19、等 差 数 列

1. 等差数列的定义

(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．

(2) 符号语言：an＋1－an＝d(n∈N)． 2. 等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 推广：an＝am＋(n－m)d. 3. 等差中项

a＋b

如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫a和b的等差中项，且有A＝．

24. 等差数列的前n项和公式

n（n－1）n（a1＋an）

(1) Sn＝na1＋d．(2) Sn＝．

225. 等差数列的性质

(1) 等差数列{an}中，对任意的m、n、p、q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝apaq．特殊的，若m＋n＝2p，

则am＋an＝2ap．

(2) 等差数列{an}的通项公式可以写成an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)．

(3) 等差数列{an}中依次每m项的和仍成等差数列，即Sm、S2m－Sm、S3m－S2m、…仍成等差数列．

题型1 数列中的基本量的计算

例1 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝5，S3＝9.(1) 求首项a1和公差d的值；(2) 若Sn＝100，求n的值．

变式训练：设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝－62，S6 ＝－75，求： (1) {an}的通项公式an 及其前n项和Sn ；(2) |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a14|. 题型2 判断或证明一个数列是否是等差数列

例2 已知等差数列{an}中，公差d>0，其前n项和为Sn，且满足a2·a3＝45, a1＋a4＝14. (1) 求数列{an}的通项公式；

Sn1

(2) 设由bn＝(c≠0)构成的新数列为{bn}，求证：当且仅当c＝－时，数列{bn}是等差数列．

n＋c21

变式训练：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.

2

1

(1) 求证：是等差数列；(2) 求an的表达式．

Sn

题型3 等差数列的性质

例3 (1) 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32.若am＝8，则m＝________． (2) 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________．

变式训练：(1) 等差数列{an}中，Sn是{an}前n项和，已知S6＝2，S9＝5，则S15＝________；

题型4 等差数列中的最值问题

例4 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且满足a2＋a4＝14，S7＝70.

2Sn＋48

(1) 求数列{an}的通项公式；(2) 若bn＝，则数列{bn}的最小项是第几项，并求该项的值．

n

变式训练：已知在等差数列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n项和，S10＝S22. (1) 求Sn；(2) 这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．

分层演练：

A、1.在等差数列{an}中(1) 已知a4＋a14＝2，则S17＝________；(2) 已知a11＝10，则S21＝________；

(3) 已知S11＝55，则a6＝________；(4) 已知S8＝100，S16＝392，则S24＝________．

2.在等差数列{an}中，S12＝354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d＝________． 3.已知数列{an}为等差数列，若a1＝－3，11a5＝5a8，则使前n项和Sn取最小值的n＝________． 4. (2013·重庆)若2、a、b、c、9成等差数列，则c－a＝________．

B、1. (2013·广东)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________． 2. (2013·安徽)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝________．

3. (2013·新课标)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝________． C、

1. 已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1) 求a及k的值； (2) 设数列{bn}的通项bn＝

Sn

，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn. n

a11

2. 已知数列{an}为等差数列，若＜－1，且它们的前n项和Sn有最大值，求使得Sn＜0的n的最小值．

a10

3. (2013·大纲卷)等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.

1

(1) 求{an}的通项公式；(2) 设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.

nan