傅里叶变换基础知识

傅里叶变换基础知识

1. 傅里叶级数展开

最简单有最常用的信号是谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线性叠加而成。

1.1 周期信号的傅里叶级数

在有限区间上，任何周期信号x(t)只要满足狄利克雷（dirichlet）条件，都可以展开成傅里叶级数。

1.1.1 狄利克雷（dirichlet）条件

狄利克雷（dirichlet）条件为：

（1）信号x(t)在一个周期内只有有限个第一类间断点（当t从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值）；

（2）信号x(t)在一周期内只有有限个极大值和极小值；

（3）信号在一个周期内是绝对可积分的，即T0/2T0/2x(t)dt应为有限值。

1.1.2 间断点

在非连续函数yf(x)中某点处x0处有中断现象，那么，x0就称为函数的不连续点。 （1）第一类间断点（有限型间断点）：

a. 可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义（x0令分母为零时等情况）；

b. 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（yx/x0在点x0处等情况）。 （2）第二类间断点：除第一类间断点的间断点。

1.1.3 傅里叶级数三角函数表达式

傅里叶级数三角函数表达式为

式中：a0为信号的常值分量；an为信号的余弦信号幅值；bn为信号的正弦信号幅值。

a0、an、bn分别表示为：

式中：T0为信号的周期；0为信号的基频，即角频率，02/T0，n1,2,3...。 合并同频项也可表示为

式中：信号的幅值An和初相位n分别为

1.1.4 频谱的相关概念

（1）信号的频谱（三角频谱）：构成信号的各频率分量的集合，表征信号的幅值和相位随频率的变化关系，即信号的结构，是An（或Anf）和n（或nf）的统称；

（2）信号的幅频谱：周期信号幅值An随（或f）的变化关系，用An（或Anf）表示；

（3）信号的相频谱：周期信号相位n随（或f）的变化关系，用n（或nf）表示；

（4）信号的频谱分析：对信号进行数学变换，获得频谱的过程； （5）基频：0或f0，各频率成分都是0或f0的整数倍； （6）基波：0或f0对应的信号； 1

1

（7）n次谐波： n0(n2,3,...)或nf0(n2,3,...)的倍频成分Ancosn(0tn或)Ancos(2nf0tn)；

1.1.5 周期信号的傅里叶级数的复指数函数展开

根据欧拉公式ejt1cost(ejtejt)2costjsint(j1)，则 1jtsintj(eejt)2因此，傅里叶级数三角函数表达式x(t)a0ancosn0tbnsinn0t可改写成

n1令 则 或

这就是周期信号的傅里叶复指数形式的表达式。

2T0/2anTT0/2x(t)cosn0tdt110将代入Cnanjbn，则CnT/2T02b20x(t)sinntdtn0T0T0/2在一般情况下Cn是复数，可以写成CnCnRjCnICnejn 式中

由CnCnRjCnICnejn，Cn则x(t)T0/2T0/2x(t)ejn0tdt

11anjbn，Cnanjbn可表示为 22nCenjn0t n0,1,2, 变为

jn0tn由此可见，周期信号用复指数形式展开，相当于在复平面内用一系列旋转矢量C0e描述，但是，负频率的出现，仅仅是数学推导的结果，并无实际物理意义。

来

1.1.6 傅里叶级数的复指数与三角函数展开关系

由Cn1anjbn，CnCnRjCnICnejn可知： 22222综合Anan，CnCnR表示为 bnCnI即双边频谱的幅值Cn是单边频谱幅值An的一半。

由narctan三角函数展开 常值分量 余弦分量幅值 正弦分量幅值 振幅 相位 CnI，CnRan/2，CnIbn/2可知： CnR表达式 复指数展开 复指数常量 复数Cn的实部 复数Cn的虚部 复数Cn的模 相位 表达式 1

1

2 傅里叶变换

出准周期函数之外的非周期信号称为一般周期信号，也就是瞬态信号。瞬态信号具有瞬变性，例如锤子敲击力的变化、承载缆绳断裂的应力变化、热电偶插入加热的液体中温度的变化过程等信号均属于瞬态信号。瞬态信号是非周期信号，可以看作一个周期的周期信号，即周期

T。因此，可以把瞬态信号看作周期趋于无穷大的周期信号。

2.1 傅里叶变换

设有一周期信号xt，则其在T/2,T/2区间内的傅里叶级数的复指数形式的表达式为

x(t)式中

nCenjn0t，

,；谱线间隔02/T0d， 当T0时，积分区间T/2,T/21离散频率n0连续变量，所以CnT0T0/2T0/2x(t)ejn0tdt变为

该式积分后将是的函数，且一般为复数，用Xj或X表示为

式中：Xj称为信号x(t)的傅里叶积分变换或简称傅里叶变换（Fouier Transform，FT），是把非周期信号看成周期趋于无穷大的周期信号来处理的，显然

即Xj为单位频宽上的谐波幅值，具有“密度”的含义，故把Xj称为瞬态信号的“频谱密度函数”，或简称“频谱函数”。

由XjlimCnT0limT0Cn得 f0f代入x(t)nCenjn0t得

当T0时，02/T0d， 离散频率n0连续变量，求和积分。则

xt称为Xj的傅里叶逆变换或反变换（Inverse Fourier Transform，IFT）。

Xjxtejtdt和xt12Xjejtd构成了傅立叶变换对

FT一般地，使用或表示信号之间的傅立叶变换及其逆变换之间的关系。由于2f，

IFT所以Xjxtejtdt和xt1Xjejtd可变为 2这就避免了在傅里叶变换中出现1/2的常数因子，使公式形式简化。

由式Xjfxtej2ftdt可知，非周期信号能够用傅里叶函数来表示，。而周期信号可

 1

1

由傅里叶级数x(t)nCnejn0t来表示。Xjfxtej2ftdt是一般复数形式，可表示为

式中：ReXjf为Xjf的实部；ImXjf为Xjf的虚部；Xjf频谱；jf为信号xt的连续相频谱。

为信号xt的连续幅

比较周期信号和非周期信号的频谱可知：首先，非周期信号幅值Xjf随f变化时连续的，

即为连续频谱，而周期信号的幅值Cn随f变化时离散的，即为离散频谱。其次，Cn的量纲和信号幅值的量纲一致，而Xjf函数”。

的量纲相当于Cn/f，为单位频宽上的幅值，即为“频谱密度

2.2 傅里叶变换的主要性质

一个信号可以进行时域描述和频域描述。两种描述通过傅里叶变换来确立彼此一一对应的关系，因此，熟悉傅里叶变换的一些主要性质十分必要。

性质 函数的奇偶虚实性 线性叠加 对称 续尺度改变 时移 频移 时域卷积 频域卷积 时域微分 频域微分 积分 时域 实偶函数 实奇函数 虚偶函数 虚奇函数 频域 实偶函数 虚奇函数 实偶函数 实奇函数 2.3 几种典型信号

（1）举行窗函数

（2）单位脉冲函数（函数） （3）正、余弦信号 （4）一般周期信号 （5）周期单位脉冲序列

1