高中数学必修22.1 直线与圆锥曲线的位置关系 教案

直线与圆锥曲线的位置关系

【教学要求】

1.深刻领会曲线与方程的概念．

2.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定，能够应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些实际问题． 【典型例题】

例1．已知直线l过抛物线y2px(p0))的焦点F，并且与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，证明:(1)焦点弦公式AB=x1x2p；(2)若l的倾斜角为，则AB=

2112p；(3)+

FAFBsin2为常量；(4)若CD为抛物线的任何一条弦，则直线l不可能是线段CD的垂直平分线．

分析：已知直线l过抛物线的焦点，分斜率存在、不存在将直线方程设出，将直线方程和抛物线方程联立，运用

韦达定理，设而不求即可简捷求解.

证明：(1)作AH1⊥准线l1于H1，作BH2⊥l1于H2， 由定义AF=AH1，BF=BH2,准线l1:x∴弦长AB=AF+BF=AH1+BH2=x1p, 2ppx2=x1x2p； 222p(2)当=90°时，弦长AB为通径长．∴AB=2p=． 2sin90p当≠90°时，F (,0)，设l的斜率为k．

2则ktan,作AC∥y轴，BC∥x轴，AC、BC交于C，则C(x1,y1)，∠ABC=，

pyk(x)2 y22px22① ②k2p2k220 ∴x1x2p 将①代入②，得kx(k2)px24k2ACk21tan212p∴AB= x1x2p=2p=2p= ∴AB=

sin2k2tan2sin2app2pp(3)利用抛物线的焦半径公式，得FAFB(x1)(x2)=x1x2(x1x2)

2422p2p2p21p2222p(12)＝＝ p(12)p(1cot) 424kksin2研卷知古今；藏书教子孙。

2p2AB11FAFBsin=2为定值； ∴+===

FAFBFAFBFAFBpp2sin2(4)显然当lox时，弦CD不存在．

c2d22p当l不与x轴垂直时，设C (,c)，D (,d)，且c≠d，则kCD =．

2p2pcd若l⊥CD，则kl=-

cd ∵kl≠0，∴cd≠0 2pc2d21c2d2设线段CD的中点为M(x0,y0),则x0=(+)=,

4p22p2py0=

cdppcd1x0cd，将x0代入方程ykl(x)求得：y0=-( x0-)=(-) 2p2222p21x01c2d21∵-=-≠1∴ ≠(cd)= y0∴线段CD的中点M不在直线l上． y02p2224p小结：用抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为抛物线上的点到准线的距离来计算，简化了运算，(2)中没有运用弦长公式，而是利用(1)的结论或结合图形，灵活运用平面几何知识解直角三角形，证明较简捷，本题要注意运用直线方程的点斜式时，斜率是否存在，解答时要分斜率不存在(α=90°)和斜率存在(α≠90°)两种情况证明，同样(4)中也要对直线l的位置进行讨论，同时要注意解题的严密性．

x22 例2．设双曲线C：2y1(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A、B．

a(1)求双曲线C的离心率e的取值范围； (2)设直线l与y轴的交点为P，且PA=

5PB，求a的值． 12分析：由曲线C与直线l有两个不同交点，得其两方程联立后二次方程的△>0，这样便得出a、c的不等式，再求解

c=e即完成第一问，借助向量相等条件，韦达定理，列出只含a的方程，再求解． a解：(1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

x222y12222 有两个不同的实数解，消去y并整理得(1a)x2ax2a0， axy1211a21a01 aae2所以4解得0<<且≠1,双曲线的率心率==222aa4a8a(1a)0研卷知古今；藏书教子孙。

∵0由此得x1

55PB ∴(x1,y11)(x1,y11)．

12125x2，由于x1、x2都是方程①的根,且1-a2≠0 122a22a22a22891752所以,．消去x2,得= x2 x2 22212601a121a1a由a0,所以a=

17． 13小结：本题考查直线、双曲线的概念性质，韦达定理、不等式、平面向量的运算，解方程等知识，考查数形结合，方程、不等式的思想方法，以及推理运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力，此题涉及知识点多，运算量大，需要学生具有一定的数学能力才能解出此题．

F2(4,0)，例3.已知某椭圆的焦点是F1(4,0)、过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点B，

且F1B+F2B=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)，满足条件F2A、F2C成等差数列． (1)求该椭圆的方程； (2)求弦AC中点的横坐标；

(3)设弦AC的垂直平分线的方程为ykxm，求m的取值范围．

分析：本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，考查综合运用知识的能力、逻辑推理能力、运算能力． 解：(1)由椭圆定义及条件知：2aF1B+F2B=10．∴a=5,又c=4，∴ba2c2=3．

x2y2∴椭圆方程为+=1．

259(2)∵B(4,yB)在椭圆上，∴F2B=yB=法一：∵右准线为x9． 5254425425,离心率e，∴F2A=(x1), F2C=(x2) 4554549425425由F2A、F2B、F2C成等差数列，得(x1)+ (x2)=2×∴x1x28．

55454设弦AC中点P(x0,y0)，则x0x1x28==4． 222222法二：由F2A、F2B、F2C成等差数列，得(x14)y1+(x24)y2=2×

9 ① 5x2y29222∵A(x1,y1)在椭圆+=1上，∴y1=y1)． (25x12)(25-x125925研卷知古今；藏书教子孙。

2∴F2A=(x14)2y1=x18x1162941(25x12)=(5x1)2=(254x1) ② 2555151118将②、③代入①，得(254x1)+(254x2)= ∴x1x28．

555设弦AC中点P(x0,y0)，则x02设C(x2,y2)，同理可得 F2C=(x24)2y2=(254x2) ③

x1x28==4． 2222(3)法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆9x25y925上，

∴9x125y1925 ④ 9x125y1925 ⑤ 由④-⑤，得9(x1x2)+25(y1y2)=0∴9×

22222222yy2x1x2yy2+25×1×1=0(x1≠x2)

x1x222将

yy2x1x2yy21=x0 =4，1=y0，1=-(k≠0)代入上式，得

x1x222k9425y0(251)=0(k≠0) , 由上式得ky0 (当k=0时也成立)，

36k由点P(4,y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0kxm. ∴my04ky02516y0y0. 9999y0 , 55由P(4,y0)在线段BB (B与B关于x轴对称)的内部，得-所以1616m. 551(x4) ⑥ k法二：∵弦AC的中点为P(4,y0),∴直线AC：yy0x2y22222将⑥代入+=1，得(9k25)x50(ky04)x25(ky04)259k0

259∴x1x250(ky04)25ky0 (当k=0时也成立) 以下步骤同法一． =8 解得

369k225小结： (1)法一根据圆锥曲线的统一定义，将圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而简化运算，法二用两点间距离公式，运算量较大．

(2)法一用代点相减法，既有弦的中点，又有斜率，法二用直线与圆锥曲线关系的一般方法进行处理．

x2y21，双曲线C2的左、右焦点分别为C1 的左、右顶点，而C2例4．已知椭圆C1的方程为4的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；

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(2)若直线l：ykx2与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点AOB<6(其中O为原点)，求k的取值范围． 和B满足OA·

x2y222222解：(1)设双曲线C2的方程为22=1，则a413，再由abc得b=1,

abx2y21． 故C2的方程为3x2y21,得(14k2)x282kx40. (2)将ykx2代入4由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

22222△1=(82)k16(14k)16(4k1)0,即k1． ① 4x2y21，得(13k2)x262kx90． 将ykx2代入3由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A、B，得

213k0 2222(62k)36(13k)36(1k)0即k212且k1． ② 362k9xx， =． AB2213k13k2)(kxB2)

设A(xA,yA),B(xB,yB),则xAxB

OB<6得xAxB+ yAyB <6，而xAxB+ yAyB = xAxB+(kxA由OA·

262k3k279＝(k1)xAxB2k(xAxB)2=(k1)+2k +2=，

13k23k2113k223k2715k21313122kk于是<6，即>0解此不等式得或, ③

1533k213k21由①、②、③得

1113k2或k21, 431513133113)∪(,)∪(,)∪(,1)． 15153223故k的取值范围为(1,小结：此题是一个椭圆与双曲线的混合问题，应熟练掌握椭圆、双曲线的几何性质，注意分清两者中a、b、c之间的关系，(2)中利用直线与椭圆，双曲线相交构造关于k的不等式组，准确合理的计算是成功的关键．

【巩固练习】

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一、选择题：

y2xx31．直线yx1与曲线=1的公共点个数为 ( ) 492A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

y21的交点为A、B，P为2．设直线l：2xy20关于原点对称的直线为l,若l与椭圆x42椭圆上动点，则使△PAB面积为

1的点P的个数为 （ ） 2A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：

x2y23．过原点与双曲线=1交于两点的直线的斜率的取值范围为 ． 434．过点(0,2)的直线l与抛物线y4(x2)仅有一个公共点，则满足此条件的直线l共有 条． 三、解答题：

2x2y25.已知椭圆E：2+=1(abo)，以F1(c,0)为圆心，以ac为半径作圆F1，过点B2(0,b)作

ab2圆F1的两条切线，设切点为M、N．

(1)若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1(0,b)时，求此椭圆的离心率；

(2)若直线MN的斜率为1，且原点到直线MN的距离为4(21)，求此时的椭圆方程； (3)是否存在椭圆，使得直线MN的斜率k在间(23， )内取值？若存在，求出椭圆E的离心率22e的取值范围；若不存在，请说明理由．

126.设抛物线yx的焦点为F，准线为l，过点F作一直线与抛物线交于A、B两点，再分别过点A、

2B作抛物线的切线，这两条切线的交点记为P．

(1)证明直线PA与PB相互垂直，且点P在准线l上；

FB= FP2恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． (2)是否存在常数，使等式FA·

答案：1．B 2．B 3．(,-

33)∪(,+∞) 4．1 2213x2y2) 6．(2)＝1 1；(3)(,5．(1)e31；(2)

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