人教版 高中数学【选修 2-1】3.1.4空间向量运算的坐标表示导学案

3.1.4 空间向量运算的坐标表示

【使用说明及学法指导】

1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】

1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式； 2. 会用这些公式解决有关问题.

【重点】利用两个向量的基本公式解决立体几何中的问题． 【难点】空间向量的基本公式的应用 一、自主学习

1预习教材P95~ P97, 解决下列问题

复习1：设在平面直角坐标系中，A(1,3)，B(1,2)，则线段︱AB︱＝ .

复习2：已知a3,2,5,b1,5,1，求：

⑴a＋B. ⑵3a－b； ⑶6a. ； ⑷a·b. 2.导学提纲

1) 向量的模：设a＝(a1,a2,a3)，则｜a｜＝ 2) 两个向量的夹角公式： 设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，由向量数量积定义a·b＝|a||b|cos＜a,b＞，

又由向量数量积坐标运算公式：a·b＝ ， 由此可以得出：cos＜a,b＞＝

① 当cos＜a、b＞＝1时，a与b所成角是 ； ② 当cos＜a、b＞＝－1时，a与b所成角是 ； ③ 当cos＜a、b＞＝0时，a与b所成角是 ， 即a与b的位置关系是 ，用符合表示为 . ④ 设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴ a//b  a与b所成角是  a与b的坐标关系

为 ；

⑵ a⊥ba与b的坐标关系为 ； 3) 两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则线段AB的长度为：_____________________. 4) 线段定比分点的坐标公式：

（1）在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则线段AB的中点坐标为: . （2）在空间直角坐标系中，平面中的定比分点坐标公式是否适用？已知点

A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，且APPB,则P的坐标为：

___________________.

二、典型例题

例1.1. 若a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

a1a2a3是a//b的（ ） b1b2b3A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不不要条件 2. 已知a2,1,3,b4,2,x，且ab，则x＝ .

3. 已知A1,0,0,B0,1,1,OAOB与OB的夹角为120°，则的值为（ ）

666 B. C.  D. 6 6664. 若ax,2,0,b3,2x,x2，且a,b的夹角为钝角，则x的取值范围

A. 是（ ）

A. x4 B. 4x0 C. 0x4 D. x4

5. 已知 a1,2,y,bx,1,2， 且(a2b)//(2ab)，则（ ）

11A. x,y1 B. x,y4

321 C. x2,y D. x1,y1

46. 已知a+b+c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，则向量a与b之间的夹角a,b为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．以上都不对

,kab与2ab互相垂直，则k的值是7.已知a1,1,0,b1,0,2且（ ）

713A. .1 B. C. D.

5558. 若A(m＋1，n－1,3)， B. (2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n=

例2 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中

(1)点E1,F1分别是A1B1,C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所成的角的余弦值．

AB(2)B1E1D1F111，求BE1与DF1所成角的余弦值．

3

ABC90,CB1,CA2,AA16,点M例3在直三棱柱ABC—A1B1C1中，

是CC1的中点，求证：AMBA1.

变式：正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是BC的中点，在直线CC1上求一点N，使得MNAB1

三、拓展训练

例4棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1、O2、O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心．

(1)求证：B1O3⊥PA；

(2)求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值；

(3)求PO2的长．

变式：直三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，N是AA1的中点．

(1)求BN的长；

(2)求BA1，B1C所成角的余弦值．

四、变式训练：课本第97页练习1-3题

五、课后巩固

1.课本第98页A组5.6.7.8.9.10.11题

2..在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的中点，G在棱CD1

上，且CG＝CD，H为C1G的中点，

4

(1)求证：EF⊥B1C；

(2)求EF与C1G所成的角的余弦值； (3)求FH的长.