）理论推导 ａ）Ｖ ∈［ｍ， ］，使得，（ｚ）≤口成立时，口的取值 范围．需要保证函数在区间Ｅｍ， ］任意一个函数值不 大于ｎ，则只需保证函数的最大值小于或等于ｎ即可， 可得到结论Ｖｚ∈Ｅｍ， ］，使得 （ｚ）≤ｎ成立的条件 为ｆ…（ｚ）≤口；通过上述理论易知：Ｖ ∈［ ， ］，使 得．厂（ｚ）≥ｎ成立的条件为ｆ ｉ （ｚ）≥口． ｂ）］ｚ∈Ｅｍ，，ｚ］，使得，（ ）≤ａ成立时，口的取值 范围．只需保证函数厂（ ）在区间［ ， ］至少有一个 值不大于ｎ，因此保证函数的最小值小于或等于口即 可，结论为：ｊ ｚ∈［ｍ，ｎ］，使得 （ｚ）≤口成立的条件 为ｆ （ｚ）≤ｎ；易知存在一种相反的情境：ｊ ∈ｍ， ］，使得厂（ｚ）≥ｎ成立的条件为ｆ （ ）≥。． ２）理论比较 ａ）和ｂ）分别为全称命题和特称命题叙述的２种 基本类型，比较发现二者存在着相似之处，即对应命 题的题设表述时除量词之外，其他的表述均一致；同 时二者也存在差异，在表述相同时，二者所得的结论 刚好相反，使得学生极易对２种问题产生混淆．因此， 问题的关键在于让学生厘清２类问题的本质，从根本 上把握恒成立与存在性问题的差异，才能有助于学生 的理解与掌握． ２实践辨析：从单一到复合。紧扣本质解题 １）单一呈现，考查知识点的识别能力 在单一呈现的题型中，最简单的是直接说明是恒 成立或存在性问题；其次，题目可能未直接说明，但隐 含着全称或特称量词，需间接判断；最后，可能题目给 出的表征形似恒成立，但实质却是存在性问题． ８ 理化 ２），即口≤ ． 令ｇ（ｚ）一 ，则ｊ ３７．∈［１，２７，使口≤ｇ（ｚ）成 立，则口≤ｇ （ ），令ｔ—ｘ＋２，ｔ∈［３，４３，则ｇ（ｚ）一 ｔ ２－－４ｔ－｛－６一 ≤１·故口≤１． ２）复合呈现，考查知识点的综合运用能力 复合呈现的题型是在掌握２个知识点基本内容 的基础上，将二者结合起来综合出题，既有恒成立问 题又有存在性问题，考查学生综合运用能力． ；例 函数 （例２函数 （ ）＝Ｉ ）＝ 一÷＋ ，（ｎ 一手＋ ，ｇ（ ）一Ｘｚ一 ）一。一 ２６ ＋４，若Ｖ ∈（０，２）， ｚ ∈Ｆ１，２］，使得ｆ（ｘ ）≥ ｇ（ｘ。），求实数ｂ的取值范围． 复合呈现的题目，需紧扣问题的根本来解 解析决．厂（ｚ ）≥ｇ（ｚ ）成立所需要条件是厂（ｚ） 在（Ｏ，２）上任一个函数值要大于等于ｇ（ｚ）在［１，２］上 至少一个函数值，因此需ｆ ｉ （ｚ）≥ｇ ｉ （ｚ）． （ｚ）一ｉ１一 １一去一一 一０，易知 厂（ｚ）在（０，１）上单调递减，在（１，２）单调递增，故而 ｆ ｉ （ｚ）一－厂（１）一１／２；ｇ（ｚ）的对称轴为ｂ，当６≤１时 ｇ ｉ （ｚ）一５—２ｂ≤１／２，得６≥９／４（舍）；当１＜６＜２时 ｇ ｉ （ｚ）一一６ ＋４≤１／２，得￣／１４／２≤ｂ＜２；当６≥２时， ｇ 。 （ｚ）一８—４ｂ≤１／２，得６≥２．综上：６≥￣／１４／２． ３认识升华：关键在于本质。破题在于理解 在理论上２类问题的结论存在着相似之处，因此 也极易造成混淆．在实践上２类问题，既可单独呈现， 考查学生识别能力，亦可共同呈现，考查学生综合运 用能力．但无论是对理论的掌握，还是解题中的实际 运用，关键在于学生对全称命题和特称命题本质的掌 握，还需要对给定的题意做进一步的理解，才能使学 生在解题上产生质的飞跃． （作者单位：江苏省扬州市江都区育才中学）