陕西省长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学2012届第三次模拟考试数学理

高2012届第三次模拟考试

数学（理）试题

命题学校：交大附中 审题学校：西安中学

注意事项：

（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．

（2）答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上． （3）选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

（4）非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．

（5）考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．

第一卷（选择题 共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。

1．命题“存在xZ,x22xm0”的否定是 （ ）

A．存在xZ,x22xm0 B．不存在xZ,x22xm0 C． 对任意xZ,x2xm0 D．对任意xZ,x2xm0 2．已知x与y之间的几组数据如下表:

X y 0 1 1 3 2 5 3 7 22 则y与x的线性回归方程ybxa必过 （ ） A．1,3 B．2,5 C．1.5,4 D．3,7

3． 已知p：2x11,q：若p是q的充分不必要条件，则实数a的xaxa10．取值范围是 （ ） Ａ．0, Ｂ．0, Ｃ．,0, Ｄ．,0,

222211114．在数列an中，a12i（i为虚数单位），1ian11iannN，则a2012的

 五校联考第三次模拟数学（理）试题 第1页 共4页

值为 （ ） A．-2 B．0 C．2 D． 2i

5．函数fxexcosx，则此函数图像在点1,f1处的切线的倾斜角为 （ ）

Ａ．０ Ｂ．锐角 Ｃ．直角 Ｄ．钝角

226．已知集合Ax|xy4，集合Bx|xisintdt,i为虚数单位，xR

0 集合A与B的关系是 （ ）

A．AB B．

BA C．ABA D．AB

ab67．若变量a,b满足约束条件a3b2，n2a3b，则n取最小值时，

a11 2x2xn二项展开式中的常数项为 （ ） A． -80 B．80 C．40 D．-20

8．已知函数fxe1,gxx4x3, 若存在fagb，则实数b的取

x2值范围为 （ ） A．1,3 B．1,3 C．22,22 D．22,22

9．在ABC中, 已知向量AB, BC, （cos18,cos72）（2cos63,2cos27）则ABC的面积为 ( ) A．

322 B． C． D．2 22410． 已知点A1,0、B1,0，Px0,y0是直线yx2上任意一点，以A、B为焦点的椭圆过点P．记椭圆离心率e关于x0的函数为ex0，那么下列结论正确的是 （ ） A．e与x0一一对应 B．函数ex0无最小值，有最大值 C．函数ex0是增函数 D．函数ex0有最小值，无最大值 二、填空题 (共5小题, 每题5分,计25分.将正确的答案填在题后的横线上) 11．观察下列式子：11311511171+1，由此可，， 222223242232428归纳出的一般结论是 ． 12．阅读右面的程序，当分别输入a3,b5时，

五校联考第三次模拟数学（理）试题 第2页 共4页

输出的值a ．

13．一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3（单位：牛顿） 的作用而处于平衡状态．已知F1,F2成60角，且F1,F2大小 为2和4，则F3的大小为 ．

14．如图，一个三棱锥的三视图的轮廓都是边长为1的正 方形，则此三棱锥外接球的表面积 ． 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题评分）

A．对于实数x,y，若x12，y12，则

INPUTa,baabbababb2aba2PRINTaENDx2y1的最大值 ．

x12cos, B．圆C:（为参数）的极坐标方程

y12sin,为 ．

Ｃ．如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，

PC4,PB8，则SOBC .

三、解答题 (共6小题，计75分。需写清详细解答步骤或证明过程)

16．(本小题12分)已知四个正实数前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个与

第三个的和为8，第二个与第四个的积为36. (Ⅰ) 求此四数；

（Ⅱ）若前三数为等差数列an的前三项，后三数为等比数列bn的前三项，令

cnanbn，求数列cn的前n项和Tn．

17．(本小题12分)如图，已知O的半径是１，点Ｃ在直径AB的延长线上, BC1, 点P是O上半圆上的动点, 以PC为边作等边三角形

PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．

(Ⅰ) 若POB，试将四边形OPDC的面积y表示成的函数； (Ⅱ) 求四边形OPDC的面积的最大值．

五校联考第三次模拟数学（理）试题 第3页 共4页

18．(本小题12分) “剪刀、石头、布”游戏的规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”， “剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，如果所出的拳相同，则为和局．现甲乙二人通过“剪刀、石头、布”游戏进行比赛．

(Ⅰ) 设甲乙二人每局都随机出“剪刀”、“石头”、“布”中的某一个，求甲胜乙的概率； （Ⅱ）据专家分析，乙有以下的出拳习惯：① 第一局不出“剪刀”；② 连续两局的出拳方法一定不一样，即如果本局出“剪刀”，则下局将不再出“剪刀”，而是选“石头”、“布”中的某一个．假设专家的分析是正确的，甲根据专家的分析出拳，保证每一局都不输给乙．在最多５局的比赛中，谁胜的局数多，谁获胜．游戏结束的条件是：一方胜３局或赛满５局，用Ｘ表示游戏结束时的游戏局数，求Ｘ的分布列和期望．

19．(本小题12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为 平行四边形，SA底面ABCD，AB2，AD1，

sSB7，BAD120，E在棱SD上，

(Ⅰ) 当SE3ED时，求证：SD 平面AEC； (Ⅱ) 当二面角SACE的大小为30时， 求直线AE与平面CDE所成角的正弦值． 20． (本小题13分)设动点Px,y x0

BCEAD到定点F11,0的距离比到y轴的距离大．记点P的轨迹为曲线C．

22 （Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设圆M过A1,0，且圆心M在P的轨迹上，BD是圆Ｍ 在y轴的截得的弦，当

Ｍ 运动时弦长BD是否为定值？说明理由；

（Ⅲ）过F最小值．

21．(本小题14分)已知a0，函数fx1,0作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S，求四边形面GRHS的2alnx1（其中e为自然对数的底数）． x （Ⅰ）求函数fx在区间0,e上的最小值； （Ⅱ）设数列an的通项an

1，Sn是前n项和，证明：Sn1lnnn2． n 五校联考第三次模拟数学（理）试题 第4页 共4页

长长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学

高2012届第三次模拟考试

数学（理）答案

一、选择题：DCAADBADAB 二、填空题 11. 1211112n1 12. 13. 27 14. 3 2n422322n118 515. A 、6 B、2sincos C、三、解答题

ad16．解：(1)设此四数为ad,a,ad,an12

由题意知a4,d2 所求四数为2,4,6,9

3 (2) Cn8n2223 利用错位相减求和得Sn3232n1

22n17．解： (1)在POC中，由余弦定理，得

2 PCOPOC =54cos ySSOPCOPOcoCs

PCDsin354 4cos =2sin53． 34 (2)当32,即553时,ymax2． 64答： 四边形OPDC面积的最大值为218．解：(1) 甲胜乙的概率为P=

53 41 3 (2) 第一局乙不出“剪刀”，则只能出“石头”或“布”，此时甲应该出“布”，才能保证

1；不妨设乙第一局出的“石头”，则乙第二局只能出“剪刀”21或“布”，此时甲应出“剪刀”,，才能保证不输给乙，则甲胜的概率为；同理第三、四、

2不输给乙，甲胜的概率为

五校联考第三次模拟数学（理）试题 第5页 共4页

五局甲胜的概率也为

1． 23 Ｘ的可能取值为3,4,5

11 PX3

281113PX4C

222162321311PX51

81616Ｘ的分布列为 略

73期望EX

16 19．解：在ABCD中,AB2,AD1,BAD120,

CAAD, 又SA平面ABCD,以A为坐标原点，AC,AD,AS所在直线为

x 轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0 ,C SB7,SA3 S0,0, (1) SE3ED E0,,3,0,0 ,D0,1,0

3

33 4433 SD0,1,3,AE0,,44,AC3,0,0

 SDAE0,SDAC0 SD平面AEC

 (2) AC平面SAD,SA底面ABCD， ACAE,ACSA

SAE为二面角SACE的平面角,即SAE=30,此时Ｅ为SD的中点

13 E0,,22

 设平面CDE的法向量为nx,y,z 计算可得n1,3,1

13 AE0,,22

 五校联考第三次模拟数学（理）试题 第6页 共4页

15 cosn,AE

5 即直线AE与平面CDE所成角的正弦值为

15． 511,0为焦点，直线l:x为准

22 20．解：(1) 由题意知，所求动点Px,y为以F线的抛物线，方程为y22x；

a2a (2) 设圆心M,a，半径r1a2 22a2a222 圆的方程为xyaa1

22 令x0得B0,1a,D0,1a BD2 即弦长BD为定值；

(3)设过F的直线方程为ykx22221 ,Gx1,y1,Hx2,y2 21k2ykx2220 由2得kxk2x4y22x 由韦达定理得x1x21 同理得RS22k 四边形GRHS的面积T'22GH2 k2k2212122222k22k8. 22k2k 21．解：(1)  fx1a20  xa xxa; e 若ae时, 函数fx在区间0,e是减函数 femin 0ae时 函数fx在区间0,a是减函数,a,e是增函数 faminlna;

综上所述 略

(2)由（1）可知，a1时，函数fx在定义域的最小值为0，

五校联考第三次模拟数学（理）试题 第7页 共4页

  lnx1 令x1 在1,上成立 xk11得 lnk1 lknkk1 令k1,2,3,(n1)

 Sn1lnnn2

五校联考第三次模拟数学（理）试题 第8页 共4页