大物等压过程例题

等压过程的特征是系统的压强保持不变，即P为常量，dP=0．设想气缸连续地与一系列有微小温度差的恒温热源相接触，同时活塞上所加的外力保持不变．那么接触产生什么效果呢？就是将有微小的热量传给气体，使气体温度稍微升高，气体对活塞的压强也随之较外界所施的压强增加一微量，于是稍微推动活塞对外做功．由于体积的膨胀，压强降低，从而保证气体在内、外压强的量值保持不变的情况下进行膨胀．所以这一准静态过程是一个等压过程（isobaric process），如图1所示．

图 1：气体的等压过程

现在我们来计算气体的体积增加 dV 时所做的功 dW．根据理想气体状态方程，如果气体的体积从 V 增加到 V+dV，温度从 T 增加到 T+dT，那么气体所做的功 dW=PdV=mMRdT(1)

图 2：等压过程中功的计算

根据热力学第一定律，系统吸收的热量为

dQP=dE+m/MRdT(2)式中，下角标 P表示压强不变．当气体从状态 I(P,V1,T1)I(P,V1,T1) 等压地变为状

态 II(P,V2,T2)II(P,V2,T2) 时，气体对外做功为 W=∫V2V1PdV=P(V2−V1)(3)或写成

W=∫T2T1mMRdT=m/MR(T2−T1)(4)所以，整个过程中传递的热量为 QP=E2−E1+m/MR(T2−T1)(5)

气体在等压膨胀过程中，所吸收的热量的一部分用来增加内能，另一部分用于气体对外做功；气体在等压压缩过程中，外界对气体做功，同时内能减小，其和等于放出的热量．

我们把 1mol 气体在压强不变的条件下，温度改变 1K1K 所需要的热量叫做气体的摩尔定压热容（molar heat capacity at constant pressure），用 CP,mCP,m 表示，即 CP,m=dQPm/MdT(6)根据这个定义可得 dQP=m/MCP,mdT(7)又因

E2−E1=m/MCV,m(T2−T1)(8)我们得到 CP,m=CV,m+R(9)

式 9 叫做迈耶（J. R. Meyer）公式．它的意义是，1mol1mol 理想气体温度升高 1K1K 时，在等压过程中比在等体过程中要多吸收 8.31J8.31J 的热量．这部分热量去哪了呢？当然是转化为对外所做的膨胀功．由此可见，普适气体常量 RR 等于 1mol1mol 理想气体在等压过程中温度升高 1K1K 对外所做的功．因 Cv,m=iR/2Cv,m=iR/2，从式 9 可知 CP,m=i2R+R=i+22R(10)

摩尔定压热容 CP,mCP,m 与摩尔定容热容 CV,mCV,m 之比，用 γγ 表示，叫做[摩尔]热容比（ratio of [molar] heat capacity）或绝热指数，于是 γ=CP,mCV,m=i+2i(11)

根据式 11 不难算出：对于单原子分子气体，γ=5/3≈1.67γ=5/3≈1.67；双原子刚性分子气体 γ=1.40γ=1.40；多原子刚性分子气体 γ≈1.33γ≈1.33．它们也都只与气体分子的自由度有关，而与气体温度无关．

无论是定压热容，还是定容热容，它们的共同特点是体现了使物体温度发生变化的难易程度，热容大的物体同样升高1K，所需要的热量也多，这说明温度不易变化，所以物体的热容是其热惯性的量度．

我们来看几个例题加深一下对内容的理解． 例 1 温度计

用作测温的温度计，为了能和被测物体迅速达到热平衡，它的热容必须很小． 例 2 氮气加热

一气缸中贮有氮气，质量为 1.25kg1.25kg，在标准大气压下缓慢地加热，使温度升高 1K1K．试求气体膨胀时所做的功 WW、气体内能的增量 ΔE 以及气体所吸收的热量QP．（活塞的质量以及它与气缸壁的摩擦均可略去）． 因过程是等压的，所以

W=m/MRΔT=1.250.028×8.31×1J=371J(12)(12)W=m/MRΔT=1.250.028×8.31×1J=371J 而因为氮气的 i=5i=5，所以

CV,m=i2R=20.8J/(mol⋅K)(13)(13)CV,m=i2R=20.8J/(mol⋅K) 于是

ΔE=mMCV,mΔT=1.250.028×20.8×1J=929J(14)(14)ΔE=mMCV,mΔT=1.250.028×20.8×1J=929J

所以，气体在这一过程中所吸收的热量为 QP=E2−E1+W=1300J(15)