二次函数专题讲解

一、知识综述：

1.定义：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数yaxbxc用配方法可化成：yaxh222b4acb2k的形式，其中h，k。

2a4a3.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4acb2bb4acb2（，） （1）公式法：yaxbxcax，∴顶点是，对称轴是直线. x2a4a2a2a4a22 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直

2线xh，顶点是（h,k）.

224.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；

22⑤yaxbxc. 它们的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) (h,k) 2yax2 x0（y轴） 当a0时 开口向上 当a0时 开口向下 yax2k yaxh 2x0（y轴） xh yaxhk2xh xb 2ayax2bxc b4acb2，() 2a4a开口大小与｜a｜成反比，｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大。 5.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

22 （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2. 6.二次函数图象的平移

左加右减（对X），上加下减（对Y）。 二、考点分析及例题解析

考点一：二次函数的概念

1

例1：如果函数y(m3)xm考点二：二次函数的图象

23m2mx1是二次函数，那么m的值为 。

例2（2010年广东省广州市）已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．

（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；

（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；

x y … … y … … （3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．

1-5-4-3-2-1O12345-1x

a

例3 (2010年安徽省芜湖市)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝ 与正比例函数y＝（b＋c）x

x在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）

例4 (2010年兰州市)抛物线yxbxc图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为

2yx22x3，则b、c的值为（ ）

A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2

例5.右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，•观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______． 变式训练：

1、在同一坐标系中，直线yaxb和抛物线yaxbxc的图象只可能是（ ） Y Y Y Y

X X X O O O O

2、抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（ ） A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

2

2X y A C O x B 第4题

考点三：确定二次函数的解析式

例4：（2010年宁波市）如图，已知二次函数y12、B（0，－6）两点。 xbxc的图象经过A（2，0）

2（1）求这个二次函数的解析式

（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积。 变式训练：

1、已知：函数yaxbxc的图象如图：那么函数解析式为（ ） （A）yx2x3 （B）yx2x3 （C）yx2x3 （D）yx2x3

考点四：最值问题

例5：矩形ABCD的边AB=6 cm，BC=8 cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角，设BP=x cm，CQ=y cm，试以x为自变量，写出y与x的函数关系式.并求出CQ的最大值。

例6：如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点。点A,C的坐标分别是(-1,0),(0,

22222y 3 -1 3 x

o 3) 2（1）求此抛物线对应的函数解析式；

（2）若点P是抛物线上位于轴上方的一个动点，求△ABP的面积的最大值。

变式训练：

1、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这个正方形面积之和的最小值是________cm。

2、 如图，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y． （1）用含y的代数式表示AE；

（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；

（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．

考点五：以二次函数为基架的综合题

例7：某超市经销一种销售成本为每件40元的商品。据市场调查分析，如果按每件50

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A D Q B P C 元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周的销售量就减少10件。设销售单价为每件x元（x≥50）,一周的销售量为y件。

（1）写出y与x的函数关系式；（标明x的取值范围）

（2）设一周的销售利润为s，写出s与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，香洲随着单价的增大而增大；

（3）在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

变式训练：

某商店经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出210件；销售单价每涨1元，则每个月少卖10件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。 (1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大的利润？最大利润是多少元？

三、课堂练习

1．已知二次函数ya(x1)b有最小值 –1，则a与b之间的大小关系是 （ ） A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定

2．（2008，长沙）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，•则下列关系式不正确的是（ ）

A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b2－4ac>0

3．（2008，威海）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（ ） A．y1A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+2

5．（2008，泰安）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数，•且m≠0）的图像可能是（ ）

2

4

6．求下列函数的最大值或最小值．

（1）yx2x； （2）y2x2x1．

7．已知二次函数yx6xm的最小值为1，求m的值．

8．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：

222y0.1x22.6x43(0x30)．y值越大，表示接受能力越强．

（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？

9．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中

2

间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m． （1）求S与x的函数关系式；

2

（2）如果要围成面积为45 m的花圃，AB的长是多少米？

2

（3）能围成面积比45 m更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF． （1）求线段EF的长；

（2）设EG=x，⊿AGE与⊿CFH的面积和为S，

写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．

11．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？

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12. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程． 下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）． 根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

13．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；

（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

（三）解答

1、求实际问题中的二次函数的最值

(2008年黄冈市中考题) 四川汶川大地震发生后，我市某工厂A车间接到生产一批帐篷的紧急任务，要求必须在12天（含12天）内完成。已知每项帐篷的成本价为800元，该车间平时每天能生产帐篷20顶。为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了

提高。这样，第一天生产了22顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶，由于机器损耗等原因，当每天生产的帐篷数达到30顶后，每增加1顶帐篷，当天生产的所有帐篷，平均每顶的成本就增加20元。设生产这批帐篷的时间为x天，每天生产的帐篷为y顶。

（1） 直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2） 若这批帐篷的订购价格为每顶1200元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区，

设该车间每天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出该车间捐献给灾区多少钱？

2、 利用图象信息求最值

(2008年南宁市中考题)随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图甲所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图乙所示（注：利润与投资量的单位：万元）

（3） 分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；

（4） 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是

多少？

15.(12分)有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天.如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种

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费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元.

(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式;

(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式. (3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？

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