椭圆教案

第一节：椭圆及其标准方程

教学目标

1．知识与技能目标

（1）掌握椭圆的定义，明确焦点、焦距概念，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程． （2）能灵活应用椭圆标准形式确定椭圆的标准方程． 2．过程与方法目标

（1）通过概念的引入及方程的推导，使学生经历科学研究的观察、探索、猜想、论证的过程．

（2）通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步熟练掌握求曲线方程的步骤，并进一步领悟数形结合和等价转化的思想方法，深化对坐标法的理解． 3．情感、态度和价值观目标

通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生的求知欲，培养学生的创新意识，同时进行数

学美育．

教学重点 椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式． 教学难点 坐标系的建立和椭圆标准方程推导． 难点突破关键 掌握建立坐标系与根式化简的方法．

教学过程设计 一、导入

１ 前面，同学们研究了“求平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹”问题，不仅知道了轨迹的形状是圆，而且推导了圆的方程．本节课老师和同学们一起以已知轨迹问题为基础，探求新的轨迹问题． 【置疑】如果老师将已知轨迹问题中的“一个定点”改为“两个定点”，同学们能否在老师改动的基础上进一步改动其它条件,提出其他的轨迹问题呢?

(对于学生的回答,教师尽量给予鼓励、指导.估计学生可能将“距离等于定长”改为“距离相等”、“距离和为常数”、 “距离差为常数”，等等．) 【介绍】事实上，构造新轨迹问题的方法很多．本节课我们将对“距离和为常数”的新轨迹问题进行研究．用几何画板交流演示“距离和为常数”的轨迹图形．

２ 生活中“新轨迹图形”很多，如：（利用多媒体展示太阳系行星运行图）地球等天体的运行轨道，圆盘在阳光下投在墙上的影子，等等．请同学们进一步举例．激发学生学习椭圆的积极性并对椭圆有一个直观的了解．

３ 教师事先准备好一根细线，教师先在黑板上取两组各两个定点F1和F2（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两组各两名学生分别按教师的要求在黑板上画一个椭圆：把细线的两端固定在黑板上的F1和F2两点（如图），用粉笔尖把细绳拉紧，使笔尖在黑板慢慢移动，画出一个椭圆． 4 其他同学在下面画图并观察：改变绳长或改变F1和F2两点的距离，画出的图形有何变化？

5 用几何画板交流演示改变绳长或改变F1和F2两点的距离，图形的变化情况．

二、新课

(一).椭圆定义F1和F2【设问】通过画图过程，观察椭圆上的点所满足的条件，同学们能类比圆的定义给出椭圆的定义吗？

【助学】若同学提到了“到两点距离之和等于常数的点的轨迹”，教师可因势利导,帮助学生分析圆定义中的关键字 “在平面内” 的含义、“两个定点F1、F2的距离”与“距离的和常数”对轨迹的影响，挖掘出定义的内涵．最后由学生总结出椭圆的定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点轨迹叫做椭圆．

【介绍】这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 【学情反馈一】

1. 点P到两定点F1（－4，0）、 F2（4，0）的距离和为8，则动点P的轨迹为（ ） A 椭圆 B 线段F1F2 C 直线F1F2 D 不能确定

1

2. 已知椭圆C的焦点为F1、F2,过F1的直线与椭圆C交于A、B两点,则△ABF2的周长为 . (二) 椭圆的标准方程

【引入】 由椭圆的定义，我们可以知道它的基本几何性质:椭圆上任意一点到两焦点的距离和为常数，且常数大于焦距．为了进一步研究椭圆还具有哪些性质,需要用坐标法先建立椭圆的方程，然后通过方程研究椭圆的性质．

【提问】哪位同学愿意回答：求曲线的方程一般有哪几个步骤？（多媒体展示） １．椭圆的标准方程的推导． ①建系设点

师问:建立坐标系是求曲线方程重要而关键的一步．对于一条曲线来说，建立的坐标系不同，是否会影响曲线的形状呢？（不会）一般建系应遵循什么原则？（简单、优化的原则）.为使点的坐标、几何量的表达式简单化，坐标系应如何选取呢?请同学们就近几个人共同讨论,找到自己认为可行的方案. 1分钟后请学生回答方案并陈述理由.教师引导学生评议、归纳:注意充分利用图形的对称性，使学生认识到以下的方案是恰当的． 以两定点F1、F2所在直线为 轴，线段F1立直角坐标系（如图）． 师问:如何设点坐标呢?

学生回答设F1(c,0)、F2(c,0)即设|F1F2 ②点的集合

由定义不难得到椭圆的集合为P ③坐标表示

．

④化简方程

在同学们化简方程过程中，教师巡视，适当给予提示，最后板书．

ⅰ原方程要移项平方，使之抵消部分项，；一次平方后还含有根式可整理后再平方，化为

；

ⅱ为了使方程简洁和谐，体现出椭圆曲线的对称美,注意到a>c>0,引入

222222F2的垂直平分线为 轴，建

|2c．(c0)时,教师要引导学生明确这样设值的合理性.

．

教师板书:设M(x,y)为椭圆上的任意一点，则又设M与F1、F2的距离的和等于

MMF1MF22a．

>0，使 ，从而

xyx2y2得到方程bxayab.联想直线截距式方程1,进一步整理得到方程 221，

abab(abo)

(关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材不要求，故只给予简单说明．)

x2y2 方程221，(abo)叫做椭圆的标准方程，它表示的椭圆的焦点在 轴上，焦点是

abF1(c,0)、F2(c,0)．这里c2a2b2．

【置疑】在求椭圆的标准方程时，如果使点F1、F2在 轴上，点F1、F2的坐标分别为F1(0,c)、

，那么所得方程是什么？

y2x2【助学】教师引导学生大胆猜想、小心求证、得出结论：所得方程为221，(abo)，这个方

ab程也是椭圆的标准方程．

２．两种标准方程的比较（引导学生归纳）．

1两种标准方程中的焦点位置如何分辨?焦点坐标分别是什么? ○

2两个方程中a、b、c三者都有哪些关系,取值范围是什么? ○

3方程Ax○

2By2C (A、B、C为常数)满足什么条件时是椭圆方程?如何确定其焦点坐标?

2

2

(学情反馈二) １．方程5x+4y=20的焦点坐标是 ．

22

２．方程4x＋ky＝1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求实数k的取值范围. （三）勇闯三关

第1关 化简下列方程，使结果不含根式：

2

x2(y3)2x2(y3)210

y2x21 【学生解答】

2516y2x21表示什么曲线？焦点坐标？若该曲线上一点 师追问:方程

2516另一个焦点的距离是多少？

第2关 求适合下列条件的椭圆的标准方程．

两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且经过点(【学生解答】因为椭圆的焦点在

到一个焦点的距离等于3，则它到

35,)． 22y2x2轴上，所以设它的标准方程为221(abo)．

ab 由椭圆的定义知： ∴

，又

∴

y2x21． 所以所求椭圆的标准方程为

106y2x2 另法：设所求的标准方程为221(abo)

ab52322y2x222a101． 依题意得2 . 所以所求椭圆的标准方程1 , 解得22106bab622ab4第3关 已知 B(3,0).C(3,0)，|CA|、|BC|、|AB|成等差数列，求点 的轨迹方程． x2y21 【学生解答】

3627（四）总结提炼

1．椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数

2a(2a|F1F2|)的点的轨迹是椭圆． 当2a|F1F2|时，动点的轨迹为线段F1F2，当2a|F1F2|时，动点不存在．

2． 两种椭圆的标准方程的异同点

方程 x2y221(abo) 2aby2x221(abo) 2ab焦点 不 F1(c,0)、F2(c,0) Y F1(0,c)、F2(0,c) Y F2 同 点 图形 3

F1 O F2 x O F1 X 相同点 a2b2c2 ac0 ab0 （五）布置作业 习题8·1第1、2、3、4题. (六) 趣味探索

【置疑】下面我们一起观看一个折纸游戏动画（如图1）.观看之前,老师先介绍一下折纸方法．

（其中 点表示圆心， 点表示圆内除 点以外的任意一点．）

点（图2），将折痕用笔画上颜色．继续上述过程，绕圆心

将圆纸片翻折，使翻折上去的圆弧通过

一周．你将会看到什么？

（教师引导学生观察课件演示动画：如图4，设折痕为 ，那么 点关于直线 的对称点 一定在圆弧上．连

接 ，交 与 点，跟踪点轨迹．）

（一般学生都能回答：看到了椭圆（如图3）．

【置疑】想一想为什么会出现椭圆形状呢？

课堂教学设计说明

本教学设计方案遵循 “主体教学思想”，在教学中应用直观性原则，注意借助于直观、形象的模型或图片，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念．在有了一定感性认识的基础上再讲解选择适当坐标系的一般原则，学生较易接受，实现了向学生逐步渗透坐标法的教学目的．推导椭圆的标准方程时，既注意不让根式化简的困难影响学生对椭圆的标准方程的推导过程的整体认识，进一步巩固曲线和方程的概念，又课上尽量让全体学生参与讨论，鼓励学生大胆探索，激发学生的学习兴趣、创新意识和学生的团结协作的团队精神．

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