定義：定義：
三角形：不共線的三點以線段連成的圖形。
矩形：四個角都是直角的四邊形稱為矩形； 若矩形的鄰邊等長就稱為正方形； 鄰邊不等長就稱為長方形。
菱形：四邊都等長的四邊形稱為菱形。
平行四邊形：有兩雙平行對邊的四邊形稱為平行四邊形。
梯形：一雙對邊平行，另一雙對邊不平行的四邊形 稱為梯形。
等腰梯形：兩腰等長的梯形稱為等腰梯形。
鳶(箏)形：兩雙鄰邊分別相等的四邊形稱為鳶形。
各種四邊形的關係如下： 凸四邊形四邊形 平行四邊形
矩形
梯形
長方形
正方形 鳶形 菱形
凹四邊形
性質：性質：
三角形：(1)三角形之外角和 =3600。 (2)三角形的內角和 = 1800。 (3)等邊對等角，大邊對大角。 (4)等角對等邊，大角對大邊。
長方形：(1)對角線等長。
(2)對角線互相平分。
(3)被對角線平分成兩個全等的直角三角形。
正方形：(1)對角線等長。
(2)對角線互相垂直平分。 (3)對角線平分頂角。
菱形：(1)對角線互相垂直平分。 (2)對角線平分頂角。
平行四邊形：(1)被對角線平分成兩個全等的三角形。 (2)兩雙對邊分別相等。 (3)對角線互相平分。
(4)四邊長之平方和 = 對角線長之平方。
鳶(箏)形：(1)對角線互相垂直。
(2)其中一對角線被另一對角線所平分。 (3)其中一對角線平分頂角。
1
梯形：(1)中線長 = (上底 + 下底)。
2
等腰梯形：
A (1)兩腰等長。 (2)兩底角相等。 (3)兩對角線等長。
ac
畢氏定理
BbC222
「已知∆ABC之三邊長為a、b、c，若∠C = 90°，則a + b = c」
此定理是由古希臘數學家畢達哥拉斯(Pythagoras，公元前572至公元前492年) 所發現，一說是由他證明的。而在中國約公元前1100年，管仲之友商高發現 了「勾三、股四、弦五」的關係，稱為「勾股定理」或「商高定理」。因屬特 例，故不為國際數學家所認同。
畢氏定理之逆定理：
已知∆ABC之三邊長為a、b、c，若a2 + b2 = c2，則∠C = 90°
例1.如圖，將邊長為1的等邊三角形的每一邊四等分， 過各分點做另外兩邊的平行線，在所得的圖形中 有多少個平行四邊形？
解1：將尖角向上的平行四邊形分為三類，分別計算： 平行四邊形兩邊長都為1的，有6個；
平行四邊形一邊長為1，另一邊長為2的，有6個；
A 平行四邊形一邊長為1，另一邊長為3的，有2個； 平行四邊形兩邊長都為2，有1個；一共有15個。
CB 同理，尖角指向右下或左下方的也各有15個 ∴共有45個平行四邊形。 解2：圖中每個平行四邊形有一對銳角頂點，它們不在同一條水平直線上； 反之，任何兩個不在同一條水平直線上的點都可確定一個邊與∆ABC 的兩條邊分別平行的平行四邊形。 圖中共有1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15個交點，共有1 + 2 + ...... + 14 = 105個點對。 其中兩點在同一直線上的應該刪去。因平行於AB的直線上依次有 2、3、4、5個點，從而共應刪去。
3 × [1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4)] = 60個點對， 故圖中共有105 − 60 = 45個平行四邊形。
例2.如圖所示，在一個8 × 8的方格棋盤中，有多少個 由四個小方格組成的″凸″字型圖形？ 解1：考慮下圖″凸″字型的A：
當A在方格棋盤的邊上時，對應一個″凸″字形， 共有6 × 4 = 24個。
當A在方格棋盤的內部時，對應4個″凸″字型，
共有6 × 6 × 4 = 144個 ∴共有24 + 144 = 168個。 解2：在每個2 × 3的長方形中可以找到兩個″凸″字型圖形。
而在8 × 8方格棋盤中2 × 3的長方形有(6 × 7) × 2 = 84(個)。 所以可以找到84 × 2 = 168個″凸″字型圖形。
例3.已知∆ABC之三邊長為a、b、c，若a2 + b2 = c2 試證：∠C = 90°
證：在AC右側取一點B′，作B′C ⊥ AC， 使B′C = BC，連接B′A，則AC = AC
B′A = B′A = B′C+AC = a2+b2 = c = BA B ∴ ∆ABC ≅ ∆AB′C (SSS性質) ∴ ∠ACB = ∠ ACB′ = 90°
2
2
AACB'例4.已知∆ABC為等腰三角形，自任一頂點引直線與其對邊所在的直線 相交於D點，若所得的三角形皆為等腰三角形，則∆ABC有多少種？ 解： A
36°/B360°7A90°///45°/90°/36°DCC72°A540°/7(圖 1)CDB(圖 2)DA(圖 3)BC/360°7//180°/7 B A D D C B 共五種。
(圖 4)(圖 5)例5.如圖，ABCDE為正五邊形，AP、AQ、AR分 別是由A向CD、CB和DE的延長線上所引的 Q 垂線。設O是正五邊形的中心，若OP = 1， 則AO + AQ + AR =？ 解：設正五邊形ABCDE的邊長為x，
則正五邊形ABCDE的面積 = ∆ABC + ∆ACD + ∆ADE
CBAREOPDx1
∴(AP + AQ + AR) = 5⋅⋅1⋅x，即AP + AQ + AR = 5
22 ∴ AO + AQ + AR = 4
例6.已知∆ABC中∠C = 90°，DE//AB，3DE = 2AB，
C AE = 13，BD = 9，則AB =？
解：令AE = x，BE = y，則CD = 2x，CE = 2y D ⇒ (2x)2 + (3y)2 = 92 ……(1)
EB15130 13
(3x)2 + (2y)2 = 132 ……(2) (1)2+ (2)2 ⇒ x2 + 3y2 =
A9(x2+y2) =
250
∴AB = 13
例7.若 0 < a < 3，0 < b < 4，a2+b2 + +
(3−a)2+(4−b)2之最小值為？
a2+(4−b)2 +
APEb2+(3−a)2
D解：作一矩形ABCD，令AB = 3，AD = 4， 在矩形ABCD之內部任取一點P，連接
PA、PB、PC、PD，過P作EG分別 垂直AD、BC於E、G，作FH分別垂直 AB、CD於F、H。令AF = DH = a、 FP = b，則BF = HC = 3 − a、 PH = 4 − b ⇒此四線段之長度為PA = 、PB = PD = ∴
b2+(3−a)2、PC =
FHBGCa2+b2
(3−a)2+(4−b)2、
a2+(4−b)2 ∵PA + PC ≥ AC，PB + PD ≥ BD
a2+(4−b)2 +
b2+(3−a)2 +
a2+b2 + (3−a)2+(4−b)2
= PA + PC + PB + PD ≥ AC + BD = 32+42 + 32+42 = 10
∴ 當P=A時有最小值(=10)。
例8.星光廣場上有一些圓柱，如右圖所示：自B起始將緞帶 繞圓柱8圈恰終止於D，已知柱高5.5m，周長0.6m， 則緞帶之最小長度為？
解：∵緞帶自B起始將緞帶繞圓柱8圈 恰終止於D，可將圓柱沿BD剪開， 展開圓柱之側面8倍寬，則BD間之 緞帶成一直線，如右圖所示： 由畢氏定理得 BD = (0.6×8)2+(5.5)2
CDDAB = (4.8)2+(5.5)2 = 7.3 B
例9.一個長方形如圖所示，恰分成六個正方形，其中最小 的正方形面積是1平方厘米，求這個長方形的面積？ 解：設左上角的正方形邊長為x厘米，則右上角的正方形
xxx-1x-11 邊長為(x − 1)厘米，則右下角的正方形邊長為(x − 2)
x-3x-3 厘米，左下角的正方形邊長為(x − 3)厘米。
x-3x-3 ∵矩形對邊相等 ⇒2(x − 3) + (x − 2) = x + (x − 1) 解得x = 7 ∴ 矩形的長為 x + (x − 1) = 13(厘米)
，寬為x + (x − 3) = 11(厘米)，面積為13 × 11 = 143(平方厘米)
x-2x-2
例10.如圖，直角三角形ABC的三邊分別是AC = 3
AHd ，BC = 4，AB = 5，(1)求斜邊AB上的高CH (2)若三角形ABC中有一點P到三邊的距離都是d ，d =？ 解：(1)S∆ABC =
PC11
AC⋅BC = AC˙CH ⇒ 3 × 4 = 5CH ∴CH = 2.4 22
B (2)連結PA、PB、PC ∵ S∆ABC = S∆ABP + S∆BCP + S∆CAP ∴
1111
AC⋅BC = AC⋅d + BC⋅d + CA⋅d，將已知數代入， 2222
解得d = 1
例11.如圖，三角形ABC的面積為1，BD︰DC = 2︰1，E是AC中點
，AD與BE相交於點P，那麼四邊形PDCE的面積是多少？
A解：連結CP，因S∆ABP = AP：PD = S∆ACP：S∆DCP 故S∆ABP：S∆AＣP = S∆ＤBP：S∆ＤＣP，設S∆DCP = x ∵ BD︰DC = 2︰1，故S∆DBP = 2S∆DCP = 2x ∴ S∆CPB = 2x + x = 3x ∵E是AC的中點
PBDEC ∴ S∆ABP：S∆CPB = S∆APE：S∆CPE = 1：1 ⇒ S∆ABP = S∆CPB = 3x， S∆ACP =
1332S∆ABP = x ⇒ 3x + 3x + x = 1 ⇒ x = 222151131
S∆ACP = ⋅x = 22210
217
+ = 151030
⇒ S∆CEP =
∴四邊形PDCE的面積為
例12.已知∆ABC中，三條內角平分線AD、BE、CF相交
Aαα 於I，IH⊥BC， 如圖，求證：∠BID = ∠HIC 證：設∠CAB = 2α，∠ABC = 2β，∠BCA = 2γ
，則α + β + γ = 90°，∠BID = α + β， ∠HIC = 90° − γ = α + β ∴ ∠BID = ∠HIC
Fββα+βα+βEγγBDHC1
例13.在右圖中，AD = AC，三角形CDE的面積是
4 三角形ABC的一半，問BE的長是BC的幾分之幾？ 解：如圖，連結CF、BD，設S∆ADF = A，則S∆AFC = 4A ACEFB ，再設S∆EFC = b，則S∆EDC = 5A + b，
D S∆ABC = 10A + 2b，S∆EFB = (10A + 2b) − (4A + b) = 6A + b，
S∆CFB = 6A + b + b = 6A + 2b ∵ S∆DFB：S∆CFB = DA：AC = 1：4， ∴ S∆DFB =
11
S∆CFB = (3A + b) 42
1
(3a+b)+(6a+b)15a+3b
332 = = = ，BE = BC
5a+b2(5a+b)25
SBE
= ∆DEB
S∆EDCEC
例14.矩形ABCD的面積是36 cm2，在邊AB、 AD上分別取點E、F，
使得AE = 3EB，DF = 3AF， DE與CF的交點為O
B ，計算△FOD的面積是多少平方cm2？
E解：如圖，連結OA、OB，設S∆FOD = x，
O3
S∆OBE = y，則S∆AOD = x，S∆AOE = 3y
2AF ，S∆AOB = 4y。S∆CDF =
CD1121
FD⋅CD = ⋅AD⋅CD = SABCD = 12， 2233113327
AE⋅AD = ⋅AB⋅AD = SABCD = 22482
S∆COD = 12－x，S∆DAE = 由S∆AOB + S∆COD = 又S∆AOE =
1
SABCD，得4x + 12 y = 18，即4 y − x = 6⋅⋅⋅⋅⋅(1) 2
327
− x = 3y， 即x + 2y = 9⋅⋅⋅⋅⋅ (2) 22
由(1)(2)得x = 4 ⇒ S∆FOD = 4 (cm2)
例15.已知∆ABC中，AB = AC = 12厘米，∆ABC的面積是42平方厘米
A ，P是BC上任意一點，P到AB、AC的距離是x和 H y，求 x + y的值？
解：如圖，設PD = x，PE = y，用CH⊥AB，
hEDxyBPC1
連結PA，因CH⋅AB=42，故CH=7，又S∆PAB + S∆PAC = S∆ABC ，即
2
111
⋅x⋅AB + ⋅y⋅AC = ⋅CH⋅AB ∴ x + y = CH = 7(厘米) 222
例16.∆ABC是一個直角三角形，ABED和BCGF是 正方形，AG、BC交於H，DC、AB交於K
DAK ，求證：BK = BH 証：因S∆KBE = S∆KBD，故
EBFHCG S∆KCE = S∆KBE + S∆KBC = S∆KBD + S∆KBC = S∆CBD = S∆ABC 同理S∆AHF = S∆ABC，於是S∆KCE = S∆AHF，
11
即⋅BK⋅EC = ⋅HB⋅AF，又EC = AF，故BK = BH
22
例17.如圖，矩形ABCD中，E、F分別是AB、BC
DbCy 邊上任意兩點，求證：矩形ABCD的面積SABCD 滿足SABCD = 2 S∆ABC + AE⋅CF
証：設AD = A，CD = b，AE = x，CF= y，
aFAxEB1
則SABCD = S∆DEF + S∆ADE + S∆CDF + S∆BEF = S∆DEF + [Ax + by + (A − y)(b − x)]
2
= S∆DEF+
111
(Ab + xy) = S∆DEF +SABCD + AE⋅CF 222
∴2SABCD = 2 S∆DEF + SABCD +AE⋅CF，即SABCD =2 S∆ABC + AE⋅CF
例18.如圖ABCD為任意四邊形，M、N，分別為AD、BC
DMQP 中點，MB交AN於P，MC交DN於Q，若四邊形 ABCD的面積為150，四邊形MPNQ的面積為50 ，求四個三角形∆APM、∆DQM、∆BNP和∆CQN 的面積和為多少？說明你的理由
証：如圖，連結BD，則S∆MDB = S∆MAB，S∆NDB = S∆NDC BANC ∴ SMDNB =
1
SABCD =75，S∆MQD + S∆BNP = SMDNB – SMQNP = 75 − 50 = 25， 2
同法可以求得S∆MAP + S∆CQN = 25 ∴陰影部分面積為25 + 25 = 50
C例19.如圖P是∆ABC內一點，DE//AB，FG//BC，
G HI//CA，DE，FG，HI都過P點，SGPHC = 30 ，SDPIA = 20， SPEBF = 12，求(1) AI：IF：FB
HDEBAIF (2) ∆ABC的面積？
解：如圖，設∆GDP的面積為x，∆HPE的面積為y，∆PIF的面積為z。
連接PA、PB、PC ∵ S∆DGP ⋅S∆PHE = S∆CGP⋅S∆CHP ⇒ xy = 152，
同理yz = 62，zx = 102 ⇒ xyz = 900 ∴ x = 25，y = 9，z = 4 (1) AI： IF：FB= S∆API： S∆PIF：S∆PFB = 10：4：6 = 5：2：3 (2) S∆ABC = 30 + 20 + 12 + 25 + 9 + 4 = 100
例20.如圖，CD//AF，∠CDE = ∠BAF，AB⊥BC
CDE ，∠C = 124，∠DEH = 80°，求∠F的度數？ 解：如圖，延長CD與FE的延長線交於H，
BGAF0
H 延長CB與FA的延長線交於G ∵CD//AF ∴∠G = 180° − 124° = 56°
∠BAG = 180° − 90° − 56° = 34°，已知∠CDE = ∠BAF ∴∠HDE = 34° ∠H = 180°−100° − 34° = 46° ∴ ∠F = 180° − 46° = 134°
例21.銳角三角形的內角用度數表示時，所有角的度數為正整數，
1
最小角的度數是最大角度數的，求滿足此條件的所有銳角的
4
三角形的內角度數？
解：設銳角三角形最小角的度數為x，則最大角度數為4x，另一角為y，
x+4x+y=1800, (1)
x≤y≤4x, (2) 由(1)(2)得20° ≤ x ≤ 30°， 4x<900, (3)
⇒
由(3)得x < 22.5°，故20° ≤ x < 22.5°，又x為正整數，
故x = 20°、21°或22° ∴ 滿足條件的銳角三角形的內角的度數為 (200，80°，80°)， (21°，75°，84°)或(22°，70°，88°)
例22.∆ABC的面積是1cm2，如圖所示，AD = DE = EC， ADE BG = GF = FC，求陰影四邊形的面積？ 解：我們先計算∆BNG的面積：如圖，連結CN，
設S∆BNG = x，則S∆CNG = 2x，
B S∆CNB = 3x因S∆ABN：S∆CNB = AE：EC = 2：1
故S∆ABN = 6x，S∆ABG = 7x，於是7x =
11，x = 321
GFC 連結CP，設S∆CPF = y，則S∆BPF = 2y，S∆CPB = 3y，
∵ S∆ABP：S∆CPB = AE：EC =2：1，故S∆ABP = 6y，S∆ABF = 8y， ∴ 8y =
例23.已知:在四邊形中，AD//BC，對角線的垂直 A 平分線分別與直線AD、BC交於E、F，
EDOBFC215，y = ，SPNGF = 2y − x = (cm2) 31242
求證：四邊形AFCE是菱形 證：∵ AD//BC
∴
EO∆ACE∆AFEAO = = = = 1
∆ACF∆CFEFOCO
又由AC⊥EF，得AC與EF互相垂直平分 ∴ 四邊形AFCE是菱形
例24.一個多邊形的內角和是它的外角和的994倍，此多邊形的內角中
至多有幾個銳角？
解：設這個多邊形至多有3個銳角，如果它至少有4個銳角，那麼這4個
銳角的外角就都是鈍角了，它們的和大於360，這與多邊形的外角和 是360是矛盾的。又只有3個銳角的1990邊形是存在的，下面我們 給出一種作圖的方法：
如圖，先作出等邊∆ACE，然後作 ∠CAB = ∠ACB = ∠EAF = ∠AEF = ∠CED = ∠ECD = 100， 顯然六邊形ABCDEF僅有3個銳角 在FA，FE上各取一點G、H，
AGBFHCED 連結GH，顯然七邊形ABCDEFG僅有3個銳角，仿此，我們可以作
出八邊形，九邊形，….，1990邊形僅有3個銳角。
例25.求證：等邊凸n邊形內部任一點至各邊距離之和相等 證：設P為邊長為A的多邊形內一點，P到各邊的距離
分別為h1，h2，…，hn，
n邊形面積為S，連結點P至各頂點的線段分 n邊形為n個三角形，則 111
S = Ah1 + Ah2 + … + Ahn
222
A4PhnA1h1h2A2AnA3 =
1
A(h1 + h2 + … + hn)， ∵ S為定值 2
∴h1 + h2 + … + hn為定值
2S a
例26.多邊形的每一個內角都等於 150°，求內角和
解一：設此多邊形的邊數為n ∵ n邊形有n個內角，且都相等 ∴ n邊形內角和為 n × 150° ∵ ( n - 2 ) × 180 = n × 150 ⇒ n=12 ∴內角和為 n × 150° = 1800°
解二：設邊數為n ∵每個內角都是150° ∴每個外角都是30° ∴ n × 30 = 360 ⇒ n =12 ∴ 內角和為 n × 150° = 1800°
例27.如圖，已知矩形ABCD，延長CB到E使CE = CA，
F是AE的終點，求證：BF⊥FD
GFAD證：如圖，F是AE的中點，將BF延長DA交於G，
則BF = FG，AG = BE
EBC ∴DG = CE = CA = BD ⇒ F是等腰∆DGB底邊中點 ∴DF⊥BF
例28.求證:等角凸多邊形內部任一點到各邊距離之和相等 證：多邊形A1A2…An是等角凸多邊形，如圖所示，
B4A4A3B3 在其外部做一分別與其各邊平行的正多邊形 B1B2…Bn，設P是多邊形A1A2…An內任 一點，P到多邊形A1A2…An各邊的距離 分別為h1，h2，…，hn，P到正多邊形 B1B2…Bn各邊的距離分別為d1，d2，…，dn ，各對應的平行邊之間的距離分別為 l1，l2，…，ln ，由例24的結論知
而h1 = d1 − l1，h2 = d2 − l2，…，hn = dn − ln，故
BnAnhnlnA1B1h1l1h2l2A2B2 d1 + d2 + … + dn為定值，又l1，l2，…，ln 為定值，
h1 + h2 + … + hn = ( d1 + d2 + … + dn) − (l1 + l2 + … + ln)為定值
例29.如圖，已知梯形ABCD，AB//CD，AE⊥DC，
AB AE = 12，BD = 15，AC= 20，求S梯形ABCD =？ 解：做AB//FC，BD = 15 ∵FD = AB，
AF = BD = 15FC = AB + DC F ∴AE⊥FC，AE = 12，AC = 20， ∵FE = ∴EC =
AF−AE = 152−122 = 9 AC−AF =
2
2
2
2
DEC202−122 = 16
∴AB + DC = FC = FE + EC = 16 + 9 = 25 ∴S梯形ABCD =
11
(AB + DC)⋅AE = × 25 × 12 = 150 22
例30.如圖，已知平行四邊形ABCD的四個內角的分角線
A 交於E、F、G、H，求證：EG = HF 證：□ABCD是平行四邊形 ∴ AD平行BC
DHEFCGB11
BH平分∠ABC ∴∠BAE + ∠ABE = ∠DAB + ∠ABC
22
=
∠DAB + ∠ABC = 180° AF平分∠DAB，
11
(∠DAB + ∠ABC) = ×180° = 90° ∴∠HEF = ∠AEB = 90° 22
同理可證∠EFG = ∠FGH = 90° ∴四邊形EFGH是矩形 ∴ EG = HF
例31.已知：如圖，∆ABC中 ，AD為中線，過B的直線交於F，
A24 交AC = EF於E，且AE求證：BF = AC 證：如圖，取EC中點M，連結DM，則BE = 2DM，
EM13FC DF//EF ∵ AE = EF AM = DM ∴BF = BE − EF = 2DM − AE
BD = 2AM − AE = AM + EM =AM + MC = AC
例32.凸四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，求證：
ADE
1
(AB + BC + CD + DA) < AC + BD 2
< AB + BC + CD + DA 證：如圖，設E為AC、BD交點
∵2(AC + BD) = (AE + BE) + (BE + CE) B + (CE + DE) + (DE + AE) > AB + BC + CD + DA 1
∴(AB + BC + CD + DA) < AC + BD.
2 ∵AB + BC > AC，CD + DA > AC ∴AB + BC + CD + DA > 2AC 同理，AB + BC + CD + DA > 2BD， ∴2(AB + BC + CD + DA) > 2AC + 2BD ∴AC + BD < AB + BC + CD + DA
C例33.如圖，已知梯形ABCD中，AD//BC，E、F
AED 分別為AD、BC中點，∠B + ∠C = 90°，求證： EF =
1
(BC − AD) 2
BM1F2NC証：如圖，作EM//AB 交BC於M，作EN//DC交於N。
∴ ∠1 = ∠B，∠2 = ∠C ∵∠B + ∠C = 90°，∠1 + ∠2 = 90° ∴∠MEN = 90° 又∵ AD//BC ∴BM = AE，ED = NC ∵ E、F分別為AD、BC中點 ∴ BM = AE = ED = NC ，BF = FC ∴ MF = FN ∴ EF = =
例34.如圖所示，五邊形ABCDE的每條邊所在的直線 111
MN = (BC − BM − NC) = (BC − AE − ED) 2221
(BC − AD) 2
A11 沿該邊垂直方向向外平移4個單位，得到新的 五邊形A1B1C1D1E1圖中五塊陰影部分能 FB15 拼成一個五邊形嗎？說明理由 BP解：∵ BF = AG = AH = EI = EK = DL = DM = CN = BP = 4， ∠BFB1 = ∠AGA1 = ∠COC1 = ∠BPB1 = ∠DMD1
CO4C1NGHIEDLMD132AE1K = ∠CNC1 = ∠EKE1 = ∠DLD1 = ∠AHA1 = ∠EIE1 = 90°
(∠A1 + ∠B1 + ∠C1 + ∠D1 + ∠E1 ) + (∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5) = 5×180° 而∠A1 + ∠B1 + ∠C1 + ∠D1 + ∠E1 = 3×180° ∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 2 × 180° = 360° 故圖中五塊陰影部分能拼成一個小五邊形(如圖)
例35.已知：如圖，為∆ABC外一直線，D、E、F分別
15432CFD 是三邊中點，AA1⊥L於A1，FF1⊥L於F1， DD1⊥L於D1，EE1⊥L於E1。求證： AA1 + EE1 = FF1 + DD1
EBAA1F1D1C1E1B1L証：如圖作CC1⊥ L 於C1，BB1⊥ L 於B1
∵ AA1⊥ L，FF1⊥ L，AA1//FF1//CC1。∵ F為AC中點， F1為A1C1中點 ∴ FF1為梯形AA1CC1的中位線。 ∴ FF1 = DD1 =
1
(AA1 + CC1)。同理 2
11
(AA1 + BB1)，EE1 = (CC1 + BB1) 22
∴ FF1 + DD1 =
11
(AA1 + CC1) + (AA1 + BB1) = AA1 + EE1 22
例36.平面上有A、B、C、D四點，其中任意三點不共線，
求證：∆ABC，∆ABD，∆ACD，∆BCD中， 至少有一個三角形的內角不超過45° 證：如果D點在∆ABC的外部(如圖(1))，
CD ABCD是一個凸四邊形，則
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB=3600 ，所以這四個角中必有一個不大於90° ，不妨設∠ABC ≤ 90°，於是∠ABD與 ∠DBC中必有一個不大於45°。
如果D點在∆ABC的內部，ABCD是一個 凹四邊形，則∠ABC + ∠BAC + ∠ACB =180° ，所以這三個角中必有一個不大於60°， 不妨設∠ABC ≤ 60°，於是∠ABD與∠DBC 中必有一個不大於30°，當然也不大於45°
例37.建築物的地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案，使用某些正多
A(圖 1) BCDAB(圖 2) 邊形，就能夠拼成一個平面圖形，既不留下空隙，也不會重疊。這顯然 與正多邊形的內角大小有關。當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角 加在一起恰為360°時，就拼成了一個平面圖形。 (1)根據下列圖形，填寫表中空格：
正多邊形邊數 正多邊形每個內角的度數
3
4
5
6
… …
n
(2)若限於用一種正多邊形，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形？ (3)從正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，再從其他正多邊形中選一種 ，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形；並找出這兩種 正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說明你的理由。 解：(1) 60，90，108，120，…，
(n−2)
× 180°； n
(2)設正n邊形能鑲嵌成一個平面圖形，在一個底頂點周圍有m個正 (n−2)⋅180
。 m = 360，即mn = 2n + 2m n邊形的內角，則有
n
∴
m=6m=4m=3111
+ = ，其正整數解為；；。
n=3n=4n=6mn2
∴ 正三角形，正方形，正六邊形能鑲嵌成一個平面圖形。 (3)如正方形和正八邊形，設在一個頂點周圍有個 m正方形的角，n個正八邊形的角，則m、n 是 m⋅90° + n⋅135° = 360° 的正整數解，即 2m + 3n = 8 的正整數解。解之得：m = 1， n = 2，故符合條件的圖形只有一個。
例38.已知四邊形ABCD，若AB = CD，∠BAD = ∠BCD，則
四邊形ABCD是不是平行四邊形？ 解：不一定，反例如下：
作法：(1)作一個平行四邊形PQDT，以D為圓心，AB為半徑畫弧Γ
(2)在弧Γ上取一點C，使∠DCB = ∠DTB交PT於B P (3)過B作AB//PQ交QD於A，則四邊形ABCD 即為所求
證明：∵∠BAD = ∠PQD = ∠DTP = ∠BCD，
BCT AB = PQ = DT = CD，但AD ≠ BC ∴ 四邊形ABCD不是平行四邊形 參考資料
QAD1. 紅樓精英教育學會幾何專題(2) 2. 初中數學競賽教程(九章出版社)
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