垂径定理教案

教学目标 知识与技能：

1、 理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其结论；

2、 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算问题； 过程与方法：

1、 在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法； 2、 在解决垂径定理的相关问题中总结出相应的常见辅助线作法（连半径、作垂直）； 情感态度与价值观：

经历探索定理并解决问题的过程，激发学生探索、发现数学的兴趣和欲望； 教学重点 垂径定理及其推论的掌握及运用. 教学难点 垂径定理的探索和证明 教学过程 一、

情景引入

代建造的石是圆弧形,它弦的距离)为个问题，我们

问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？为了解决这一起来探索下这节课的内容。

二、

探索新知

1、活动一：（实践）把一个圆沿着它的任意一条复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 设计意图：让学生动手实验、探索并发现结论，激发学生的求知欲望。 2、活动二：（学生活动）请同学按下面要求完成下题： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）将圆O沿CD所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系？

设计意图：通过该实验让学生探索、发现垂径定理，初步感知。 （3）你能证明你的结论吗？

设计意图：学生证明自己的发现，培养学生养成严谨的思维习惯。 结论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 思考：反过来，平分弦（不是直径）的直径是否垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧？ 结论：平分弦（不是直径）的直径是否垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 3、活动三：练习

（1）在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧 设计意图：检验是否理解了定理，熟悉定理能应用的相应图形。 （2）判断是非

直径对折，重

①平分弦的直线必垂直弦 ②垂直于弦的直径平分这条弦 ③平分弦的直径垂直于这条弦 ④弦的垂直平分线是圆的直径

⑤平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 设计意图：加深对定理及推论的理解。

（3）如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论不正确的是（ ）

A．AB⊥CD B．∠AOP=∠BOP C．ADBD D．PO=PD

设计意图：检验是否理解推论。

（4）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为 设计意图：检验能否简单的运用垂径定理，初步感受“连半径”这一辅助线作法。 第（3）题图 第（4）题图 三、巩固新知

例题1已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。

设计意图：垂径定理的巧妙运用，初步感受“作垂直”这一辅助线作法

变式 如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。 设计意图：“连半径”或“作垂直”都可以解决问题，进一步发现垂径定理的好用之处，培养学生的发散思维。 例题2 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

分析 如图，用ＡＢ表示主桥拱，设ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是ＡＢ的中点，CD 就是拱高。 设计意图：解决一开始提出的问题，学生感受垂径定理的用途，并体会解决问题的满足感。 四、 总结回顾 1、 2、 3、

圆的轴对称性 垂径定理及其推论 相应的常见辅助线作法

五、 布置作业

（一）《学评》P77-78达标训练 设计意图：基础过关 （二）添加练习

设计意图：提升能力，适当拓展

1、如图3，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P，P的半径P与x轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0）点P的坐标为 ____________.

图3 2、如图4，在⊙O中，AB、AC是两条互相垂直且相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E。求证：四边

C 图7yPx在第一象限，

OA( 6, 0 )为13，则

形ADOE是正方形。

3、一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图5），此时的水面宽AB为0.6米． （1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；

（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．

图4

O A 图5

4、如图6，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN=43cm． （1）求圆心O到弦MN的距离； （2）求∠ACM的度数．

图6

B