周世勋量子力学习题答案(七章全)

1.1 由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长

m与温度T成反

比，即

mTb （常数）

，并近似计算b的数值，准确到二位有效值。

[解]：由黑体辐射公式，频率在与d之间的辐射能量密度为

8h31dc3hdekT1

由此可以求出波长在与d之间的能量密度()d 由于 c/, dc2d

因

而

有

()d8hc15hcdekT1

xhc令

kT

518k5T5A所以有： ()Axex1 （

h4c4常数） d()由 d0 有

d()dA41x5exdx5xex1(ex1)2d0

(1x)ex于是，得：51

该方程的根为 x4.965

hc因此，可以给出，mTxk0.2014hck

即

mTb （常数）

6其中 b0.2014hc.6255910342.997925108k0.20141.3805461023

：

2.898103mk

[注]

根据

8h3c3x1ehkT1 可求能量密度最大值的频率：

令

hkT

38k3T31A32Axxch） e1 （dd1dx[Ax3x]0ddxe1d

xx1e13因而可得 

此方程的解 x2.821

maxkTxkT2.821hh

1Tmaxb

maxbTk1.3805461023b2.8212.821h6.625591034 其中

5.878109ks1

这里求得

1.2 在0k附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。

max与前面求得的max换算成的m的表示不一致。



[解] 德布罗意公式为

hp

p2E2 因为价电子能量很小，故可用非相对论公式

代入德布罗意公式得 这里利用了电子能量 E数值代入后可得

hh2E2eV

eV。将普朗克常数h，电子质量和电子电量电e的

=取V

h12.250=A2EV

0=3，上式给出 =7.08A

1.3 氦原子的动能长。

E3kT2（k为玻耳兹曼常数）, 求T=1k时, 氦原子的德布罗意波

[解] 当T1k时，氦原子的动能

E3k2

氦原子是由两个质子、两个中子以及两个电子组成，其质量

2mp2mn2me

2(mpmnme)2(mpmn)2(1.672521.67482)1027kg 6.69471027kg

所以氦原子在T1k时的德布罗意波长

h2E6.625591034m326.694710271.3805410232

1.258109 (m)12.58A

1.4. 利用玻尔——索末菲的量子化条件求：

（1）一维谐振子的能量；

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 [解] （1）方法一：量子化条件

pdqnh，一维谐振子的能量为

p21E2q222

可化为

p22E2q22E221

上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。两半轴分别为

a2E，

这个椭圆的面积为

b2E2

pdqab2E方法二：一维谐振子的方程为

2E22EEnhv

故 Enhv，该式表明，一维谐振子的能量是量子化的。

2q0 q其解为 qAsin(t)

dqAcos(t)dt

Acos(t) 而 pqpdqA22T0cos(t)dt2A222TA222vnh

p21A222cos2(t)122Eq2A2sin2(t)2222而

12A2nhv2

（2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心力，于是有

e2HcR

故

RceH

这时因为没有考虑量子化，因此R是连续的。

应用玻耳—索末菲量子化条件

pdqnh

把电子作圆周运动的半径转过的角度作为广义坐标，则对应的广义动量为角动量

PH122R2RR2

20PdRd2R2eH2Rnhc

Rnhc2eHnceH

其中

h2， 可见电子轨道的可能半径是不连续的。

讨论：①由本题的结果看出，玻尔—索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化的要求是一

致的。

②求解本题的（1）时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一）只在比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。而方法（二）虽然比较麻烦，但更有一般性。

1Ennhv2相比较，我们③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量

发现由玻尔—索末菲量子化条件不能得出零点能

E01hv2。但能级间的间隔则完

全相同。前一事实说明玻尔理论的不彻底性，它是经典力学加上量子化，它所得出的结果与由微观世界所遵从的规律——量子力学得出的结果有偏离就不足为奇了，这也说明旧量子论必须由量子力学来代替。

1neBdE动ma222m dt ④

2而

E动eBMBB2m

根据统计物理学中的能均分定理，考虑到电子限制在平面内运动，自由度为2，所以电子在温度T4k和T100k条件下的热运动能分别为：

E1kT4k41.3805410235.5221023 joul E2100k1.380541021 joul

24M910B10B又将 特拉斯 joul/特拉斯 代入（4）式

E动109102491023

joul

比较以上的计算结果可知：按经典统计理论计算较底温度下电子的能量与按旧量子理论计算的结果在数量级上非常接近，但在OK附近或较高温度下，经典统计理论计算的结果与旧量子理论计算的结果相差甚远。

1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等。问要实现这

种转化，光子的波长最大是多少？

mc[解] 由能量守恒定律，光子的能量h转化为电子的静止能量e

2hmec2

me为电子的静止质量

34h6.6255910mec9.110312.998108m

c2.431012m2.43102A

第二章 波函数和薛定谔方程

2.1 证明在定态中，几率流密度与时间无关。

[证]：在定态中，波函数可写成：(r,t)(r)eit*(r,t)(r)e并由此有：

*EEit

ij[(r,t)*(r,t)(r,t)(r,t)]2代入几率流密度的定义式 ij[(r)*(r)*(r)(r)]2则有： 即 j仅是空间坐标(x,y,z)的函数，与时间无关。

2.2 由下列两定态波函数计算几率流密度。

（1）

1eikr1r （2）

2eikr1r

从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内（即向原点）传播的球面波。

[解] 因

1eikr1r，

1*eikr1r

1r1r**1ik11ik1rr rr 则

ij[11*1*1]2所以

上述结果说明j的方向沿矢经r的方向，即几率沿r方向向外流动，所以1表示向外

传播的球面波。

i1r1r**ikik11112rrrr

krr3

krj3r（2） 与（1）类似，求得

此结果表明j的方向沿矢经r的负方向，即几率流流向原点，所以2表示向内传播的

球面波。

2.3 一粒子在一维势场

U(x)0x00xaxa

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 [解]：由于势函数U(x)不随时间变化 体系的状态波函数满足定态Schrödinger方程

0ax22(x)U(x)(x)E(x)2m 其中m表示粒子的质量。

2d2(x)U0(x)E(x)(U) (x0,xa) 2mdx2 02d2(x)E(x)2mdx2 0xa 2mE2 令

22m(U0E)02

（1）

d2(x)2(x)02dx (x0,xa) d2(x)2(x)02dx (0xa)

（2）

（3） （4）

(x)ex x0

(x)ex xa

（5） （6）

(x)AsinxBcosx 0xa

当

U0时，，由（4）式和（5）式有

（7）

(x)0 (x0,xa)

根据波函数的连续性，（6）式和（7）式所表示的波函数分别在x0和xa处连续：

(0)B0

(a)AsinaBcosa0

由此得 A0 sina0

an n1,2,3,

na

代入（1）式中的第一式，可得体系的能量：

n222E2ma2 n1,2,3,

即粒子在势阱中运动的能量只能取分立值，对应的波函数：

n(x)Asinnxa

由波函数的归一化条件

*(x)(x)dx1A，求得

2a



n(x)2nsinxaa

1a

A2.4 证明（2.6—14）式中的归一化常数

[证] 已知（2.6—14）式的形式

n(xa)Asin2an(x)0由波函数的归一化条件

xaxa

dx12，有：

Asin2aan(xa)dxaA212a

A所以

1a

2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置

[解] 由谐振子状态波函数

n(x)en2n!1/22x22Hn(x)

得到振子在点x处出现的几率密度

n(x)(x)2x2eH(x)nn2n!

2当n1时，H1(x)2x

1(x)23x2e22x

1d1(x)x0x ， or 由 dx 有

x即振子处在第一激发态时几率最大的位置

 2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(x)U(x)，试证明粒子的定态波

函数具有确定的宇称。

[证]：由于势函数U(x)与时间t无关，粒子的波函数(x)满足定态Schrödinger方程：

2d2(x)U(x)(x)E(x)22dx

其中是粒子的质量。将空间反演：xx

（1）

2d2(x)U(x)(x)E(x)2dx2

因为 U(x)U(x) 所以（2）式可以写成

（2）

2d2(x)U(x)(x)E(x)2dx2

（3）

(x)和(x)都是体系哈密顿算符本征方程属于同一本征值E的解，描写同一因而，

个状态，它们之间只可能相差一常数

(x)(x)

引入空间反演算符，写成：

ˆ(x)(x)(x)I

空间再反演一次，有

ˆ2(x)2(x)(x)(x)2(x) 写成：I

2则有 1 或 1

所以 (x)(x) （对称的，即具有偶宇称） (x)(x) （反对称的，即具有奇宇称）

由此证得在一维势场中运动的粒子，当U(x)U(x)时，粒子的波函数具有确定宇称。

U(x)U0Ⅱ I III 2.7 一粒子在一维势阱

U00U(x)0运动，求束缚态（

xaxa

a a 0EU0）的能级所满足的方程

[解] 因U(x)与时间无关，体系的波函数(x)满足定态Schrödinger方程：

d2(x)22[EU(x)](x)0dx2

d22(x)E(x)022xadx即

d22(x)(U0E)(x)022xadx

令 在

22E2(U0E)22 2

0EU0的情况下，，均为实数。以上方程可简写成

d2(x)2(x)02xadx d2(x)2(x)02xadx

方程的解为：

1(x)Asin(x)(x)2(x)Bexx(x)ce3xaxaxa

d(x)由波函数(x)及其一阶微商dx，在xa，xa处连续，即

2(a)1(a)：BeaAsin(a)

3(a)1(a)： ceaAsin(a) (a)1(a)：BeaAcos(a) 2(a)1(a)ceaAcos(a)3：

由（1）、（3）两式，可得ctg(a) 由（2）、（4）两式，可得ctg(a)

比较（5）式和（6）式，ctg(a)ctg(a)

（1） （2） （3） （4） （5） （6）

aa2k k k0,1,2,

aa(2k1)0,2分别代入（5）式（或（6）式）

（7）

2(2k1) k0,1,2,

将

ctga (0)

tga

(2

)（8）

将、值代入（7）式和（8）式，则得到能量所满足的方程

ctga2EU0E2E 2EU0E2E

（9）

tga（10）

由此可见，体系的能量值由超越方程（7）和（8）（或（9）和（10））解出，它们可以用如下图解法求解，令

xaa2E2

（11）

yaa2(U0E)2

（12）

22Ex22a能级，就可以由以下曲线交点（如果有的话）获得，即分别求曲线方程组：

xctgxyxtgxy222U022U0222xyaxya22 或

在x0，y0区域内的交点，如下图所示：

从图可以看到，束缚态的数目随园

x2y2R2(R22U02a)的半径R增加而增

22aUaU0是有限的，则束缚态的数目0加，即随乘积（“势阱参量”）的增加而增加，如果

也是有限的。

NN1R22如果

[附]

(N0,1,2,3,)，则束缚态的数目是N1个

求对应的本征波函数，为此将0代入（1）、（2）式，有

BC

所以得到一组解

1(x)Asinx(x)2(x)Bexx(x)Be3xaxaxa

（13）

同理，将

代入（1）、（2）式，有BC，于是得到另一组解

xaxaxa

（14）

1(x)Acosx(x)2(x)Bexx(x)Be3第一组解是奇函数，第二组解是偶函数，因而体系的波函数具有确定宇称。这正是势场

U(x)U(x)所导致的必然结果。奇宇称解（13）对应由（7）式或（9）式确定的能 量E，

偶宇称解（14）对应由（8）式或（10）确定的能量E。

A、B为归一化常数，由归一化条件

(x)dx12确定。

2.8 分子间的范德瓦尔斯力所产生的势能可以近似地表示

U0U(x)U10x00xaaxbbx

U(x)U0求束缚态的能级所满足的方程。

[解]：由于势函数U(x)不显含时间，因而，体系的波函数满足Schrödinger方程

d2(x)2EU(x)(x)0dx2

代入势函数U(x)的形式，则

abxU1d2(x)dx22d(x)2dxd2(x)2dx2EU0(x)022EU1(x)022E(x)20xaaxbxa

考虑U1E0的情形，令

22U0E2EU12E2200012222，，

于是上述的微分方程组对写成

d2(x)2dx21(x)02d(x)2(x)022dxd2(x)2(x)0dx0xaaxbxb

求解以上方程，并考虑到在x0的区域内粒子出现的几率密度为零以及在x，粒子出现的几率为限值，于是粒子体系的波函数为

1(x)0x0(x)(x)Ae1xAe21x0xai3(x)Be2xBei2xaxb4(x)Cex

d(x)利用(x)及dx的连续性。

AA0Ae1aAe1aBei2aBei2aBei2bBei2bCebA1e1aAia1e1aiB2e2iB2ei2aiBi2ei2biB2e2bCeb A,A,B,B,C不全为零的条件是：

1100000ei2bei2beb00i2ei2bii2e2beb0e1ae1aei2aei2a01e1a1e1aiia2e2i2ei2a0

11ei2bei2bebei2bb1e1a1ai2ei2bi2ei2be11ii2a2eii2ae1ai2b2ei2e0e1aei2a2bib2shebi2ei2bi2eibe2ei2b1aii2a2eii2ae2eii2a2eiai2e

ibibi2b2b2eii22eei2b1ch1aeei2aei2aebeei2aei2a22sh1aei2(ba)ei2(ba)i2ei2(ba)ei2(ba)sh1a

ei2bii2b2eei2aebeb00

i12ch1aei2(ba)ei2(ba)1ei2(ba)ei2(ba)ch1a

22sh1asin2(ba)2sh1acos2(ba)12ch1acos2(ba) 1ch1asin2(ba)0

2tg2(ba)sh1a22tg2(ba)1ch1a

2tg2(ba)2th1a2tg2(ba)1or

在E0的情况下，体系处在非束缚状态，可以运动到无穷远处，因此体系的能量可以取大于零的任意连续值。

第三章 量子力学中的力学量

(x)3.1. 一维谐振子处在基态

（1）势能的平均值

1/22x2e1it22，求

U12x22;

p2T2; （2）动能的平均值

（3）动量的几率分布函数。

[解]：（1）

x2(x)x(x)dx*2x2e22xdx

221xe2x2e2x2dx

13222 2112x224

*2U（2）

p(x)p(x)dx2xe2x22xd22dxidx2e

22242(x2)e22243dx2

112222

T121p24

1ETV2能量的平均值： 1Enn2 由

1E02 令 n0 （基态）

由上可知，处于基态的振子能量算符本征值等于振子动能、势能在基态中的平均值之和。

p(x)e1/2(2)(x,t)（3）为了求动量的几率分布函数，将按平面波：

1ipx

(x,t)展开

1(2)1/21iC(p,t)eipxpxdp

C(p,t)(2)1/2(x,t)e1/2dx

2x22iPx12tee1/2(2)C(p)(2)1/21dC(p)idP1/2iedxC(p)eit2

1/2e2x22eipxdx

2xe2x22e22ipxdx

i21/21xiPx2e2e1/2ip2e2x22eipxdx

p222dC(p)C(p)p2e2x22eipxdxpC(p)22

2

dp

C(p)Aep222212AC(p)dp1由归一化条件 可求得归一化常数

1/2

1C(p)1/2ep2222

1/21C(p,t)ep2222eit2

 动量的几率分布函数：

(p)C(p,t)C(p)130ra0221ep222

(r,,)3.2．设氢原子处在

（1）r的平均值；

ae 的态，a0为玻尔半径，求

e2（2）势能r的平均值；

（3）最可几的半经 （4）动量的平均值 （5）动量几率分布函数。 [解] 先检验是否归一化。

12a022a02*dersindrdderdrsind300300a0a0

4a022a023erdr2er4rea0dr00a00a0

2r2r2r2r2r2rea02ra002a00e2ra0dre2ra001

这表明是归一化的。

（1）

r*rd13re30a02ra0drsind020d

2ra043a00r3e2ra02dr2r3ea02ra0022a00r2edr

362a06a032redr2a0a00a042

2re2e2e2*U(r)d3a0rr（2）

0re2ra0drsind020d

4e3a0eea0220re2ra02edr2rea022ra002e22a00e2ra0dr

2ra00e2a0

这个结果和旧量子论中，氢原子的电子沿波尔半径所规定的轨道运动时的库仑能一致。

12(r,,)(r,,)3a0（3）

2ra0e

因而几率的分布为球对称的，径向几率分布

4r2a04w(r)dr(r,,)r2ddra3edr00

dw(r)42r2a032redra0a0

dw(r)0dr令 ，即得最可几半径 ra0

2r2r1a0*12eˆpdT3a20（4）

2r22ea0d2

r2a230040era0r1d2da0er2rdrdr2rdrd

23a00r22ra02a0es2edr22a02a0 2res2E1TV2a0 处于基态的氢原子能量的平均值

es2E12En2222a0 2n 令n1 则有由

es4es4因此处于基态的氢原子能量本征值等于动能与势能在基态中的平均值之和。 （5）为求动量的几率分布函数，将(r,,)按平面波展开

1(r,,)21C(p)23/23/2iC(p)eprd

(r,,)eiprd

123/213a01/21/20020era0eiprcosr2sindrdd

213(2)3/2a0i13p2a01/200iipria0pr2eeerdrprr

1/21i1iapraprre0e0dr

i13p2a012a3011/21ip21ip2aa00

21/233a04/a011p223a3a2200624a20p222

w(P)3a023a2p20

3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是

JerJe0

Jeem2nlmrsin

[证] 已知氢原子状态波函数为

mnlmRne(r)Ylm(,)NlmRnl(r)P)eim l(cosiJ**2几率流密度

在球极坐标中

11ereerrrsin

JrJi**2rr

i2Ylm(,)Rnl(r)Rn(r)RnlRn(r)2rr0 i**2r

i2**Rnl(r)Ylm(,)Ylm(,)Ylm(,)Ylm(,)2r

i2mmm2mRnl(r)NlmP(cos)P(cos)P(cos)P(cos)llll2r

0 Ji*2*Rnl(r)Y(,)Y(cos)Y(,)Y(,)lmlmlmlm2rsin

i22Rnl(r)Ylm(,)(imim)2rsin

m2nlm(r,,)rsin JeJ由e 则有 JereJr0 JeeJ0

JeeJ

em2nlm(r,,)rsin

3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多园周电流组成的

（1）求一园周电流的磁矩 （2）证明氢原子磁矩为

rsinzme2MMzme2c原子磁矩与角动量之比为

ds(SI)(CGS)

Jex图 22

yeMz2Lze2c(SI)(CGS)

[解] （1） 作垂直于z轴，半径为rsin，截面为dsrddr的圆环，由于电流密度

J矢量e垂直于ds面，故园环电流

dIJedsjedsJerddr，由此求得一园周电流的磁矩 dMzr2sin2dIr3Jesin2ddr

emsinr2nlmddr2 （SI）

dMzMz2emsin2rnlmddrc

（CGS）

em（2）

em20rr0nlmr2sindrd2022

00nlmr2sindrdd2

em2nlmdem2

（SI）

Mzem2c

（CGS）

由于 Lzm 所以有

eMz2Lze

2c

（SI）

（CGS）

L2H2I，L为角动量，求与此对3.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是

应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。 （1）转子绕一固定轴转动 （2）转子绕一固定点转动

ˆiLz [解]：（1）

ˆL2z222

22ˆ2LˆzH2I2I2

22()E()2ˆ()E()H2I能量的本征方程： ，或

引入

22IE2

d2()2()02di()Ae

由波函数的单值性 (2)()

Aei(2)Aei  ei21

22n  n n0,1,2,

n22Enin2I，Ae

A其中

12

ˆ2LˆH2I，在球极坐标系中 （2）

211ˆLsin22sinsin

ˆ(,)E(,)H22体系的能量算符本征方程：

22I112sinsinsin22(,)E(,)

112sinsinsin22(,)(,)

其中

2IE2，以上方程在0的区域内存在有限解的条件是必须取l(l1)，

(l0,1,2,)，即 l(l1) l0,1,2,

于是方程的形式又可写成

112sinsinsin22(,)l(l1)(,)

此方程是球面方程，其解为

l0,1,2,(,)Ylm(,) m0,1,2,,l

由l(l1)及

2IE，可解得体系的的能量本征值

l(l1)2El2I l0,1,2,

3.6 设t0时，粒子的状态为

平均动能。

(x)Asin2kxcoskx21，求此时粒子的平均动量和

1(x)Asin2kxcoskxA1coskxcos2kx22[解]

A1ikx1i2kxikxi2kx1eeee222

A2eikxeikxei2kxei2kx4

可见，(x)是由五个动量不同的平面波迭加而成，将这些平面波与德布罗意波的一般

px1p(x)e2式比较，各平面波对应的动量依次为

1/2ip10p1kp3kp42kp52k

迭加系数依次分别为

C121/2A2C2C321/2A4C4C521/2A4

由

5ci1i2A 求得

1

111121pcipi2A20kk2k2k1616161640 i1222k1k(2k)2(2k)2222pcipi2A0416161616i1

52522k4

2T

1252pk28

3.7. 一维运动的粒子处在

Axex,(x)0,的状态，其中0，求：

当x0当x0

（1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。

[解] 首先将归一化，求归一化系数A。

1*dxA2x2e2xdx00

122xAxe220A212x2xedx020xe2xdx

A22xe2x2A23/2

0A234

23/2xex,当x0(x)当x0 0,（1）动量的几率分布函数是

ic(p,t)(2)注意到eiEt1/2(x)e(Etpx)dx

中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有

12c(p,t)(2)(x)exeipxdxdx

A(2)iypx,令

代入上式得

120i(p)x

idypdx i2yc(p,t)A(2)(p)yedy0

12A2(ip)22ip232p22

2w(p,t)c(p,t)

iipp32pdppc*pcdp2224p/（2）

2223pdp2p2/2233dp222p22

331022p2

动量p的平均值p0的结果从物理上看是显然的，因为对本题c(p,t)说来，粒子动量是p和是p的几率是相同的。讨论：

1①一维的傅里叶变换的系数是21而不是23/2。

②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时，即相当于t0的情况，变换式的形式保持不变。

③不难证明，若(x)是归一化的，则经傅里叶变换得到c(p)也是归一化的。 3.8．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数

(x)Ax(ax)

描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。 [解] 先把波函数归一化，求归一化系数A。

1dx0a*a05a5a5a52aAx(ax)dxA523A30 2222A故

30a5

2nCnsinxaa

2anx(ax)sinxdx0aa

(x)Cnn(x)*Cnndx而

30a5215a3a32a3nnn(1)(1)(1)1annn33

4151(1)n33n

能量的几率分布为

2Cn960,当n为奇数2240661(1)nn66n当n为偶数 0,能量的平均值为

9602n24801ECnEn66244n2aan1,3,n

22145E2496 故a 由于 n1,3n讨论：由于几率分布与n成反比，可看出能级愈低，几率愈大。当n1时，几率

6Cn

296060.999，故知粒子绝大部分可能处于这个态。

3.9 设氢原子处于状态

(r,,)13R21(r)Y10(,)R21(r)Y11(,)22

求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力

学量的平均值。

[解] n2 l1 m0,1

能量可能值

E2es422n2n231es4128，出现的几率 22

22平均值

EE2es482

223112222角动量平方的可能值 L2，出现的几率

角动量平方的平均值 L2

角动量z分量可能值 0,

22312 角动量z分量出现的几率分别是 2和22133Lz0444 角动量z分量的平均值

3.10. 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为

U(r)0rara

求粒子的能级和定态波函数

(r)0 ra[解]：在区域

22ˆH2在ra区域内，体系的哈密顿算符为

22(r,,)E(r,,)2本征方程：

121122rsinrrrr2sinr2sin22

2（1）

令

22E2

于是，方程（1）可以写成

121122r2rrrr2sinsinr2sin22(r,,)(r,,)

设 (r,,)R(r)Y(,)，代入上式，可得

1211122R(r)rY(,)rsin22RrrYsinsin

上式左边仅与r有关，右边仅与,有关，r,,是互为独立的变量，要使上式成立，两边应等于同一常数。当考虑到以上方程在区域0内的解有限，此常数只能取

l(l1) l0,1,2,

1Y12Yl(l1)Y0sin22sinsin所以，有

d2drR(r)2rR(r)2r2l(l1)R(r)02drdr

2（2）

（3）

方程（2）是球面方程，其解为

Ylm(,)NlmP)eiml(cos方程（3）是球贝塞尔方程。 令xr

ml0,1,2,m0,1,2,

R(r)1y(x)x

方程（3）可以写成

22dydy122xxxly0dx2dx2

方程（4）是

l1212阶贝塞尔方程，其通解

1l2y(x)c1Jl(x)c2J(x)

J因x0，

1l2(x)，所以含有奇异解

J1(l)2的项要弃去，即令c20，故球

贝塞尔方程（3）在x0的邻域的有限解是所谓的球贝塞尔函数。

R(r)J1(r)2rl2

粒子在ra内的波函数

(r,,)CJ1(r)Ylm(,)2rl2

Cjl(r)Ylm(,)

利用波函数在ra处的连续性，(a,,)0

(a,,)Cjl(a)Ylm(,)

CJ12J1(a)Ylm(,)2al20

l(a)0

由此可以选择本征值，由于对每一个给定的

l12值，贝塞尔函数有无穷多个零点

1l2nr值。

1l2nr1,2,3,，我们得到无穷多个

1l2nr1l2nra nr1,2,3,

和无穷多个能极：

1l222nr2a2a22Enr,l

221l2nr21l2nr

3.11. 求3.6题中粒子位置和动量的测不准关系(x)(p)?

221(x)Asin2kxcoskxA1coskxcos2kx22[解]：

A2(x)1cos2kxcos22kx2coskx2cos2kx2coskxcos2kx4

2A2312coskxcos2kxcos3kxcos4kx422 A242coskx3cos2kx2cos3kxcos4kx8

L2L2(x)dx2A8223214xsinkxsin2kxsin3kxsin4kxk2k3k4kL2L2

A284kL343kL14LsinsinkLsinsin2kLk2k3k22k

BA2A22/L1L1B/L1L 2

其中

BL2L21kL313kL1sinsinkLsinsin2kLk24k3k28k

2x2x(x)dx0 （被积函数为奇函数）

2x12L2x2(x)dx

LA222Lx(42coskx3cos2kx2cos3kxcos4kx)dx82

因为

L2L212xxconxdxsx2sinnx2L2Lsinnxdxnn222LL

L2nL22sin2xcosnx2L22n2nn2Lcosnxdx

L2nL4nLsin3sin2n2n2

L24nL2nn3sin2

A2x82L3L28L2kL3L2383kLsinsinkLsinkk34k2k33k27k3322

L21sin2kL8k16k3

A28L3L2kL313kL1sinsinkLsinsin2kL3k24328 1kL383kL18sinsinkLsinsin2kL32227216k

L32CDA133.8LL C其中：

3kL313kL1sinkLsinsin2kLsink24328 3kL383kL18sinsinkLsinsin2kLk32227216

DdA(x)ksinkx2ksin2kx2又因为 dx

d2A2(x)kcoskx4cos2kxdx22

pi

L2L2L2L2*(x)d(x)0dx（因被积函数是奇函数）

L2L2ˆ(x)dx*(x)p(x)p2*22d(x)dx2dx

A222kL1coskxcos2kxcoskx4cos2kxdx42

2LA22225375kLcoskxcos2kxcos3kx2cos4kxdx24222 2A2221kL103kLkL56sin7sinkLsin2sin2kL8232 kLA222GkL58L G其中

L1kL103kL7sinkLsin2sin2kL6sink232

2(x)2(xx)2x2xx2 ˆp)2p2pp2 (p)(p22(x)2(p)2x2p2

A4224GcDkL513196LLL 1GcDB2k2L2513/149LLLL 在L很大的情况下

2(x)2(p)25222kL49

当L时，过渡到自由粒子的情况

(x)2(p)2

1(x)223.12. 粒子处于状态

1/2ix2expp0x42

22式中为常量。求粒子的动量平均值，并计算侧不准关系(p)(x)? [解] 令(x)A(x) 其中A为归一化常数，由归一化条件

*(x)(x)dxA22*(x)(x)dx

x2exp2dx222

AA*A222

21A2

221/2iix2dx2ˆ(x)dxp(x)pexpp0x2iexpp0x2dx224dx4ix2A2x(i)p022exp22dx22

A222*A2p02p0

x2x(x)x(x)dxxexp2dx0222

A2x2x(x)x(x)dxxexp2dx222

2*22A2A2222xexpx2222x2exp22dx

A222

2

p2ˆ2(x)dxA2*(x)p(x)*pˆ2(x)dx

A2pˆ(x)2dx

A2dix2222idxexpp0x42dx

2A2i22pxix22022expp0x42dx

2A2p20222214423

p22042

(x)2(xx)2x22

(p)2(pp)2p2p2p2222042p042

x)2(p)22(4

3.12 利用测不准关系估计氢原子的基态能量

[解] 氢原子的基态波函数

(r,,)1a0a3er0

设电子的质量为，相对核的位置为r。平均能量

p2e2Es2r

由于基本波函数(r)为中心对称的，因此

p0

1）（

(p)2(pp)2p2

电子相对核的距离r在其数量级内，偏差r不会大于r，即

rrrr

(r)2r2

最大偏差 (r)2r2r2

(r)2(p)222测不准关系 4

p)222(取等号则有：

(r)2r2 12e2Es2r2r

dE2e2sdrr3r20

2re2a0s

E2e222s2es2min42a22e222E0a02a0a0es2a0 或 mins22第四章 态和力学量的表象

4.1 求动量表象中角动量L的矩阵元和2xLx的矩阵元

(r1i[解] 动量算符Pˆ的本征函数

P)P(2)er3/2

方法（一） 在动量表象中

(L*x)PPP(r)LˆxP(r)d

*P(r)(yˆPˆzzˆPˆy)P(r)d

i*P(r)pPpzyyP(r)dzP

ip*zPpyP(r)P(r)dyPz

（2）

（3）

（4）

ppipzpyPPzy

ˆ(p)(pp) p（方法二） 在动量表象中，动量的本征函数 pˆ(Lx)pp(pp)Lx(pp)dpxdpydpz

(pp)ipp(pp)dpxdpydpzpzpyzy (pp)ipzpyppyz ˆ2(pp)Lx(pp)dpxdpydpz

(L2x)pp(pp)ipp(pp)dpzyxdpydpzpzpy 2ppppyzppyz (pp)2pzpyppzy

2222(ppzpyp)ppzy

4.2 求一维无限势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元

[解] 设势阱的势为

2U(x)0n222En22a能量

0xaxa,xa

n1,2,

能量的本征波函数

n(x)2nsinxaa 0xa

(x)0 x0,xa

在能量表象中

xmn2amn(x)xn(x)dxxsinxsinxdx0a0aa

a*m1amnmnxcosxcosxdx0aaa

xdx

当mn

xnn1a2nx1cosa0a1112nax2xsinxa22na2n2nsinxdx0a0

aa112a2nacosxaa2n22a0

1111a222n

a/2

当mn xmn11mnamnxsinxxsinxa(mn)a(mn)a

a(mn)a0sinmnaxdxa(mn)mnsinxdxa0

aaamnamncosxcosx2222(mn)a(mn)a0

(1)mn1(ma(1)n)22mn1(man)22

(1)mn1a(m4mnan)2222

d*Pmnm(x)in(x)dx0dx

2iamdnsinxsinxdx0aadxa

ii当mn

2na2na2aa0sinmnxcosxdxaa

mnmnsinxsinxdx0aa

Pnni当mn

na2a0sin2n2na2naxdxi2cosx00a2a2na

anPmni2aamnamncosxcosx(mn)a(mn)a0

in11mnmn(1)1(1)1amn(mn)

i(1)mn1（方法三）

mn(m2n)a22

ˆˆdxˆˆ,HPxdti

ˆˆ)mnˆ,HPmn(xximnˆ)ˆH(ximnˆxˆ)mn(H

i(xkkmkHknHmkxkn)

i(xmkEnknxkmEkmk)

i(xmnEnxmnEm)(EnEm)xmn

i

当mn，Pmn0

2224mna2mnPmnnm(1)1i2a2(m2n2)22 当mn，

(1)mn1i2mn(mn)a2222

i(1)mn1

mn(m2n)a

4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数

p21H2x222[解] 线性谐振子的哈密顿量

在动量表象中 PP x22d122ˆHp22dp2

ip

222d212p(p)E(p)22dp2本征方程：

222d212(p)Ep(p)02dp22

令

1

2E p

于是上面的方程可以写成

d22()()()02d

该方程在区域上存在有限解的条件是要求

2n1

1Enn2 n0,1,2, 本征函数：n(p)Nne22p2Hn(p)

1/2Nnn2n! 归一化常数：

n(p)即

11/22n!nep22pHn

4.4 求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元

[解] （方法一）在坐标表象中

ipx1p(x)e21/2动量算符的本征函数

2d2122ˆHx22dx2

在动量表象中

ˆHpp*p(x)Hp(x)dx

ii22pxppx1122deedx22dp22 2p2122d(pp)222dp 212222d(p)(pp)dp2

（方法二） 在动量表象中

动量算符的本征函数

Cp(p)(pp)

22222pdˆH22dp2

ˆHppC*p(p)Hcp(p)dp

2212d2(pp)(pdp2)(pp)dp

22212222d(pp)p22dp 212222d(pp)p22dp

212222dppp22dp

ˆ和Lz的共同表象中，算符Lx和Ly的矩阵分别为 4.5 设已知在L2ˆˆˆ0100i022Li0iLx101y220i0 010

求它的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx和

Ly对角化

ab2cˆL 2[解] 设x的本征值为 本征波函数为

于是，本征方程为Lx

010aa22b101b22cc010 即

（1）

10或 110a1b0c

（2）

要使本征波函数不为零，亦即要求a,b,c不全为零，其条件是（2）中的系数无矩阵对应的久期方程行列式为零。

1011010123202032

当12，由（2）有

210b12112112

0a1b02cacb2b2

11*1b,1,b22121122

b*b12

b12

11111222211

2当20，由（2）有

010ab0101b0ca010c 12a01

1*22aa(1,0,1)02a*a11

a12

112021 

2102当3，由（2）有1b3221

1210a1b02cacb2b2

113b*b(1,2,1)22b*b112b12

113221

最后，Lx的对角矩阵，即Lx在自身表象中的矩阵

ˆˆ1Lx202000020000230200 AB2设Lˆy的本征值为2，本征波函数为

C 于是本征方程：

20i0A2A2i0i0i0BC2BC i0AiiB0或 0iC

久期方程

i012ii0200i32

由（4）有：

AiB0BiAiBc0cA

于是：

1Ai1

A*(1,i,1)A1iA*A(22)11

A122

1122i1

1112i212，则1

1 （3）

（4）

当113i2212 33当，则

当20，则又由（4）有

0i0Ai0iB00i0C12A01

由21，求得

B0CA

A12

11l202当20 1

4.6 求连续方程的矩阵表示

wJt[解] 由连续方程

*i(r,t)(r,t)**tt

*i(r,t)(r,t)(2**2)or t

ipˆ2**ˆp2

u(r),n1,2,} Qn在表象中，基矢设为

(r,t)an(t)un(r)n

***(r,t)am(t)um(r)m**a(t)a(t)u(r)u(rmnmn)dtmn

2***2u(rˆˆa(t)a(t))pu(r)du(r)pu(r)dmnnmmn mnii**2*2ˆˆmna(t)a(t)a(p)nm(p)an(t)mnmnmtmnmn i2*2ˆaa(p)mn(p2)mnan(t)nmtntmn



i2tˆ2p2)(t)(t)(p

第五章 微扰理论

4.1．如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0及电荷均匀分布的小球，计算这种效应

对类氢原子基态能量的第一级修正。

[解] 在电动力学中知道，当rr0时，即在荷电小球外部时，势能的分布和点电荷产生的势能分布一样。

在rr0处，势能分布则为

Ze2r031r222r20 因此，微扰势能可以写为

Ze231r2Ze2,当rr02rHr022r0当rr0 0,故类氢原子处于基态时的一级能量修正值为：

(0)*ˆ(0)100E(j1)H11H100d

注意到

(0)1001a3a0era

1Z,其中 aa0e2 为玻尔半径。

2rE故

(1)r0134ea0aZe331r2Ze2222r2rrdrr00

2a020.5810812e为了计算上的方便起见，我们作一些近似估计，因为r0~10厘米，

zrzr210210122~2~1082raa100厘米。对于最大的Z~100，有。所以，ea~1。

因此可以把上面的积分化简为：

E(1)4r0Ze231r2Ze223rdr20arr022r0

24Ze23r03Ze2r052r033Zear0232r052

4Ze2r02Ze2r02Ze2r022Ze2r023a21025a3

所以基态能量E1是：

E1E(0)1E(1)1Ze22Ze2r02Ze24r02122a5a32a5a

讨论：由结果可见，当Z愈大时，由于核不是点电荷所产生的影响也愈大；同样，当r0愈大，产生的修正也愈大，这在物理上看是显然的。这时候相当于微扰的影响相当显著。

4.2．转动惯量为I，电矩为D的空间转子处在均匀电场中，如果电场较小，用微扰法求

转子基态能量的二级修正。

[解] 空间转子是约束在球面上的体系，对于这样的体系，r常数，因而波函数对r的

(r,,)0r微商为零，即，这表明波函数只包含和两个变量，哈密顿算符中不含r的项。因此，体系的哈密算符是：

2111ˆH(D)sin222r02sinsin

ˆHˆH0

ˆ0H02I而

2112000sinEsin22sin

2Ir0其中为转子的转动惯量，注意到上式即为：

1ˆ20LE002I

1l(l1)20El00即 2I

El01l(l1)22I

l0Ylm(,)即无微扰时的本征函数，就是球谐函数。注意到基态为非简并状态，利

用非简并微扰，对基态能量的修正值决定于矩阵元。

*ˆ*YlmHloHYoodDYlmcosYood

D1*YlmY10d3

Dl1m03

(1)O 因此，一级能量修正值显然为 E0H00二级能量修正值为

(2)E0Hl01(D)2I2(0)(D)(0)3232l0E0ElI

I(D)223

2这个二级能量修正值正是电场中极化的能量，微扰后的总能量准确到二级的情况下为：

(0)(1)(2)E0E0E0E0

4.3．设哈密顿量在能量表象中为矩阵

E10ab0bE2a

所表示，其中a,b为实数，求

（1）用微扰公式求能量至二级修正值； （2）直接求能量，并和（1）所得的结果比较

(0)nn[解] （1）设能量本征函数为，无微扰的零级近似波函数为，体系的哈密顿算符为

ˆHˆHˆH0

无微扰的定态薛定谔方程为

ˆ(0)E(0)H0nnn

另一方面，从微扰的一般公式可见，求能量修正值的问题，实质上就是计算微扰矩阵元的问

ˆ的矩阵元是 题。一般地说，总哈密顿量H(0)*ˆ(0)(0)*ˆˆ)(0)dxHmnmHndxm(H0Hn

 EnmnHmn根据题设，在能量表象中，哈密顿量为

E10abH0bE2a

0a HEHEa,H11111111于是有：

b H12b H12H12b H21b H21H210E22a H22E2H22a H2按照微扰的一般公式，准确到二级修正时的总能量是：

H20nk0EEk0HkknkEkEn

若以E1和E2分别表示第一能级和第二能级的总能量，在准确到二级修正的情况下有

21Hnb20200E1E1H11E1a000E1E2n1E1En

2b20E2EH22Ea00E2E10n2E2E02202Hn22

ˆ，能量本征H（2）为了直接在能量表象中求解本征值方程，我们取的本征矢为

值为E，则本征值方程为：

E10abE0bEa 20(E1aE)b00b(E2aE)0 即有 要使和有非零解的条件是使上二式的系数行列式为零，即

E10aEb0b00E2aE

02故有 (E1aE)(E2aE)b0

200002E(EE2a)E(Ea)(Ea)b0 1212展开有

000(E10E22a)(E10E22a)24(E10a)(E2a)b2E2故

而

00(E10E22a)24(E10a)(E2a)b2

00000E10E24a22E10E24E10a4E2a4E10E24E10a4E2a4a24b2 0002E102E10E2E24b2(E10E2)4b2

212b22b0000(E1E2)1(E0E0)(E1E2)12E0E02211

22222b2EE00E1E2

0102故

02b20EE2aE1E2E0E012E20102

0b2E1E1a00E1E22E0abE2200E2E1

和用微扰公式算得的结果一致。

5.4．设在t0时，氢原子处在基态，以后由于受到单色光的照射而电离。设单色光的电

场可以近似地表示为sint，及均为常数；电离后电子的波函数近似地以平

面波表示。求这单色光的最小角频率和在t时刻跃迁到电离态的几率。 [解]（1）先求这周期性场的最小角频率。利用周期微挠的公式。

1amti1现在的微扰的哈密顿算符是

zt0eimktdtHmk

kˆe(r)sinte(r)(eiteit)H2i

ˆFˆe令HyHrxˆeit则其中 Fe(r)e(r)ˆˆFF2i2i

it1ˆei(mk)t1ei(mk)t1a(t)(F)mkmkmk

(1)m这里m代表末态，k代表初态。

若m态能量大于k态能量

mkEmEk0于是由k态跃迁到m态时就要吸收光子。

(1)a(t)中的第二项，就有 m所以吸收时只须故虑

1ˆei(mk)t1a(t)(F)mkmk

(1)m要使氢原子的电子从基态离化，周期性场的圆频率至少为

minmkE1e432

ra0（2）求离化态的几率振幅，为此，先求(F)mk，初态k是氢原子的基态

1001a30e

未态m是平面波

1ikre3/2(2)

e17eikra0Fmkrmke(r)ed3/232ia0(2)2i 我们把k方向取为球极坐标的z轴方向，并且取k平面为x-z平面，则的方向余

弦为（sin，0， cos）。这样容易得到

1rrcoscossinsincos

(rxxyyzz;而xsin，y0

zcos，xrsincos,yrsinsin,zrcos)

Fmke2ia(2)303eikrcosra0r(coscos

sinsincos)r2sindddr

对积分，第一项积分得2，第二项积分为零

ra0Fmke32ia0(2)3eikrcosr3coscossindrd

令cos,则sindd

ecosFmk3ia0(2)311de0ikrra0r3dr

而

0e(ik1)ra03rdr3!(ik14)a0

d(1ik)4a0

Fmkecos3ia0(2)3(3!)1156ka02233ia0(2)3(1ka0)

ecosa(1)mk1ˆei(mk)t1(F)mkmk516ka0ei(mk)t1ecos23(mk)ia3(2h)32(1k2a0)0

5.5．基态氢原子和在平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即

0,t0e,t0;t0; （为大于零的参数）

求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。

[解] 设电场沿z轴方向，则微扰哈密顿量为

tˆerezeH0

z1timktHedtmki0

(1)因此，要求得am，必须先算Hmk，现在末态为2p态是简并的，有210，211，211(1)amH2按照微扰论，由状态k跃迁到状态m的几率决定于

Ea(1)2m

三个态。且：

2101132a032r2a0ea0rr3cos4，

1121132a032r2a03esineia08

21121132a03r2a03esineia08

r故

12a01100R10Y002ea4 0*(z)210,100210rcos100d

3r2122a3012a203323234143rr22a022a0ecosrsindddr

3r142a0drcos2sinda0re00

5而

121(5)2a0124(5)52a3323032a0 1282a0243

(z)211,100211rcos100dR21R10rcosY11(,)Y00d=0

同理

(z)211,1000

因此，从IS2p态几率就是从IS(210)态的几率，故

a2101exp(imkt)dtHmki

t1t12820e0ea0ei2tdti243

11282e0a0t(i21)tdt0e243i

1282e0a0(1e)243i1i21

1(i21)t当t很大时

(1)a210e0a01282i2431i21

所以跃迁到2p态的几率是

222e20a012822a222243121

e4e422213e4822183 其中 (1)2210由此可见，电场0愈强，跃进心率愈大。

5.6．计算氢原子由第一激发态到基态的自发辐射几率。

[解] 自发辐射系数为

5nmAnm32Bnmc

Bnm为受激发射系数，它为

42e22Bnm(r)nm32 224e3Anm(r)nmnm33c故

由2p1s态的谱线圆频率为

3e42183

利用20题计算的结果

2152r21J9a03 233124e3e215228e1432A2p1s999a07103a0323c33c故

22（注意：2s1s态的跃迁不可能发生）

5.7．计算氢原子由2p态跃迁到1S态时所发出的光谱线强度。

[解] 系统由状态n到状态m所发出的光谱线的强度决定于处在状态n中的原子数Nn和单位时间内跃迁的几率，谱线强度表示这样跃时所放出的能量。

nm 一般地 BnmNnAnm4e22nm2Anm(r)nm3C3而

注意到由2p1S谱线的圆频率为

E2E13e42183

2222(r)xyz21212121,而

zrcos

2p有三个状态，即（2，1，0），（2，1，1）和（2，1，-1）

（1）先计算z的矩阵元

**(z)210,100R21(r)r3R10(r)drY10cosY00sindd0

利用公式

cosY001Y103

这是因为

Y00可得：

13,Y10cos44

**(z)210,100R21(r)r3R10(r)drY101Y10sindd03 1*13R(r)rR(r)drJ2110303

0其中令

*JR21(r)R10(r)r3dr

同理，容易算得：

*(z)210,100JY11cosY10sindd0J*Y11Y10sindd03

(z)211,100JY1*,1(,)Y10(,)sindd03

（2）计算x的矩阵元

rxrsincossin(eiei)2故虑到

1*3*(x)210,100R21rR10drY10sin(eiei)Y00sindd20 18*JY(Y11Y11)Y00sindd01023

这里用到了

Y113sinei,Y1,13sinei,Y0014

以及球谐函数的正交性。

(x)211,100J*Y11sin(eiei)Y00sindd2 J18*Y(YY)sindd111111243

J12J24332 Jii(x)211,100Y1*)Y00sindd1sin(ee2 J18*Y(YY)sindd111111243 2J32

（3）计算y的矩阵元： 故虑到

yrsinsin(y)210,100rsinii(ee)2i 1*3*R21rR10drY10sin(eiei)Y00sindd2i

J18*Y(Y11Y11)sindd0102i43

(y)211,100(y)211,100J12i4J2i23

8J2*Y(YY)sindd11111132i3

(r)2nm22212122J2J22i3323

2（4）最后计算J：

*JR21(r)r3R10(r)dr05注意到

02a032era0311r32a032r2a0aedr0

ra20633r2a0 其中令

0e4d

注意到

(x)ettx1dt0

故

0e4d(5)4!55a02a0227J(5)4!a0436363谱线强度

23

423e4221424e2N4ea082pA2p1sN2p(r)nm333c833 3C510217344e182254e182N2eN2p1012312a0N2p6312a02p63423ca0 32c3c242132a02e 为玻尔半径 其中

5.8. 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。

[解]：线性谐振子的能量本征函数

nxnNne12x22Hnx

由厄米多项式推递公式 得到

Hn12Hn12nHn10

2n1n12xn2nn10

考虑跃迁矩阵元

xmn1mxnm2n1n12n2n1

可见，当

12n1m,n12nm,n1 2mn1时，xmn0

故有选择定则，n1

第六章 散射

1．粒子受到势能为

U(r)ar2的场的散射，求S分波的微分散射截面。

[解] 为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。注意到第l个分波的相角位移l是表示在辏力场中的矢径波函数Rl和在没有散射势时的矢径波函数jl在

r时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。

矢径的波动方程是：

1d2dRlr2rdrdrl(l1)2)Rl0(kV(r)2r

其中Rl是波函数的径向部分，而

V(r)Rl2U(r),2k22E2

令

xl(r)r，不难把矢径波动方程化为

l(l1)2xlk222xl02rr

再作变换 xlrf(r)，得

f(r)0

212e212f(r)f(r)k2rr2这是一个贝塞尔方程，它的解是

f(r)AJp(kr)BNp(kr)

12pl2 2其中

22注意到

Np(kr)在r0时发散，因而当r0时波函数

RlNpr，不符合波函数的标准条件。所以必须有B0

故

RlA1Jp(kr)r

现在考虑波函数Rl在r处的渐近行为，以便和jl在r时的渐近行为比较，而求得相角位移l，由于：

1p1lR(r)sin(kr)sin(krl)r24r2

212d1lpll2l242222

当l很小时，即较小时，把上式展开，略去高次项得到

2l2l12

2ile12il 又因

1f()(2l1)(e2il1)Pl(cos)2ikl0故

221Pl(cos)(2l1)i2ikl02l1

k2P(cos)ll0

1rl2Pl(cos)当r1r2rr1l01112lr12r1r222r1r2cos1r1rrPl(cos)当r1r22l02注意到

如果取单位半径的球面上的两点来看 则 r1r21，即有

11Pl(cos)2(1cos)l02sin2

r1r12f()故

210k2sin2

r2微分散射截面为

f()d222k2414sin2d228E2csc22d

2由此可见，粒子能量E愈小，则较小的波对微分散射截面的贡献愈大；势能常数愈大，微分散射截面也愈大。

U,U(r)00,2．慢速粒子受到势能为

当ra当ra

的场的散射，若EU0,U00，求散射截面。

[解] 慢速粒子的德布罗意波长很长，所以只需要考虑S分波。

在ra处，方程为

l(l1)xlk2xl02r

其中

k22E2

在ra处，则有

l(l1)xlk2xl02r

其中

k22(U0E)2

而波函数是

Rlxlr

在a的情况下，只故虑S分波，即l0的情况，上面两个方程变为

rak2x00 x0ra其解分别为

k2x00 x0当ra时， x0Bsin(kr0) 当ra时，

x0AshkrAchkr

R0x0r有限，但

由于在r0时，

coskr当1 r0故 A0 即 x0Ashkr(ra)

在ra处，波函数R0及其微商必须连续，因此得出

AshkaBsin(ka0)

AABBkchka2shkakcot(ka0)2sin(ka0)aaaa

用前式除后式可得

kcothkakcot(ka0)

即

tgkaktg(ka0)k

0tg1ktgkakak

因此S分波的辐射截面是

Q044221ksinsintgtgkaka0k2k2k

2U02

当速度较小时，k0，可以近似地认为

kk0这时有

tghkatg0hk a0ktghk0akak0

2tgk0a4Q02024a2ka1k0

假如U0，相当于在受到球形无限深势阱散射的情况，这时由于

tgk0a(tgk0a)2tgk0a1121当k0kak2a2k0a00

2Q04a2

3．只考虑S分波，求慢速粒子受到势能

U(r)r4的场散射时的散射截面。

[解] 当只考虑l0，即S分波时，令

Rr，则x满足的方程是：

x2x02r4

rf(r)，由于

为了解此方程，作如下代换，令x(r)xrf(r)xrf(r)可将原方程化为

11f(r)2r

f(r)13f(r)r24r

rff即

2d1f1f273022rr4r

12d1f24204rr

fr为了化简方程，再作变换，令

r注意到

i12

21dfdfddfdfiidrddrdr2dd2fddfidr2dd222

dfd2ddr

2df2di2i22dr2ddfi23df2id2d22方程可以化为

2

2d2f1df1102d2d4

这是2阶的贝塞尔方程，它的解是

1i21f(r)Hr

(1)12式中H(1)表示第一类汉克尔函数，按定义为

(1)Hp()esinpiipJp()Jp()

当1时，

JP()p2p(p1)

当r,0时

1122i(1)i1H1()当1r3122sin222222 而

,2x(1)ixrf(r)rH1r2

1232121212

当r很大时，

112424x常数r22

1124124x(r)c2R常数常数C1r2r2r

另一方面

RC1sin(kr0)cos(kr0)sin(kr0)C2常数krrr

当kr1时

CR常数C12r C12,其中

tg02142C22

142C2kk0C1

散射截面

2248Q402kk2

上述解的条件是

2kr1,即

i211r

亦即要求

21rk

4．用玻恩近似法求粒子在势能U(r)U0e2r2场中散射时的散射截面。

[解] 按玻恩近似法计算微分散射截面的公式

q()f() 2f()2K而

20rsinkre2r2dr [见教材（55-23）式]

其中

2K24k2sin2，为入射粒子方向和散射粒子方向之间的夹角。

在本题中

U(r)Ue0

22r

f()i2U02r2rsinKredrK20

U0K20r(e022riKre22riKr)dr

K242iU0e2K2K242reiK2r222driU0e2K20reiK2r222dr

注意到

0reiKr222dr0iKer2222iKr222iKdr220eiK2r22dr

xe0xdxiK1iK2222243

2re0iKr2222又

iK2riKiK22drredr222200eiKr2222dr

122iK43

K242f()iU0e2KK242iKU0e32322

而

2K24K2sin2

K222

q()f()2Ue442206

5．利用玻恩近似法求粒子在势能

Zes2r,U(r)rb0,rara

a2b2Zes场中散射的微分散射截面，式中

[解] 由势能U(r)的形状容易看出，计算f()时只需计算由0a的积分即可。

ze2r2af()rsinKrdr20Kb r2a22a2zesinKrdrrsinKrdrK20K2b0

aaze2122acosKr22cosKrrcosKadr0Kb00K2K

ze222a2a22(coska1)22a2cosKasinKasinKrdrKKbkk0 ze222a222(1cosKa)22a2cosKasinKa2(1cosKa)KKbKK

q()f()

242212a244ze(1cosKa)a2cosKasinKa2(1cosKa)KbKK

其中

2K2ksin2

6．用玻恩近似法求在势能U(r)U0era(a0)场中散射时的微分散射截面，并讨

论在什么条件下，可以应用玻恩近似法。 [解] （1）求微分散射截面

2f()2k0rarsinkrU0edr rikrikr(ee)eadr2i

r2U0k20U00reik21ikradrre01ikradr

U011222ik11ikikaa a2U0(1ika)2(1ika)2ik2(1a2k2)2

4a3U02(1a2k2)2

162U02a6162U02a6q()f()4(1a2k2)44(14a2k2sin2)42

2（2）讨论玻恩近似法可以应用的条件。显然，这个条件是u()1。由教材（55-25）式和（55-26）式

2

u(0)12k0V(r)(e2ikr1)drk20V(r)(e2ikr1)dr

2U0k2242a2k14a2k2

2u(0)2k0U0e(e2ikr1)dr1

ra4a4k212422即 k14ak42U02a44k4a24

22U024a42U022214ak4

k22U02a22E22228a或

这就是玻恩近似法的适用条件。

第七章 自旋与全同粒子

7.1．证明：

ˆxˆyˆzi 010i10i0ˆxˆyˆziI10i0010i [证]：

即

ˆxˆyˆzi

7.2．求在自旋状态

12szˆˆSSx中，和y的测不准关系：

22(S)(S)? xy

2(S)x[解] 先求出和(Sy)

2(Sx)2SxSx2;2(Sy)2SySy2

2011Sxx1Sxx1(1,0)1002022

0101122SxSx1(1,0)10100442

2x122x2(Sx)4

20i1SyxSyx1(1,0)i00202同理

120i0i122SxSx1(1,0)i0i00442

2y122y2(Sy)4

24(Sx)(Sy)(Sx)(Sy)16，符合测不准关系。 最后得：

222201Sx1027.3. 求0iSyi02的本征值和所属的本征函数 及

01Sx102[解] 设

a1本征值为，本征矢为a2，

则

a101a110aa222

容易求得

2，相应的归一化本征函数为

1111和2121

0ib1i0b22，则 同理，设本征值为，本征矢为

0ib1i0b22可求得：

b1b2

2，相应归一化本征函数为

1111和ii22

7.4．求自旋角动量在

cos,scos,cos方向的投影

yˆSˆcosSˆcosSˆcosSnxyz的本征值和所属的本征函数。

在这些本征态中，测量Sz有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？Sz的平均值是多少

[解] 自旋算符的矩阵表示为

ˆˆ010i10Sx;Sy;Sz2102i0201

010i10Sncoscoscos210i001

coscosicosicoscos2cos

ˆS 令n的本征矢为

它必然是一个两行两列的矩阵，Sn的本征方程为

ˆˆSn2则

cos2cosicoscosicoscos2

就有

coscosicos0cosicoscos012

,不同时为零的条件是其系数行列式为零，即

coscosicos展开得：

cosicos0cos

22cos2co2scos02101

ˆ因此 Sn的本征值为2

下面求本征矢：

（1）当

Sn2时，即1时，由①式得

coscosicos

cosicos1cos

cosicos1cos

利用归一化条件

cos2cos221121cos

cosicos1cos1cos1cos2,212

（2）当



Sn2时，即1时；

cosicos1cos

cosicos1cos

1cos12利用归一化条件，可求出

cosicos1cos1cos21ˆ

2

讨论：1. 算符Sz的本征值为

n2，而z方向为空间的任意方向。现在把z方向特别选为沿

ˆ方向（这相当于作一个坐标旋转），则Sn的本征值也应为2。另外我们知道，本征

z值和表象的选取无关。这样选择//n并不影响结果的普遍性。

ˆˆSSy同理x和的本征值也都是2。

ˆˆSSS我们也可以在n为对角矩阵的表象中（n表象）求本征矢。显然这时n的矩阵为

2002

100及1 所以本征矢为

ˆ注意到本征矢是随着表象选取的不同而改变的。现在是在Sn表象，而上面算出的2是

在

ˆSz表象，算出的结果应有所不同，这是合理的。

2. 在本征态

ˆS2中，测量z的可能值有2和2，这两个可能值出现的几率分别是

21coscosicos21coscos2cos221cos即

和1cos22

1cos2和

cos2cos21cosSzcosˆ221cos222Sz的平均值

同理，在本征态

ˆS2中，测量z的可能值有2和2，这两个可能值出现的几率分别是 1cos2和

cos2cos221cos

cos2cos21cosSzcosˆ221cos222Sz的平均值

7.5. 设氢原子的状态是

1RrY,112213R21rY10,2

（1）求轨道角动量z分量Lz和自旋角动量z分量Sz的平均值；

ˆˆˆSIˆeLˆeSM2（2）求总磁矩的z分量的平均值（用玻尔磁子表示）。

[解]:将波函数改写为

13R21rY11,1/2R21rY10,1/222

（1）Lz的可能值为0,1, 相应几率为413Lz44，Lz的平均值为

11,ˆS2 z的可能值为2相应几率为

1,431Szˆ4，Sz的平均值为4

（2）

MzeeeLzSzB284

7.6.

一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒

子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子态构成？

(粒子数单态数1)!(321)!4粒子数!(单态数1)!3!(21)![解] 状态数=

设两单粒子态为和

。

有两种情况：(1) 三个玻色子处在同一个状态。

(2) 两个玻色子处在同一个状态，另一个玻色子处于另一状态。

(1)(q1,q2,q)3(q)(q 3)s1(q2)第一种情况：三粒子同处于态，则

(2)(q1,q2,q3)(q1)(q2)(q3) s三粒子同处于态，则

第二种情况：两粒子同处于态，一粒子处于态，则

s(3)(q1,q2,q3)2!1!(q1)(q2)(q3)3!

(q2)(q3)(q1)(q3)(q1)(q2)一粒子处于态，两粒子同处于态，则

S(4)(q1,q2,q3)1(q1)(q2)(q3)3(q2)(q3)(q1)(q3)(q1)(q2)

7.7.证明

123S,S,S和A组成正交归一系。

证明：由

(1)S1(S1z)1(S2z)22(2)S1(S1z)1(S2z)22(3)11(S1z)1(S2z)1(S1z)1(S2z)S222221(4)A1(S1z)1(S2z)1(S1z)1(S2z)42222 和单电子自旋函数的正交归一性

1SizSjz12ij1,2;i,j1,22

2111SS[1(S1z)1(S2z)][1(S1z)1(S2z)]有

2222

1(S2z)1(Sz)1(S1z)1(S2z)1(S2z)1(S2z)1222222

类似可证

22SS133SS1AA1

2212SS[1(S1z)1(S2z)][1(S1z)1(S2z)]又

22

1(S2z)1(Sz)2212(S1z)12(S2z)0

类似可证

3132SS0 SSkSA0k1,2,3

Ur12r22。如果电子之间的

7.8. 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势场是库仑能和

Ur相比可以忽略，

求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x方向运动的 第

一激发态时，两电子组成体系的波函数。 解：依题意，系统的能量本征方程

222212222xyz2x,y,zEx,y,z22z22xy

采用分离变量法求解方程。 设

x,y,zXxYyZz 2222d2122xXxExXx2dx2d2122yYxEyYx2dy2

代入能量本征方程，经分离变量，得

2d21222dz22zZxEzZx解得能量本征值 本征函数

3EnmkExEyEznmk2 XnxYmy2n!nee2x22Hnx

2m!m2y22Hmy

Zkz单电子的能量本征函数

2k!ke2z22Hkz

nmkx,y,z2nmk33n!m!k!0

e22r2HnxHmyHkz

当电子处于基态时，nmk3000x,y,ze22r2

当电子处于沿x方向的第一激发态时，n1,mk0

100x,y,zxe2522r2

由以上单电子的基态和沿x方向的第一激发态，得

1Sr1,r2000r1100r2000r2100r121Ar1,r2000r1100r2000r2100r12

结合两电子系统的自旋函数

(1)S1(S1z)1(S2z)22(2)S1(S1z)1(S2z)22(3)1(S)(S)(S)(S)11z12z11z12zS222221(4)A(S)(S)(S)(S)11z12z11z12z42222 得到两电子全同体系的反对称波函数

ASr1,r2A

1S2AAr1,r2S3S