2018-2019学年山西省忻州市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一项最符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑．本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1．（3分）化简后，与A．
的被开方数相同的二次根式是（ ） B．
C．
D．
2．（3分）若式子A．x＞3
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） B．x＞﹣3
C．x≥3
D．x≥﹣3
3．（3分）下列计算错误的是（ ） A．
B．
C．
D．4
＝4
4．（3分）一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ） A．13
B．14
C．
D．15
5．（3分）若三角形的三边分别为a，b，c，则下面四种情况中，构成直角三角形的是（ ） A．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝7，b＝24，c＝25
6．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝70°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AD于点F，则∠ECF＝（ ）
B．a＝4，b＝5，c＝6 D．a＝7，b＝18，c＝17
A．40°
B．50°
C．55°
D．60°
8．（3分）顺次连接对角线相等的各边中点所得的四边形一定是（ ） A．菱形
B．正方形
C．平行四边形
D．矩形
9．（3分）如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多米？（ ）
A．4
B．8
C．9
D．7
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，将矩形沿BD折叠，点A落在点A'处，则重叠部分△DEB的面积为（ ）
A．10
B．12
C．16
D．20
二、填空题（每小题3分，共5个小题，共15分）
11．（3分）命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是 ． 12．（3分）计算
的结果是 ．
13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（3分）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 m．
15．（3分）如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝ 度．
三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（6分）计算：
（1）（2）
；
．
17．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD边上，连接CE、AF，∠DCE＝∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明．
18．（9分）我校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝4米，CD＝3米，AD⊥DC，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．
19．（10分）如图，长方体的长BE＝30cm，宽AB＝20cm，高AD＝40cm，点M在CH上，且CM＝10cm．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
20．（10分）阅读下列问题：
；
；
；……
试求： （1）（2）
的值；
（n为正整数）的值．
（3）根据你发现的规律，请计算：
21．（10分）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE延长线于点F，连接CF． （1）求证：AF＝CD；
（2）试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
22．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，CE⊥AD，垂足为E，AE＝CE． 求证：BC＝CD．
23．（12分）（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G．求证：AF⊥DE且AF＝DE．
（2）如图②，若点E、F分别在CB、DC的延长线上，且BE＝CF，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由．
（3）如图③，在图②的基础上连接AE、EF，H、M、N、P分别是AE、EF、FD、DA的中点，请直接写出四边形HMNP的形状．
2018-2019学年山西省忻州市八年级（下）期中数学试卷
试题解析
一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一项最符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑．本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1．解：A．B．C．D．
＝3＝＝
与与＝2与
与
是同类二次根式；
被开方数不同，不是同类二次根式； 不是同类二次根式； 不是同类二次根式；
故选：A． 2．解：式子则x+3＞0， 解得：x＞﹣3． 故选：B． 3．解：A、B、C、D、4
÷+﹣
×＝＝3＝3
＝7
，故原题计算正确；
在实数范围内有意义，
，故原题计算正确； +6
＝9
，故原题计算正确；
，故原题计算错误；
故选：D．
4．解：由勾股定理得，斜边长＝故选：A．
5．解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故本项不符合题意； B、42+52＝41≠62，故不是直角三角形，故本项不符合题意； C、72+242＝252，故是直角三角形，符合题意；
D、72+172≠182，故不是直角三角形，故本项不符合题意． 故选：C．
6．解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，本选项说法错误； B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，本选项说法错误；
＝13，
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，本选项说法错误； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，本选项说法正确； 故选：D．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°， ∵∠B＝70°， ∴∠BAD＝110°， ∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAF＝∠AEB＝55°， ∵AE∥CF，
∴∠BCF＝∠AEB＝55°， 故选：C．
8．解：如图，AC＝BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线 根据三角形的中位线的性质知，EH＝FG＝∵AC＝BD，
∴EF＝FG＝HG＝EH， ∴四边形EFGH是菱形． 故选：A．
BD，EF＝HG＝
C，
9．解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度＝
＝4，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是3+4＝7米．
故选：D．
10．解：∵将矩形沿BD折叠，点A落在点A'处，
∴∠ABD＝∠A'BD，AD＝A'D＝4， ∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD＝BC＝4，CD＝AB＝8， ∴∠ABD＝∠BDC， ∴∠BDC＝∠A'BD， ∴BE＝DE，
在Rt△BEC中，BE2＝EC2+CB2， ∴BE2＝（8﹣BE）2+16， ∴BE＝DE＝5， ∴S△BDE＝故选：A．
二、填空题（每小题3分，共5个小题，共15分）
11．解：逆命题是：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 12．解：原式＝故答案为
．
＝
，
DE×BC＝10．
13．解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AO＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AEO和△CFO中
∴△AEO≌△CFO，
即△AEO和△CFO的面积相等，
同理可证：△BOF和△DOE的面积相等，△ABO和△DOC的面积相等， 即阴影部分的面积等于矩形ABCD的面积的一半， ∵矩形面积是AB×BC＝2×4＝8， ∴阴影部分的面积是4， 故答案为：4．
14．解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m． 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， ∴x2+52＝（x+1）2， 解得x＝12， ∴AB＝12． ∴旗杆的高12m． 故答案是：12．
15．解：设∠BAE＝x°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∵AE＝AB， ∴AB＝AE＝AD， ∴∠ABE＝∠AEB＝∠DAE＝90°﹣x°， ∠AED＝∠ADE＝
（180°﹣∠DAE）＝
[180°﹣（90°﹣x°）]＝45°+
x°，
（180°﹣∠BAE）＝90°﹣
x°，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AED ＝180°﹣（90°﹣
x°）﹣（45°+
x°）
＝45°．
答：∠BEF的度数是45°． 故答案为：45．
三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．解：（1）原式＝＝4﹣＝4﹣3
﹣2；
+2）
﹣
﹣2
（2）原式＝7﹣5﹣（3﹣2＝2﹣5+2＝2
﹣3．
17．解：四边形AECF是平行四边形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠DFA＝∠EAF， 又∵∠DCE＝∠BAF， ∴∠DFA＝∠DCE， ∴AF∥CE， ∵∠AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形． 18．解：连接AC． 由勾股定理可知 AC＝
＝
＝5，
又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，
故所求面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝
＝24（m2）．
19．解：如图①，在Rt△ADM中，50（cm），
如图②，在Rt△ABM中，如图③中，在Rt△AMC中，
（cm），
∵
，
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝
（cm），
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
∴蚂蚁要沿长方体表面从点A爬到点M，需要进行的最短距离为50cm．
20．解：（1）（2）（2）原式＝＝＝2019﹣1 ＝2018．
21．证明：（1）∵E是AD的中点， ∴EA＝ED， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 又∵∠AEF＝∠DEB，
＝
＝＝
＝＝
；
＝
；
∴△AEF≌△DEB（AAS） ∴AF＝DB，
∵∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线， ∴DB＝CD， ∴AF＝CD；
（2）四边形ADCF是菱形， 证明如下：∵AD是BC边中线， ∴CD＝DB， 又∵AF＝CD， ∴AF＝DB， ∵AF∥BC， ∴AF＝DB，
∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠CAB＝90°，AD是BC边中线， ∴
即AD＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形． 22．证明：如图，过B作BF⊥CE于F，
，
∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE＝90°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠BCF+∠DCE＝90°， ∴∠BCF＝∠D，
∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE， ∴四边形AEFB是矩形， ∴AE＝BF， 又∵AE＝CE， ∴BF＝CE，
在△BCF和△CDE中，
，
∴△BCF≌△CDE（AAS）， ∴BC＝CD．
23．（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°， ∵BE＝CF，
∴BC﹣BE＝DC﹣CF， 即CE＝DF，
∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴AF＝DE， ∴∠DAF＝∠CDE， ∵∠DAF+∠DFA＝90°， ∴∠CDE+∠DFA＝90°， ∴∠DGF＝90°， ∴AF⊥DE；
（2）（1）中的结论成立， 证明：∵ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝DC＝CB， 又∵BE＝CF， ∴DC+CF＝CB+BE， 即DF＝CE，
∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴AF＝DE， ∴∠F＝∠E， ∵∠E+∠EDF＝90°， ∴∠F+∠EDF＝90°， ∴∠DGF＝90°， ∴AF⊥DE；
（3）HMNP是正方形． 证明：如图，
设PN，DE交AF于点O，MN交AF于点Q， ∵点H，M，N，P分别为AE，EF，FD，AD的中点， ∴PN、HM分别是△ADF、△AEF的中位线， ∴PN＝HM＝
AF，PN∥HM∥AF； DE，MN∥PH∥DE，
同理MN＝PH＝
∴四边形HMNP是平行四边形， ∵AF＝DE， ∴PN＝MN，
∴四边形HMNP是菱形， ∵AF⊥DE， ∴∠DGF＝90°，
∴∠NOG＝∠NQG＝90°， ∴四边形HMNP是正方形．
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