勒贝格积分_高等教育-微积分

到现在我们为了建立勒贝格积分已经做了必要的准备工作，我们有了可测集，可测函数的概念和理论，定义Lebesgue积分的条件已经成熟. 本章我们讨论Lebesgue积分的基本内容.

§5.1 测度有限集上有界可测函数的积分

1．有界可测函数积分的定义

mE，f是定义在E上的有界可测函数，定义5.1.1 设ERn，即存在，,R，

使f(E)(,). 若

D:l0l1ln是[,]的任一分点组，则记

(D)max(lklk1)，EkE[lk1flk].

1kn对任意的k[lk1,lk]，作和式

S(D)kmEk，

k1n称S(D)为f关于分点组D的一个和数.

如果存在常数A，使得对任意的0，总有0，当任意分点组D满足(D)时，有

|S(D)A|.

换句话说，limS(D)A时，则称f在E是Lebesgue可积的，并称A为f在E上的

(D)0Lebesgue积分，记作

Af(x)dm.

E有时为了简便也记AEf(x)dx，若E[a,b]，则记A[a,b]f(x)dx. 当f(x)是

baRiemann可积函数时，其Riemann积分仍沿用数学分析中的记法，记作

f(x)dx.

109

对[,]的任意分点组D:l0l1ln，有两个特殊的和数尤其重要：

S(D)lkmE[lk1flk]，

k1nnS(D)lk1mE[lk1flk].

k1称S(D)和S(D)分别为f关于分点组D的大和数与小和数. 显然对于f的任一和数

S(D)，有

S(D)S(D)S(D).

因此，极限limS(D)存在当且仅当limS(D)和limS(D)都存在且相等.

(D)0(D)0(D)0定理5.1.1 设ERn，mE，f是E上的有界可测函数，则f在E上Lebesgue可积.

证明 因为f(x)是有界可测函数，所以有,R，使f(E)(,).

设Ssup{S(D)}，Sinf{S(D)}. 即S是对(,)的所有分点组D的小和的上确界，

DDS是对(,)的所有分点组D的大和的下确界.

往证SS.

l1lm. 是对(,)任意的两个首先证明：SS，设D:l0l1ln，D:l0分点组，则

S(D)S，S(D)S.

将D和D合并起来构成一个新的分点组，记为D，D可以看成分点组D中又加进了一些分点，称为D的一个加细，假设对任意k，lk1与lk之间加入了某些分点lj1，

l（把lk1和lk算在内）即 j,lj1,,ljjk，

lk1lj1ljlj1ljjklk，

于是 S(D)lk1nk1mE[lk1flk]

110

lk1ijnjjknjjkk1mE[li1fli]

lk1iji1mE[li1fli]

)S(D ) S(D lmE[lik1ijnjjkkk1ijnnjjki1fli]

lmE[llmE[lkk1k1i1fli]

flk]

S(D). 这样，有

S(D)S(D)S(D)S(D)，

同样的方法，有

S(D)S(D)S(D)S(D).

这说明，对于任一分点组D，加细后的分点组D，其大和数不增，小和数不减. 且由

S(D)S(D)S(D)， S(D)S(D)S(D).

说明对于任意一个分点组的小和数不超过其它任意一个分点组的大和数. 此即

sup{S(D)}inf{S(D)}，

DD于是SS.

再证明SS.

设D为任意的分点组，则由于

S(D)SSS(D)，

有

0SSS(D)S(D)

111

(lk1nklk1)mE[lk1flk]

(D)mE.

这样对任意的0. 取分点组D*，使(D*)mE，则0SS. 由0是任意

的，有SS. 令SSS，往证limS(D)S. 注意到

(D)0S(D)SS(D)，S(D)S(D)S(D)，

所以

SS(D)S(D)S(D)(D)mE， S(D)SS(D)S(D)(D)mE.

因此

|S(D)S|S(D)S(D)(D)mE.

所以

(D)0limS(D)S.

即f在E上Lebesgue可积.

注：本定理还证明了f(x)在E上Lebesgue可积，则

Ef(x)dxsup{S(D)}inf{S(D)}.

DD例1 考察[0,1]上的Dirichlet函数D(x).

1,x[0,1]是有理数；

D(x)

0,x[0,1]是无理数. 则D(x)在[0,1]上Lebesgue可积，且

证明 D([0,1])[0,1]D(x)dx0.

{0,1}，对于(1,2)的任一组分点D: [1l0l1ln2.

当(D)max{lklk1}0时，0和1不能在同一个小区间上.

1kn设0(li1,li]，1(lj1,lj]，则1ijn. 取i[li1,li]，则

112

|i||i0||lili1|(D)，

因此当(D)0时，i0. 而E[lj1D(x)lj]Q（有理数集），所以

mE[lj1D(x)lj]0.

当ki,j时，由于E[lk1D(x)lk]，则

mE[lk1D(x)lk]0.

因此

S(D)kmE[lk1D(x)lk]

k1n imE[li1D(x)li]jmE[lj1D(x)lj] imE[l(x)i l]i1D于是

(D)0limS(D)limimE[li1D(x)li]0，

(D)0即

函数类要广.

[0,1]D(x)dx0.

我们知道D(x)在[0,1]不是Riemann可积的，所以Lebesgue可积函数类比Riemann可积

2．有界可测函数积分的性质

定理5.1.2 设ER，mE，f(x)、g(x)都是E上的有界可测函数，则 （i）对任意的aR，

nEaf(x)dxaf(x)dx；

E（ii）若E1,,Em是E的可测子集，EiEj(ij)，EE，则

ii1m（iii）

Ef(x)dxf(x)dxE1Emf(x)dx；

E(f(x)g(x))dxf(x)dxg(x)dx；

EE（iv）当f(x)g(x)a.e.于E时，

Ef(x)dxg(x)dx；

E证明 证（ii）. 只须就m2的情形证明.

113

设f(E)(,)，对(,)的任一分点组D:l0l1ln. 令E1iE1[li1fli]，E2iE2[li1fli]，i1,2,,n. 那么

EiE1iE2iE[li1fli]，且E1iE2i，

所以

mEimE1imE2i，i1,2,,n.

对于分点组D，用SE(D),SE1(D),SE2(D)分别表示f在E,E1,E2上对应D的大和数.

SE(D)limEi

i1nn lmElmEi1iii1i1n2i

SE1(D)SE2(D) 该等式对任意的分点组D成立.

对任意的0，存在(,)的分点组D1，使得

SE1(D1)inf{SE1(D)}D2，

也存在(,)的分点组D2，使得

SE2(D2)inf{SE2(D)}D2.

设D*D1D2，则D即是D1也是D2的加细，因此

*Ef(x)dxinf{SE(D)}SE(D*)SE1(D*)SE2(D*)

D SE1(D1)SE2(D2)由0是任意的，所以

E1f(x)dxf(x)dx

E2同样考虑小和数和

Ef(x)dxf(x)dxf(x)dx.

E1E2DEf(x)sup{S(D)}可证相反的不等式，所以

Ef(x)dxf(x)dxf(x)dx.

E1E2证（iii）. 设f(E)(,)，g(E)(,)，

114

对(,)的任一分点组D:l0l1ln，

l1lm. 对(,)的任一分点组D:l0令EiE[li1fli]，EjE[lj1glj]  EijEi[lj1glj]

 E[li1fli,lj1glj]

Ej[li1fli]，(i1,2,,n;j1,2,,m.) 由此可知，E可分解为有限个互不相交的可测集的并.

EEijEiEj.

i1j1i1j1nmnm于是

Eij(fg)dx(lilj)mEijlimEijljmEij.

E(fg)dx(fg)dx

i1j1nEijnm lmElmE

iijji1j1m(. ) Sf(D)SgD该不等式对(,)的任意分点组D和(,)的任意分点组D都成立. 因为

Efdxinf{Sf(D)}，gdxinf{Sg(D)}.

DED，使 所以对任意的0，有(,)的分点组D1和(,)的分点组D1Sf(D1)f(x)dxEE2， .

Sg(D1)g(x)dx因此可得

2E(fg)dxSf(D1)Sg(D1)

Ef(x)dxgx(dx)

E由0是任意的，有

115

E(fg)dxf(x)dxg(x)dx.

EE同样考虑小和数及所有小和数的上确界可得相反的不等式. 因而

E(fg)dxf(x)dxg(x)dx.

EE证（i）. 引理1 若f(x)c（常数），xE. 则

Ef(x)dxcmE.

因为存在,R，使c. 对(,)的任一分点组l0l1ln. 若

c(li1,li]，1in，则mE[li1fli]mE，任取i(li1,li]，则

|ic|lili1(D).

因此当(D)0时，ic.

而当ki时，E[lk1flk]，因而mE[lk1flk]0，于是

(D)0limmE[lkk1nk1flk]limimE[li1fli]cmE.

(D)0以下证明

Eaf(x)dxaf(x)dx.

E若a0，则af(x)0，xE. 由引理1，

Eaf(x)dx0mE00f(x)dxaf(x)dx.

EE若a0，设af(x)，对(,)的任一分点组

D:l0l1ln.

由于

af(x)a，分点组D相当于(,)的一个分点组

aalllD1:01n.

aaaaa任取i[li1,li]，则

nilli1,i. aaanimE[li1afli]imEi1i1lli1fi，

aa而

116

(D1)0limai1ninlilli1lmEfalimimEi1fiaf(x)dx，

(D1)0Eaaaaai1a并且

(D)0(D1)0，

因此

nEaf(x)dxlim(D)0mE[lii1i1afli]

lima(D1)0i1nilli1imEfafx(dx).

Eaaa若a0，则a0. 则

0[af(a)f]dx

E  于是

Eafdx(a)fdx

EEafdx(a)fdx

EEafdx(a)fdxafdx.

EE综上，对任意的aR，有

Eaf(x)dxaf(x)dx.

E证（iv）. 引理2 定义在零测度集上的任何有界函数是可积的，而且积分为零. 事实上，设f(x)定义在E上，mE0，设f(x)，xE. 对(,)的任一分点组D:l0l1ln，则由E[li1fli]E，所以

mE[li1fli]0,i1,2,,n.

于是，任取i[li1,li]，

mE[lii1ni1fli]0，因此

Ef(x)dxlim(D)0mE[lii1ni1fli]0.

为证（iv），令F(x)g(x)f(x)，则F(x)0a.e.于E. 由引理2，不妨设F(x)0,xE.

117

设F(E)(,). 对(,)的任一分点组D:l0l1ln. 对每一个

1in，考察imE[li1Fli]，其中i[li1,li]，若i0，则当(D)0时，li0，

此时E[li1Fli]，因而

imE[li1Fli]0.

若i0，则由mE[li1Fli]0知imE[li1Fli]0，因此

于是

EF(x)dxlim(D)0mE[lii1ni1Fli]0，

EF(x)dxg(x()fx(dx) )E   因而

E ]x[g(x)(f(x))dEg(x)dxfx(dx)

EEg(x)dxfx(dx). 0EEg(x)dxf(x)dx.

E推论 设mE，且f(x)是E上的有界可测函数，则|Efdx||f|dx.

E证明 因为|f|f|f|，所以由定理5.1.2的（iv）和（i）有

|f|dxfdx|f|dx，

EEE即

|fdx||f|dx.

EE定理5.1.3 设mE，f(x)是E上的有界可测函数，若f(x)0a.e.于E，且

Ef(x)dx0，则f(x)0a.e.于E.

证明 因为f(x)0a.e.E，则mE[f0]0，且

E[f0]f(x)dx0，若能证明

mE[f0]0，则定理得证.

118

EE[f0]E[f0]E[f0].

1令EnEf，则E[f0]En，对任意取定的nN，有 ,n1,2,nn10f(x)dxEE[f0]f(x)dxE[f0]f(x)dx

  E[f0]f(x)dx

fx(dx)

Enf(x)f(x)E[f0]EnEn1mEn n所以mEn0,n1,2,，因此

mE[f0]mEnmEn0，

n1n1于是f(x)0a.e.于E.

§5.2 一般可测集上一般可测函数的积分

对于广义Riemann积分，有积分区间无限的广义积分和无界函数的广义积分，对于Lebesgue积分也有无限测度集上的积分和无界可测函数的积分的情形.本节的任务就是讨论这种一般情形的积分.

1．有限可测集上无界可测函数的积分

（i）非负函数情形 设ERn，mE，f(x)是E上的非负可测函数.NR，称

[fN]x()mifnx{为N(f(x)的N截断函数.

有了N截断函数的概念，我们可以构造有界可测函数列{fn(x)}.其中

fn(x)[fn]x(.n)1,2,.显然，这样构造的函数列{fn}满足：

f1(x)f2(x)fn(x)，xE.

并且limfn(x)f(x).因而

119

所以极限limnEf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx，

EEEfn(x)dx存在（可能是）.

定义5.2.1 设ERn，mE，f(x)是E上的非负可测函数.fn(x)[f]n(x)，

xE,n1,2,.称limfn(x)dx为f(x)在E上的Lebesgue积分.

nE记为：若

Ef(x)dxlimfn(x)dx.

nEEfn(x)dx是有限数，称f(x)在E上可积，若fn(x)dx，称f(x)在E上有

E积分值.

（ii）一般函数情形

定义5.2.2 设f(x)在ERn上可测，如果f(x)和f(x)中至少有一个在E上可积，那么称

Ef(x)dxf(x)dx为f(x)在E上的Lebesgue积分.

E记为：

Ef(x)dxf(x)dxf(x)dx.

EE当f(x)和f(x)都在E上可积时，称f在E上可积.

定义中要求f(x)和f(x)中至少有一个在E上可积是因为如果f(x)和f(x)在E上都不可积时，

Ef(x)dx且f(x)dx.此时

EEf(x)dxEf(x)dx()()，

没有意义，因而没有积分值.

若f(x)和f(x)中至少有一个在E上可积时，可能为或.无论当|Ef(x)dxEf(x)dx有意义，但

Ef(x)dx是有限数，或，我们都说f(x)在E上有积分值，

Ef(x)dx|时，称f在E上可积.

2．非有限测度可测集上的积分

（i）f(x)是非负可测函数

n设ER，mE.设

m{(x1,x2,,xn):|xi|m,i1,2,,n}.

120

令EmEm，则mEm，m1,2,，且E1E2Em是单调增加集列，有limEmmEm1mE.

由前面讨论，f(x)在每个Em上有积分值调增加数列，极限limJm存在（可能是）.

mEmf(x)dx.记JmEmf(x)dx.则{Jm}是单

定义5.2.3 设ERn，mE，f(x)是E上的非负可测函数.称

mlimJmlimmEmf(x)dx（Em如上说明）

为f(x)在E上的Lebesgue积分，记为

若

Ef(x)dxlimmEmf(x)dx.

Ef(x)dx是有限数，称f(x)在E上可积，若f(x)dx，称f(x)在E上有

E积分值.

（ii）f(x)是一般可测函数

n定义5.2.4 设ER，mE，f(x)是E上的可测函数.

如果

Ef(x)dx和f(x)dx至少有一个是有限数，则称f(x)dxf(x)dx为

EEEf(x)在E上的Lebesgue积分，记为f(x)dxf(x)dxf(x)dx.

EEE若

Ef(x)dx和f(x)dx都是有限数，称f(x)在E上可积.

E至此，非有限测度集和无界可测函数积分的概念已经建立，以下继续讨论积分的性质. 定理5.2.1 （1）设f(x)是E上的函数，mE0，则

Ef(x)dx0.

（2）设f(x)在E上可积，则mE[|f|]0，即f(x)是E上几乎处处有限的函数. 证明 （1）由mE0，f(x)在E上可测，所以[f]n和[f]n都是E上的有界可测函数(n1,2,)，从而

所以

E[f]n(x)dx0，[f]n(x)dx0，(n1,2,).

EEf(x)dxlim[f]n(x)dx0，

nE121

于是

Ef(x)dxlim[f]n(x)dx0.

nEEf(x)dxEf(x)dxEf(x)dx0.

（2）令E1E[f]，E2E[f].往证mE1mE20.用反证法，若

mE10，则对任意的正整数n，有

所以

Ef(x)dx[f]n(x)dxEE1[f]n(x)dxn，n1,2,，

Ef(x)dx，这与f(x)在E上可积矛盾.因此必须有mE10.同理可证mE20.

于是mE[|f|]m(E1E2)mE1mE20.

定理5.2.2 设f(x)在E上可测，则f(x)g(x)在E上非负可积，|f(x)|g(x),xE，也在E上可积，且

E|f(x)|dxg(x)dx.

E 证明 因为|f(x)|f(x)f(x)，所以f(x)g(x)，f(x)g(x).

对任意的正整数k,n有

极限

Ek[f]n(x)dxEk[g]n(x)dxEg(x)dx，

所以对每一个正整数k，{Ek[f]n(x)dx}，(n1,2,)是单调增加有上界的数列，有有限

而{Ekf(x)dxlim[f]n(x)dxnEkEkg(x)dx.

Ekf(x)dx}，(k1,2,)也是单调增加有上界的数列，也有有限极限

同理可证

Ef(x)dxlimkEkf(x)dxlimkEkg(x)dxg(x)dx.

EEf(x)dxEg(x)dx. 因此f(x)在E上可积.

由|f(x)|g(x)，xE，有[|f|]n(x)[g]n(x),n1,2,，所以对每一个正整数k，有

令n，有

Ek[|f|]ndx[g]n(x)dx,n1,2,.

Ek122

令k，有

Ek|f(x)|dxEkg(x)dx,k1,2,.

E|f(x)|dxEg(x)dx.

定理5.2.3 设E是可测集，则

（i）当E1,E2,,Em是E的互不相交的可测子集，EE，f(x)在E上有积分值时，

ii1mf(x)在每一个Ei上有积分值，且

Ef(x)dxE1f(x)dxE2f(x)dxEmf(x)dx.

特别地，当f(x)是E上的非负可测函数时，

（ii）对任意常数c，

Ef(x)dxEEif(x)dx，i1,2,,m；

cf(x)dxcf(x)dx；

E（iii）若f(x)，g(x)都是E上的可积函数，则

E[f(x)g(x)]dxEf(x)dxEg(x)dx；

（iv）若f(x)在E上有积分值，且f(x)g(x)a.e.于E，则

Ef(x)dxEg(x)dx；

（v）当f(x)，g(x)都在E上可积，且f(x)g(x)(xE)时，

Ef(x)dxEg(x)dx.

证明 证（i）. 只须就m2的情形证明，一般情形利用归纳法可证. 由定理5.1.2的（ii），对任意的正整数k,m，有

Ek[f]mdx[f]mdxEkE1[f]mdx[f]mdxfdxEkE2[f]mdx， [f]mdx，

EkEkE1EkE2先对m后对k取极限，有

EfdxfdxE1E2fdx， fdx.

EE1fdx123

E2若f(x)在E上有积分值，则是有限数，那么

Efdx和fdx至少有一个是有限数，不妨设fdxEEE1E1fdxE2fdx是有限数.从而fdx和E2fdx都是有限数，因而

f(x)在E1和E2上都有积分值，且

Ef(x)dxEfdxEfdx fdx

E1fdxE2E1fdxE2fdx

 E1f(x)dxE2f(x)dx.

当f(x)是E上非负可测函数时，由E(EEi)Ei，且(EEi)Ei，i1,2.则

Ef(x)dxEEif(x)dxEif(x)dxEif(x)dx,i1,2.

为证明（ii）和（iii），先证明如下结果：

引理1 若f(x),g(x)是E上的非负函数，c0，则对任意正整数n成立. （1）[fg]n[f]n[g]n[fg]2n； （2）c[f]n[cf]nc[f]n[]c[]1c，其中[]表示不超过

ncn的最大整数，而[f]n等表示f的cn截断函数.

证明 （1）先证[fg]n[f]n[g]n. 设x0E，若f(x0)n且g(x0)n，则

[f(x0)g(x0)]nf(x0)g(x0)[f(x0)]n[g(x0)]n.

若f(x0)和g(x0)中至少有一个不小于n，例如f(x0)n，则

[f(x0)g(x0)]nnn[g(x0)]n

[f(x0)]n[g(x0)]n.

再证[f]n[g]n[fg]2n.

由于[f]n[g]nfg，[f]n[g]n2n，所以

124

[f]n[g]nmin{fg,2n}

[fg]2n. （1）得证. （2）[cf]nmin{cf,n}cmin{f,}， 而

ncnnnmin{f,[]}min{f,}min{f,[]1}.

ccc所以

nnncmin{f,[]}cmin{f,}cmin{f,[]1}.

ccc于是

c[f]n[cf]nc[f]n. （2）得证.

[]c[]1c证（ii）. 若c0，则cf0(xE).对任何正整数k,m有

所以

Ek(cf)dx0dx0mEk0，

EkE(cf)dxlim(cf)dx0cfdx.

kEkE若c0，则(cf)cf，(cf)cf，由引理1的（2），

c[f]m[cf]mc[f]m[c][c]1，

因此

E(cf)dx(cf)dxlim[cf]mdx

EmkEk limmkEkcf[m]dx

[c]1 c另外

EEfdx.

E(cf)dx(cf)dx

mk limEkcf[mdx]

125

limmkEkc[f]mdx

[c]cfdx.

E因此同理所以

E(cf)dxcfdx.

EE(cf)dxcf1dx.

EE(cf)dxcfdx.

E当c0，可按定理5.1.2中的（i）相应的情形证明.

证（iii）. 先设f(x)和g(x)都是非负可测函数.由引理1的（1），对任意的正整数m，有

[fg]m[f]m[g]m[fg]2m，

所以对任意的正整数k，有

Ek[fg]mdx[f]mdx[g]mdx[fg]2mdx，

EkEkEk由f和g是可积的，有

mklim[[f]mdx[g]mdx]f(x)dxg(x)dx，

EkEkEE所以，

mklim[fg]mdxf(x)dxg(x)dxlim[fg]2mdx.

EkEEmkEk由左边不等式知fg可积，有

由右边不等式，有

E(fg)dxfdxgdx.

EE因此

Efdxgdx(fg)dx.

EEE(fg)dxfdxgdx.

EE再设f(x)和g(x)都是一般的函数.

由于(fg)fg，(fg)fg.因此若f,g都在E上可积，则fg也

126

在E上可积.

因为(fg)(fg)fg(fg)(fg)，所以

(fg)fgfg(fg)，

因而

由已证结果，有

E[(fg)fg]dx[fg(fg)]dx，

E所以

E[(fg)dxfdxgdxfdxgdx(fg)dx，

EEEEEE[(fg)dx(fg)dx(fdxfdx)(gdxgdx).

EEEEE此即

E(fg)dxfdxgdx.

EE证（iv）. 设f(x)g(x)a.e.于E，f(x)在E上有积分值，记E1[f(x)g(x)]，

E2[f(x)g(x)]，则mE20，E1E2，EE1E2.

由（i），

Efdxfdxfdx

E1E2gdxfdx

E1E2因为零测度集上的有界函数积分为零（§5.1引理2）.所以对任何正整数

m，

E2[f]mdx0，[f]mdx0，因而

E2E2fdxlim[f]mdx0，

mE2所以

E2E2fdxlim[f]mdx0.

mE2E2，f在f(x)dx0，同理g(x)dx0.因为f在E上有积分值，所以由（i）

E1E也有积分值，而在E1上，fg，因此g在E1上有积分值.

对任意的正整数m,k，由mEk，[g]m和[gm]都是有界函数，依测度有限集上有界

函数的积分定义，有

Ek[g]mdxEkE1[g]mdxEkE2[g]mdxEkE1[g]mdx.

令m，k，则

127

同理，

Egdxgdx.

E1Egdxgdx.

E1因为g在E1上有积分值，所以g在E上有积分值.并且

Egdxgdxg_dx

EEgdxgdx

E1E1 E1gdxE1fdxE1fdxE2fdxfdx.

E证（v）. 设F(x)g(x)f(x)，则F(x)0(xE)，并且F(x)在E上可积，且

EF(x)dx0，而f(x),g(x)都在E上可积，并且g(x)F(x)f(x).

由（iii）

Eg(x)dx[F(x)f(x)]dxF(x)dxf(x)dxf(x)dx.

EEEE至此定理证毕.

定理5.2.4（积分的绝对可积性） 设f(x)是E上的可测函数，则f(x)在E上可积的充要条件是|f(x)|在E上可积，并且|证明 若f(x)在E上可积，则

Ef(x)dx||f(x)|dx.

EEEfdx和fdx都是有限数，即f和f都在E上

可积，而|f(x)|f(x)f(x)，由定理5.2.3的（iii）有

E|f(x)|dxf(x)dxf(x)dx，

EE因而|f(x)|在E上可积.

反之，若|f(x)|在E上可积，则由f|f|，f|f|，由定理5.2.2，f和f都在E上可积，所以f在E上可积.

并且由|f|f|f|，有E|f|dxfdx|f|dx， 此即

EEEE|fdx||f|dx.

定理5.2.5（积分的绝对连续性） 设f(x)在E上可积，则对任意的0，存在0，

128

使得对于E的任意子集A，当mA时，就有|Af(x)dx|.

证明 （1）先证明在mE，且f(x)在E上有界的条件下结论成立.设

|f(x)|(xE)，则任取可测集AE,

|f(x)dx||f(x)|dxmA.

AA对任意的0，取，则当mA时，有

|f(x)dx|mAA.

（2）一般情形

f(x)在E上可积，则|f(x)|也在E上可积，由lim[|f(x)|]ndx|f(x)|dx知，

nEnE对任意的0，存在正整数N，使

E|f(x)|dx[|f(x)|]NdxEN2.

另一方面，由情形（1），对这个0，存在0，使当AEN，且mA时，有

A[|f(x)|]Ndx2，因此，当AE且mA时，便有

|f(x)dx||f(x)|dxAAA(AEN)|f(x)|dxAEN|f(x)|dx

[|f|]Ndx，

A(AEN)|f|dxAEN(|f|[|f|]N)dxAEN因为A(AEN)AENEEN，所以

|f(x)dx|AEEN|f|dx(|f|[|f|]N)dxENENAENAEN[|f|]Ndx

(|f|dx[|f|]Ndx)E[|f|]Ndx22.

例1 设f(x)在E[a,b]上可积，则对任何0，必存在E上的连续函数(x)，使

ba|f(x)(x)|dx.

证明 设enE[|f|n]，则E[|f|]en1n.因为{en}是单调减少集列，所以

limenen.

nn1而由mEba知，me1，

129

因而limmenm(limen)m(nne)mE[|f|]0

nn1由积分的绝对连续性，对任意的0，必存在正整数N，使NmeNeN|f|dx4.

令BNEeN，在BN上由Lusin定理，存在闭集FNBN和R上的连续函数(x)，使得

（1）m(BNFN)4N（2）当xFN时，f(x)(x)，且sup|(x)|sup|f(x)|N.

RFN；

所以

ba|f(x)(x)|dxeN|f(x)(x)|dx|f(x)|dxeNBN|f(x)(x)|dx

BNFNeN|(x)|dx|f(x)(x)|dx  

FN|f(x)(x)|dx

4NmeN4N2N0

442

.

§5.3 Lebesgue积分的极限定理

本节讨论如下的问题，假设{fn}是集E上的一个函数序列，按某种意义收敛到f，如果每个fn在某种意义下都有积分，f(x)是否有积分？如果f(x)也有积分，fn的积分之极限是否等于f(x)的积分？也就是极限与积分是否可以交换顺序的问题.我们会看到这个问题在Lebesgue积分范围内得到比在Riemann积分范围内更为完满的解决，这也正是Lebesgue积分的最大成功之处.

定理5.3.1（Lebesgue控制收敛定理） 设{fn(x)}是E上的可测函数列，F(x)是可积的控制函数，即|fn(x)|F(x)a.e.于E(n1,2,)，且F(x)在E上可积，如果

130

mfn(x)f(x)，则f(x)在E上是可积的，并且limfn(x)dxf(x)dx.

nEE证明 若mE0，结论显然成立，因此不妨设mE0.

m由于fnRiesz定理，存在{fn(x)}的子列{fni(x)}，使 f，由F·

limfni(x)f(x)a.e.于E，

i由|fni(x)|F(x)a.e.于E知|f(x)|F(x)a.e. 于E. 因为F(x)在E上可积，所以f(x)在

E上可积.

往证limnEfn(x)f(x)dx.

E（1）mE

因为F(x)在E上可积，由积分的绝对连续性，对任意的0，存在0，使当eE且me时，有

eF(x)dx4.

m又因为fnf，所以存在NN，使当nN时，有

mEnmE[|fnf|所以当nN时，

2mE]，

EnF(x)dx4，因此

|fn(x)dxf(x)dx||(fn(x)f(x))dx|

EEE   2 因此，limnEnE x|fn(x)f(x)|dEn|fn(x)fx()dx|EEnfn|x(f)xdx( )|F(x)dx.

2mEm(EnE )22Efn(x)f(x)dx.

E（2）设mE

因为F(x)在E上可积，对任意的0，取k,m充分大，使

所以

EF(x)dx[F]m(x)dxEk4，

131

EEkF(x)dxF(x)dxF(x)dx

EEkF(x)dx[F]m(x)dxEEk4

另一方面，在Ek上可测函数列{|fnf|}满足：

|fnf|2Fa.e.于Ek,n1,2,，

m|fnf|0，

mEk.

因此，由（1）的结果，存在正整数N，使当nN时

所以

EEEEk|fnf|dx2.

|fn(x)dxf(x)dx||fn(x)f(x)|dx

EEk|fn(x)fx()dx|F(xdx)Ekfn|x(f)xdx( )| 22EEk.

2

42因此

limfn(x)dxf(x)dx.

nEE综上定理得证.

定理5.3.1 设{fn(x)}是E上的可测函数列，F(x)是可积的控制函数，若

limfn(x)dxf(x)a.e. 于E，

n则f(x)在E上可积且limfn(x)dxnEf(x)dx.

定理5.3.1（勒贝格有界收敛定理） 设mE，{fn(x)}是可测集E上的可测函数列且测度收敛于f(x)，如果{fn(x)}一致有界，即存在常数M，使得对任意的xE和对任意的正整数n，有|fn(x)|M，则f(x)在E上可积，且有

Ef(x)dxlimfn(x)dx.

nE定理5.3.1对于Riemann积分不适用.

132

例1 设{r}是[0,1]中的全体有理数. 1,r2,,rn,作如下函数列：

1,xr1; f1(x)0,x[0,1]{r1}.1,xr1,r2; f2(x)0,x[0,1]{r,r}.12… … … … … … … …

1,xr1,r2,,rn; fn(x)0,x[0,1]{r,r,,r}.12n… … … … … … … …

那么{fn(x)}在[0,1]上一致有界，|fn(x)|1,x[0,1],n1,2,. 而且

1,x为[0,1]上的有理数；

fn(x)D(x)为x[0,1]上的无理数. 0,因为每个fn(x)在[0,1]上只有有限个不连续点，因而Riemann可积，然而D(x)在[0,1]上不是Riemann可积的.

定理5.3.2（勒维Levi，1875-1961，意大利数学家） 设 （i）{fn(x)}是E上非负可测函数列； （ii）fn(x)fn1(x) (xE,n1,2,)； （iii）f(x)limfn(x)，

n则

Ef(x)dxlimfn(x)dx.

nE证明 先设

Ef(x)dx，对任意的0，取正整数k,m，使

Ek[f]m(x)dxEf(x)dx2.

此处EkEk，k{(x1,x2,,xn)：|xi|k,i1,2,,n}.

注意到mEk，且在Ek上[f]m(x)lim[fn]m(x)，由Egoroff定理知，存在EEk，

n使mE4m，且在EkE上[fn]m(x)一致收敛到[f]m(x).设正整n0使nn0时，对一切

xEkE，都有

133

0[f]m(x)[fn]m(x)则当nn0时，

4(1mEk)

而

Efn(x)dxEkE[fn]m(x)dxEkE[f]m(x)dx4，

Ek[f]m(x)dxEkE[f]m(x)dx[f]m(x)dx

E 所以当nn0时，

EkE[f](dx)mx4，

Efn(x)dxEkE[f]m(x)dx4

Ek[f](dx)mx44

f(x)dx.

E因此limnEfn(x)dxf(x)dx，由0是任意的，有

Elimfn(x)dxf(x)dx.

nEE另一方面，对任意的n，显然有fn(x)f(x)(xE)，所以

从而limnEfn(x)dxf(x)dx，

EEfn(x)dxf(x)dx.

En综上得lim当

Efn(x)dxf(x)dx.

EEkEf(x)dx时，由积分定义，对任意的M0.存在k,m使得[f]m(x)dxM，

由[fn]m(x)[f]m(x)(n)与

Ek[f]m(x)dx及上面的证明，知

Eklim[fn]m(x)dx[f]m(x)dxM.

nEk于是

limfn(x)dxlim[fn]m(x)dx

nEnElim[fn]m(x)dx

nEk134

M.

由M0是任意的，有

limfn(x)dxf(x)dx.

nEE定理得证.

定理5.3.3（Lebesgue基本定理） 设{fn(x)}是可测集E上的非负可测函数列，

f(x)fn(x)，则f(x)dxfn(x)dx.

n1En1E证明 设gn(x)f(x),n1,2,，则{gii1nnn是E上非负可测函数列，且(x)}gn(x)gn1(x)(xE,n1,2,)，limgn(x)fn(x)f(x).

n1由Levi定理有

limgn(x)dx(fi(x))dxf(x)dx，

nEEi1E而

limgn(x)dxlim(fi(x))dx

nEnEi1nlimfi(x)dx

ni1En i1n1Efi(x)dx.

所以

Ef(x)dxfn(x)dx.

E定理5.3.4（积分对区域的可数可加性） 若Ei,i1,2,是E的互不相交的可测子集列，

EEi，当f(x)在E上有积分值时，则f(x)在每一个Ei上都有积分值，且

i1Ef(x)dxf(x)dx.

i1Ei135

f(x),xEn;证明 设fn(x)n1,2,

xEEn.0,则各fn(x)为E上非负可测函数，且

fn1n(x)f(x).

而

Efn(x)dxEEnfn(x)dxEnfn(x)dxEnf(x)dx，

由Lebesgue基本定理，有

同理可得

Ef(x)dx(fn(x))dxfn(x)dxf(x)dx.

En1n1En1EnEf(x)dxf(x)dx.

n1En由于f(x)在E上有积分值，则

Ef(x)dx与f(x)dx至少有一个不为，不妨设

EEf(x)dx，于是由

知在每一个Ei上

Eif(x)dxf(x)dx，

EEif(x)dx，因而f(x)在每一个Ei上都有积分值.并且

EEf(x)dxf(x)dxf(x)dx

Ef(x)dxf(x)dx

n1Enn1En(n1Enf(x)dxEnf(x)dx)

n1Enf(x)dx

定理5.3.5（Fatou引理，Fatou法国数学家，1878-1929） 设{fn(x)}是E上的非负可测函数列，则

证明 设

Enlimfn(x)dxlimfn(x)dx.

nE136

gn(x)inf{fn(x),fn1(x),,}n1,2,

则{gn(x)}是E上非负可测函数列，且gn(x)gn1(x),n1,2,，往证

limfn(x)limgn(x)，

nn事实上，

limfn(x)sup{inf{fm(x)}}

nnmnsup{inf{fn(x),fn1(x),}}

n supgnx(，)

nlimgn(x)sup{inf{gm(x)}}

nnmnsup{inf{gn(x),gn1(x),}}

nsupgn(x)，

n所以limfn(x)limgn(x).

nn因为

由Levi定理

Enlimfn(x)dxlimgn(x)dxlimgn(x)dx，

EnEnEnlimgn(x)dxlimgn(x)dx

nElimgn(x)dx

nElimfn(x)dx(gn(x)fn(x)).

nE所以

Enlimfn(x)dxlimfn(x)dx.

nE下面的例子说明Fatou引理中的不等号是可能出现的.

11n,x;2nn例2 设fn(x)

0,0x1或1x1.2nn则

10nlimfn(x)dxlimfn(x)dx.

n0n1证明 当x0时，对每一个nN,fn(x)0，有limfn(x)0；

137

当x1时，f1(x)1fn(x)0(n2)，有limfn(x)0；

n 当0x1时，存在NN，使

111x，当nN时，x，即当nNNnNn时，fn(x)0，有limfn(x)0.因此limfn(x)0(x[0,1])，从而limfn(x)0，有

nnEnlimfn(x)dx0.

而

Efn(x)dx0dxndx0dx012n1n12n1n11(n1,2,)， 21. 2有

limfn(x)dxnE所以

10nlimfn(x)dxlimfn(x)dx.

n01ln(xn)xecosxdx0.

n0nln(xn)xecosx，则当x[0,)时， 证明 设fn(x)nln(xn)0， |excosx|1，limnn例3 证明lim所以

limfn(x)limnln(xn)xecosx0x[0,).

nnlntlnt1lntt30(t3)因为，所以当时递减，所以当n3,x0时， 2tttln(xn)nxln(xn)nxln3ln3(1x). nnnxn33ln3ln3(1x)ex，而F(x)(1x)ex在[0,)上是Lebesgue可积的，从而|fn(x)|33由控制收敛定理有

limfn(x)dxlimfn(x)dx0.

n00n即limln(xn)xecosxdx0.

n0n例4 设f(x,t)为矩形{(x,t):axb,t}上的二元函数，对每一个t[,]，

f(x,t)是x的可积函数. 如果对几乎所有的x，函数f(x,t)对t有偏导数，并且存在[a,b]上

的Lebesgue可积函数g(x)，使对t[,]及充分小的|h|有

138

f(x,th)f(x,t)g(x)a.e.于[a,b]，

h则

babdbf(x,t)dx. f(x,t)dx在[,]上有导函数，且f(x,t)dxaadtt证明 任取t[,]，并任取[,]中一点列{hn}，使当n时，hn0(hn0)，且thn[,]，有

limnf(x,thn)f(x,t)f(x,t)a.e.于[a,b].

hntbb由Lebesgue控制收敛定理知

f(x,thn)f(x,t)dxdbaa f(x,t)dxlimandthnlimnbbaf(x,thn)f(x,t)dx

hnf(x,thn)f(x,t)dx

hnliman f(x,t)atdx

b例5 用Fatou引理证明Levi定理.

Levi定理：{fn(x)}是E上非负可测函数列，且当xE时，

fn(x)f则

n1(x)(n1,2,)，limfn(x)f(x)，

nEf(x)dxlimfn(x)dx.

nEn证明 由0f1(x)f2(x)，并且limfn(x)f(x).知limfn(x)f(x)，由Fatou

n引理有

极限存在，并且

Ef(x)dxlimfn(x)dxlimfn(x)dx.

EnnE因为对每一个xE，{fn(x)}是单调增加数列，因而{Efn(x)dx}也是单调增加数列，

limfn(x)dxlimfn(x)dx.

nEnE因此

139

所以limnEf(x)dxlimfn(x)dx.

nE另一方面，由定理条件显然有0fn(x)f(x)(xE,n1,2,)，因此

Efn(x)dxf(x)dx(n1,2,).

EEfn(x)dxf(x)dx.

EnE 于是

Ef(x)dxlimfn(x)dx.

§5.4 Lebesgue积分与Riemann积分的关系

定理5.4.1 如果有界函数f(x)在闭区间[a,b]上是Riemann可积的，则f(x)在[a,b]上也是Lebesgue可积的，且

其中

[a,b]f(x)dxf(x)dx，

ab[a,b]f(x)dx表示f在[a,b]上的Lebesgue积分，f(x)dx表示f在[a,b]上的Riemann

ab积分.

证明 因为f(x)是测度有限集E[a,b]上的有界函数，所以只须证明f(x)是[a,b]上的可则函数.

(m)由于f(x)Riemann可积，取[a,b]的一列分点组{Dm}，其中Dm:ax0x1(m) m)xi(mm)b，DmDm1(即Dm1是Dm的加细)，(Dm)max{xi(m)xi(1}0(m),

1iim设mi(m)，Mi(m)分别是f在[xi1,xiim(m)i(m)(m)]上的下确界与上确界，由Riemann积分的定义有

im(m)imlimmi1(x(m)ix(m)i1)limMmi1(x(m)ix(m)i1)f(x)dx.

abm}为如下的函数列： 令{m}，{(m)(m)(m);mi,xxi1,xim(x) f(a),xa.140

(m)(m)(m)Mi,xxi1,xi; m(x)f(a),xa.则{m}和{m}是[a,b]上的简单函数列.

由于DmDm1，故当区间长度缩小时，上确界不增，下确界不减，所以

12mf，

12mf.

令limmf，limmf. 那么f，f都是[a,b]上的有界可测函数，且fff.

mm所以ff是非负Lebesgue可积函数，从而

即

[a,b](ff)dx[a,b]fdx[a,b]fdx0，

而

[a,b]fdx[a,b]fdx，

[a,b]f(x)dx[a,b]m(x)dx

(m)i mi1[a,b]im(xi(m)x)m(i1)ba，f(x)dx(m)

[a,b]f(x)dxm(x)dx

(m)i Mi1im(xib(m)x)m(i1)ba. ) f(x)dx(m这说明

[a,b]f(x)dxf(x)dxa[a,b]f(x)dx，即[a,b][a,b]f(x)dx[a,b]f(x)dx，所以

即

[a,b]f(x)dxf(x)dx，

[a,b](f(x)f(x))dx0.

由定理5.1.3知ffa.e.于[a,b]，进而fffa.e.于[a,b]. 因此f在[a,b]上可测，从而f在[a,b]上可积. 并且

141

几乎处处连续.

[a,b]fdx[a,b]fdx[a,b]fdxf(x)dx.

ab定理5.4.2 有界函数f(x)在区间[a,b]上Riemann可积的充要条件是f(x)在[a,b]上

证明 取[a,b]的单调分点组列{Dn}:DnDn1,其中Dn:ax0x1xinb.

n))()nn)(n)用mi(n分别表示f在[xi(中的下确界与(Dn)max{xi(n)xi(,M1}0(n)，i1,xi]1iin(n)(n)(n)上确界. 构造两个函数列{n}，{n}：

n)(n)mi(n),x(xi(1,xi]; n(x)f(a),xa.n)(n)Mi(n),x(xi(1,xi]; n(x)f(a),xa.由于DnDn1，当区间缩小时，上确界不增，下确界不减，所以

12nf，

12nf.

令limnf，limnf，并且fff.

nn必要性. 设f在[a,b]上Riemann可积，从定理5.4.1的证明过程得到

ffa.e.于[a,b]，

fffa.e.于[a,b].

记E1{x:ff或ff，x[a,b]}，则mE10，E2是分点组列{Dn}中所有分点全体，则E2是可列集，所以mE20. 因此E0E1E2是零测度集. 往证当x0E0时，

f(x)在x0连续.

事实上，对任意的0，由x0E0，则limn(x0)lim(x0)f(x0)，于是存在正

nn整数N，使

f(x0)N(x0)f(x0)N(x0)f(x0).

142

N()因为x0E1DN，所以存在开区间IN(xi(N),xi，使x0IN，这时取1)(N)N(). }对任何x(x0,x0)，有 minx{xx,xi100if(x0)N(x0)N(x)f(x)N(x)N(x0)f(x0)，

因此

|f(x)f(x0)|.

即x0是f(x)的连续点. 从而f(x)在[a,b]上几乎处处连续.

充分性 设f(x)在[a,b]上有界且几乎处处连续. 记f的连续点全体为E3，

mE3ba. 当x0E3时，对任意的0，必存在0，使得x(x0,x0)时，

有

f(x0)f(x)f(x0)，

因此，如果取一列分点组{Dn}:DnDn1，(Dn)0(n)，只要(Dn)时，相应于这个分点组，所作的相应的函数n,n，便有

f(x0)n(x0)f(x0)， f(x0)n(x0)f(x0).

所以

f(x0)limn(x0)f(x0)，

nf(x0)limn(x0)f(x0).

n即对任何x0E3，f(x0)f(x0)f(x0)，也就是ffa.e.于E.

由于f是有界的，所以存在常数M，使得|f|M. 因而|n|M，|n|M. 注意到

nf，nf. 由Lebesgue有界收敛定理知

S(Dn)(R)ndx(L)abab[a,b]ndx(L)[a,b]fdx； fdx.

S(Dn)(R)ndx(L)n[a,b]ndx(L)[a,b] 因为ffa.e.于E，所以lim(SnSn)0. 因而，f是Riemann可积的.

143

定理5.4.1告诉我们，若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则必Lebesgue可积，且

baf(x)dx[a,b]f(x)dx.

这说明Lebesgue积分的确是Riemann积分的延拓，但应该注意定理5.4.1对于广义（Riemann）积分并不成立.

例1 设f(x)定义在(0,1)上，且在

11,上，f(x)(1)nn,n1,2,，则f(x)n1n在(0,1)上广义Riemann可积，但f(x)在(0,1)却不是Lebesgue可积的.

证明 从广义Riemann积分而言，f(x)在(0,1)上的可积性相当于级数

1(1)n(1)n1的收敛性. 而级数是收敛的，所以f在(0,1)上广(1)nnn1n1n1n1n1n1n义Riemann可积.

然而对于Lebesgue积分来说，我们考虑|f|，对于非负可测函数|f|，由于

1n1klim[|f|]ndxlimn0nk1n1k1[|f|]kdx

11 lim.

nk1k1k1k1所以|f|不是Lebesgue可积的，由Lebesgue积分的绝对可积性，f也不是Lebesgue可积的.

这个现象的原因在于Lebesgue可积函数具有绝对可积性，所以Lebesgue积分是一种绝对收敛积分. 没有条件收敛的概念，而Riemann积分则不然，Riemann广义积分不必为绝对收敛

的. 因此Lebesgue积分虽是Riemann积分的推广，却非Riemann广义积分的推广.

尽管如此. 我们有下面的结果：

定理5.4.3 [a,b]上广义Riemann可积（简称R可积）函数f(x)Lebesgue可积（简称L可积）的充要条件是|f(x)|广义R可积，且此时两个积分的值相等.

证明 不失一般性，我们设f(x)在[a,b]上仅在xb的邻域中无界.

必要性. 设f(x)L可积，则当ab时，f(x)在[a,]上有界R可积，从而L可积，由L积分的绝对可积性，|f(x)|在[a,]上L可积，且

144

(R)|f(x)|dx(L)a[a,]|f(x)|dx(L)[a,b]|f(x)|dx.

所以lim(R)ba|f(x)|dx存在，因而|f(x)|在[a,b]上广义R可积.

充分性 设|f(x)|在[a,b]上广义R可积，往证f(x)在[a,b]上L可积. 选取点列{n}，使anb，且12，nb(n).

作函数fn(x)f(x),axn;则limfn(x)f(x),x[a,b]，并且fn(x)在[a,b]nxb.n0,上有界R可积，从而由定理5.4.1，fn(x)在[a,b]上L可积，因而|f(x)|在[a,b]上L可积，由|f(x)|广义R可积，可设

(R)|f(x)|dxA，

ab(L)[a,b]|fn(x)|dx(R)|f(x)|dxA.

ann因为{|fn|}是[a,b]上的单调增加函数列，lim|fn(x)||f(x)|. 由Levi定理知

(L)[a,b]|f(x)|dxlim(L)n[a,b]|fn(x)|dxA，

即|f(x)|在[a,b]上L可积，亦即f(x)在[a,b]上L可积. 下面证明

(L)[a,b]f(x)dx(R)f(x)dx.

ab事实上，因为|fn(x)||f(x)|,n1,2,，由Lebesgue控制收敛定理得到

(L)[a,b]f(x)dxlim(L)nn[a,b]fn(x)dx

( limR (R))nafx(dx)

baf(x)d x需要指出的是，对于无穷限的广义R积分，也有同样的结论. 其证明也完全相似，仅需取

n(n)，代替nb(n).

例2 设f(x)是广义L可积的.

证明 由狄利克雷判别法知(R)sinx，x(0,)，则f(x)在(0,)上广义R可积，在(0,)上却不xsinxsinxdxf(x)收敛，即在(0,)上广义R可0xx145

积.

21cos2xsinxsinx1cosx2因为，由(R)dx发散，(R)dx收敛知002x2xxx2x2x0sinxsinx在(0,)上不是广义L可积的. dx发散. 因此由定理5.4.3的说明知f(x)xx例3 求极限lim(R)nnx5sin01n2x2nxdx.

11212解 设fn(x)112nxsin5nx，x[0,1]，则{fn(x)}是[0,1]上连续函数列，所以221nx121nxnx5(R)sinnxdxsin5nxdx的值相等. 又因为 存在且与222201nx[0,1]1nx111nxnx1nxnx5x2x2， x2sinnx2222222nx21nx1nx1nx1212而

nx15sinnx0，x[0,1]. x在[0,1]上可积，且lim22n1nx2由Lebesgue控制收敛定理得：

12121212lim(R)n1nxnx55sinnxdxlimsinnxdx 01n2x2n[0,1]1n2x212nx5limsinnxdx0dx0. 22[0,1]n1nx[0,1]

§5.5 Fubini定理

在Riemann积分理论中，我们讨论过重积分与累次积分的关系，如果I是矩形，{(x,y):axb,cyd}f(x,y)在I上连续，则

If(x,y)dxdydxf(x,y)dydyf(x,y)dx.

accabddb本节讨论的主要问题是要对Lebesgue积分建立相应的定理，即Fubini定理. 我们会发现

146

在交换积分顺序这个问题上，Lebesgue积分要求的条件要比Riemann积分的要求要少，这是Lebesgue积分的方便之处.

定义5.5.1 设ARp，BRq是两个非空点集，则Rpq中的点集{(x,y):xA，

yB}称为A与B的笛卡尔乘积，记作AB.

R2中的矩形I{(x,y):axb,cyd}就是[a,b][c,d].

定义5.5.2 设ERpq，x0Rp是一固定点，则称Rq中的点集Ex0{y:yR，

q(x0,y)E}为E在x0处的截口.

定理5.5.1 若E是RpRqRpq中的可测集合，设m(x)mEx，则m(x)是Rp上几乎处处有定义的可测函数，并且mERpm(x)dx.

1,x;

,x.证明 （1）E是有界可测集. （i）E为左开右闭的区间.

设E1，其中，1分别是Rp和Rq中左开右闭的区间，则Ex这样对所有的xR，Ex是Rq中的可测集. 且mEx上的简单函数，因而可测，且

p|1|,x; 所以mEx为Rpx.0,mE|1||||1|mExdxRpmExdxpmExdx.

R（ii）E为开集. 设EpI，其中{I}是互不相交的左开右闭的区间列. 则E(I)iixix. 由（i）对所

i1i1有的xR，各(Ii)x是R中可测集，所以Ex也是R中可测集. 又因为各(Ii)x互不相交，所以

qqmExm(Ii)x.

i1由（i）各m(Ii)x都是R上的可测函数，所以mEx也是R上的可测函数. 且

PPmEmIipm(Ii)xdx.

i1i1R由Lebesgue逐项积分定理，有

147

i1Rpm(Ii)xdxRpm(I)dxixi1RpmExdx.

所以

mEpmExdx.

R（iii）E为G型集. 设EG，其中各G是Ripqi中的开集，令G*ni1G，则Gii1n*n仍是开集，EGn1*n，

且GGG，则Ex*1*2*n(G)n1*nx*，由（ii）对所有的xRp各(Gn)x都是Rq中可

**测集，所以Ex也是Rq中可测集. 又因为m(G1)x,)x（E是有界集）,且(G1*)x(G2所以mExlimm(Gn)x.

n**由（ii）各m(Gn)x都是Rp上的可测函数，所以mEx也是Rp上的可测函数. 且

**mElimmGnlimpm(Gn)xdx.

nnRp**设fn(x)m(G1)xm(Gn)x，则{fn(x)}是R上非负可测函数列，

fn(x)fn1(x),n1,2,，

且

limfn(x)m(G1*)xmEx.

n由Levi定理有

limpfn(x)dxplimfn(x)dx，

nRRn即

*limpm(Gn)xdxpmExdx， nRR所以mERpmExdx.

pq（iv）E是R中零测度集. 则有Rpq中G型集GE，使mG由mE0(E)0，

知mGm(GE)mE0，由（iii）0mG是由ExGx，就有mEx0a.e.于R. 因此

pRpmGdxRmG0a.e.，所以于. 于xxp148

mEpmExdx.

R（v）E是一般有界可测集.

设ERpq是有界可测集，则存在G型集G，使GE，且m(GE)0. 则

EG(GE)，G是G型集，GE是零测度集.

由于ExGx(GE)x，依（iii）和（iv）Ex是Rq中的可测集a.e.于Rp. 又因为

mExmGxm(GE)x

mGxa.e.于Rp.

由（iii）mEx是Rp上几乎处处有定义的可测函数. 并且

mEmGpmGxdxpmExdx.

RR（2）E是无界可测集

设EmEm，其中m{x1,x2,,xpq:|xi|m,i1,2,,pq}. 则Em是E的有界可测子集. EEm1mxm，EmEm1(m1).

因此Ex(Em1p)，(Em)x(Em1)x(m1).

从而对于R中使(Em)x都可测的x有

mExlimm(Em)x.

m由（1）m(Em)x是R上几乎处处有定义的可测函数，并且

pRpm(Em)xdxmEm，因此

mEx也是Rp上几乎处处有定义的可测函数，并且

由Levi定理

RpmExdxRpmlimm(Em)xdx.

Rpmlimm(Em)xdxlimpm(Em)xdx

mRlimmEm

m mE.

149

从而mERpmExdx. 定理得证.

定理5.5.2 设A,B分别是Rp,Rq中的可测集，则AB是Rpq中的可测集且

m(AB)mAmB，此处当mA,mB中有一个为零时，不论另一个是否有限，mAmB都理

解为零.

证明 （1）A,B都是有界可测集

A,B是有界可测集，则存在Rp中的有限区间I和Rq中的有限区间I使AI,BI.

因为ARp,BRq是可测集，对任意的0，存在Rp中的开集G及闭集F和Rq中的开集G及闭集F使

FAGI,FBGI.

且m(GF)及{Ii}使

2|I|及m(GF)2|I|，因此分别存在Rp和Rq中的开区间列{Ii}GFIi，GFIi，

i1i1且

|Ii|i12|I|，

|Ii|i12|I|，

不难证明GG与FF分别是Rpq中的开集与闭集，且

GGFF=G(GF)(GF)F

I(GF)(GF)I

以及

(IIi1i)(IiI)，

i1|IIi1i||IiI|

i1150

|I||I||I||I|.

ii1i1由此m(GGFF).

这证明了对任意的0，有Rpq中的开集GG，闭集FF，使

FFABGG，

且m(GGFF)，因此AB是Rpq中的可测集.

因AB是可测的，由定理5.5.1，对于xRp有

B,xA; (AB)x,xA.所以

m(AB)pm(AB)xdx

RmBdxmAmB.

A（2）A,B中至少有一个是无界可测集.

此时A,B可以表示成一些互不相交的有界可测集的并AA，BBii1j.

j1（若A是无界集，令Ei(SiSi1)A，其中Si是R中左闭右开的球，此时A各Ei互不相交. ）于是

nEi1i，

AB(Ai)(Bj)i1j1i,j1(AB).

ij由（1）AiBj可测，m(AiBj)mAimBj，所以AB是可测的，并且

m(AB)m(AiBj)

i,j1mAimBj

i,j1151

(mAi)(mBj)

i1j1 mAmB. 定理得证.

定义5.5.3 设f(x)是ERn上的非负函数，则Rn1中的点集

{(x,z):xE,0zf(x)}，

称为f(x)在E上的下方图形，记为G(E,f).

定理5.5.3（非负可测函数积分的几何意义） 设f(x)为可测集ERn上的非负可测函数，则

（1）f(x)是E上可测函数的充要条件是G(E,f)是Rn1中的可测集； （2）当f(x)在E上可测时，

Ef(x)dxmG(E,f).

证明 设f(x)c（常数），c0，则

E[0,c),c0; G(E,f),c0.所以由定理5.5.2，G(E,f)是Rn1中的可测集.

设f(x)是E上的简单函数，这时EE，各E是E的互不相交的可测子集，在E上

imiii1mf(x)ci(i1,2,,m). 总有G(E,f)G(Ei,f)，所以G(E,f)是可测集.

i1设f(x)是非负可测函数，那么存在简单函数列{n(x)}，01(x)2(x)，使

limn(x)f(x),xE.

n不难证明，G(E,1)G(E,2)，且

G(E,)G(E,f).

nn1已知各G(E,n)是可测集，所以G(E,f)是可测集.

反之，如果G(E,f)是可测集，由定理5.5.1，mG(E,f)x是在R中几乎处处有定义的

n152

可测函数，且

f(x),xE; mG(E,f)xxE,0,所以f(x)在E上可测且

Ef(x)dxmG(E,f).

推论1 设f(x)为ERn上的可积函数，则

Ef(x)dxmG(E,f)mG(E,f).

推论2 可测函数f(x)在ERn上可积的充分必要条件是mG(E,f)与mG(E,f)都是有限的.

定理5.5.4（Fubini定理，Fubini意大利数学家，1879-1943）

（1）设f(p)f(x,y)在ABRnRm（A,B分别为Rn与Rm中的可测集）上非负可测，则对a.e.的xA，f(x,y)作为y的函数在B上可测，且

即

ABf(p)dpdxf(x,y)dy.

AB当然对a.e.的yB，f(x,y)作为x的函数在A上可测，且

ABf(p)dpdyf(x,y)dx.

ABAAdxf(x,y)dydyf(x,y)dx.

BB（2）设f(p)f(x,y)函数在B上可积，又

在ABRR上可积，则对a.e.的xA，f(x,y)作为y的

nmBf(x,y)dy作为x的函数在A上可积，且

数在B上可积，且

ABf(p)dpdxf(x,y)dy.

AB同样，对a.e.的yB，f(x,y)作为x的函数在A上可积，又

Af(x,y)dx作为y的函

从而

ABf(p)dpdyf(x,y)dx.

BABdyf(x,y)dxdxf(x,y)dy.

AAB153

证明 （1）由定理5.5.3，G(AB,f)是Rnm1中的可测集，且

mG(AB,f)由定理5.5.1有

ABf(p)dp，

mG(AB,f)nmG(AB,f)xdx，

R其中mG(AB,f)x是A上几乎处处有定义的可测函数，由于

{(y,z):yB,0zf(x,y)},xA; Rm1G(AB,f)xxA.,所以G(AB,f)x是将

x固定后，f(x,y)看作是y的函数时，在B上的下方图形

G(B,f(x,y)(x固定))，于是当G(AB,f)x可测时，由定理5.5.3有

）， mG(AB,f)xmG(B,f(x,y)（x固定）

f(x,y)dy.

B所以

ABf(p)dpmG(AB,f)

nmG(AB,f)xdx

R AmG(AB,f)xB xddxf(x,y)dy.

A（2）设f(p)在AB上可积，则f(p)，f(p)在AB上也可积，所以

ABf(p)dpABf(p)dpBABf(p)dp

ABdxf(x,y)dydxf(x,y)dy

Adx(fdyfdy)

ABBdx(ff)dy

AB 定理得证.

Adxf(x,ydy).

B154

x2y2例1 设f(x,y)2定义在(0,1)(0,1)上. 22(xy)证明f(x,y)在(0,1)(0,1)上不是可积的.

x2y2证明 如果f(x,y)2在E(0,1)(0,1)上可积，则由Fubini定理，应有

(xy2)2而

(0,1)dx(0,1)f(x,y)dy(0,1)dy(0,1)f(x,y)dx，

(0,1)dx(0,1)f(x,y)dy11， dx01x24(0,1)dy(0,1)f(x,y)dx011， dy21y4因而f(x,y)在E(0,1)(0,1)上不可积.

155