人教版初中七年级上册数学《有理数的加法(2)》优秀教案

人教版初中七年级上册数学 第二课时

有理数的加法运算律

一、教学目标

（一）学习目标

1.了解加法运算律的推导过程； 2.能运用加法运算律简化加法运算； 3.能运用加法运算律解决实际生活中的问题.

（二）学习重点

如何运用加法运算律简化运算.

（三）学习难点

灵活运用加法运算律.

二、教学设计

（一）课前设计 1.预习任务

（1）两个数相加，交换 加数 的位置， 和 不变，用字母表示为 a+b=b+a ； （2）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示为

(a+b)+c=a+(b+c) ． 2.预习自测

（1）下列变形，运用加法运算律正确的是（ ）

A．3+(－2)=2+3 ； B．4+(－6)+3=(－6)+4+3；

1515C.[5+(－2)]+4=[5+(－4)]+2； D.(1)()()(1).

6666【知识点】有理数的加法运算律.

【解题过程】解：A. 3+(－2)=2+3 ,错误,符号未带走； B．4+(－6)+3=(－6)+4+3，正确；

1515C.[5+(－2)]+4=[5+(－4)]+2，错误，符号带错； D.(1)()()(1)，错误，符

6666号带错.

【思路点拨】运用有理数的运算律时，一定要注意符号要一起走，更不能带错符号. 【答案】B.

1

1531（2）计算(2)[()()(11)]的结果为（ ）.

4646 A．－1 ； B．1； C．0 ； D．4. 【知识点】有理数的加法.

1531【解题过程】解: 原式=2()()2

46461351 =(2)()()2

4466 =33 =0

【思路点拨】根据有理数的加法运算律即可进行简便运算. 【答案】C.

（3）绝对值大于2且小于5的所有整数的和是（ ）. A．7 B．－7 C．0 D．5 【知识点】有理数的加法.

【解题过程】解： 绝对值大于2且小于5的所有整数有3,4，它们的和为0. 【思路点拨】先求出绝对值大于2且小于5的所有整数,再求其和即可求解. 【答案】C

15（4）－2和4的和的相反数加上1等于（ ）.

261151 A．8 B．4 C． D．4

123123【知识点】有理数的加法

15151【解题过程】解： 由题意可得：(24)(1)(2)(1)4

26263【思路点拨】先根据题意列出式子，再计算即可. 【答案】D

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）同号两数如何相加？

（2）绝对值不相等的异号两数如何相加？

（3）互为相反数的两个数相加等于多少？一个数同0相加等于多少？ 2.问题探究

1

探究一 加法运算律的推导过程

思考：在小学里，我们学过的加法运算有哪些？它们的内容是什么？能否举一两个例子来？那这些加法运算律还适用于有理数范围吗？今天，我们一起来探究这个问题. ●活动一：

计算：20+(－30)与(－30)+20两次得到的和相同吗? 学生举手抢答：20+(－30)=(－30)+20

师问：再换几个加数试一试？由此你得出什么结论？

总结：有理数的加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变. 加法交换律：abba

【设计意图】通过活动，让学生了解当数的范围扩大后，但有理数的交换律同样适用，同时，在推导运算的过程中培养学生逻辑思维及观察归纳的能力. ●活动二：

计算：(1) 8(5)(4) ；(2)8(5)(4). 师问：两次计算的结果相同吗？

学生举手抢答：可得：8(5)(4)=8(5)(4) 师问：由此你得出什么结论？

总结：有理数的加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.

加法结合律：(ab)ca(bc)

【设计意图】通过活动，让学生了解当数的范围扩大后，但有理数的结合律同样适用，同时，在推导运算的过程中培养学生逻辑思维及观察归纳的能力. 探究二 能运用加法运算律简化加法运算★▲ ●活动一：

例1 计算：16(25)24(35) 【知识点】加法运算律

【解题过程】解：原式=(1624)(25)(35) =40(60) =20

【思路点拨】在运用加法运算律进行简化运算时，通常注意以下几点：一是互为相反数的两

1

数相加，二是几个数相加得整数时就相加，三是同分母分数相加，四是符号相同的数相加.此题可先把16和24相加，－25和－35相加，注意在运用运算律时，对应的符号要跟着一起走.

【答案】－20

练习：计算：(1)23(17)6(22)； (2)(2)31(3)2(4). 【知识点】有理数的加法运算律

【解题过程】解： （1）原式=(236)(17)(22)=29(39)=10 （2）原式=(2)23(3)1(4)00(3)3. 【思路点拨】根据有理数的加法运算律即可求解. 【答案】（1）－10； （2）－3

【设计意图】通过练习，让学生能灵活运用有理数的加法运算律进行运算，体会运算律给计算带来的简便. ●活动二：

351例2 计算：0.75(2)(0.125)(12)(4)

478【知识点】有理数的加法运算律.

315【解题过程】解: 原式=0.75(2)(0.125)(4)(12)

48755 =(2)(4)(12)=18

77【思路点拨】 在运用加法运算律进行简化运算时，通常注意以下几点：一是互为相反数的两数相加，二是几个数相加得整数时就相加，三是同分母分数相加，四是符号相同的数相加.

31此题可先把0.75和2相加，0.125和4相加，注意在运用运算律时，对应的符号要跟

48着一起走.

5【答案】18

7练习：计算：

13321352（1）3(2)5(8)；（2）0.75(4)(2)(3)(2.125)(1)

45458477【知识点】有理数加法运算律.

1332【解题过程】解: （1）原式=(35)(2)(8)=9(11)=2

44551

1352 （2）原式=(4)(2.125)0.75(2)(3)(1)

8477=(2)(2)(5)9

【思路点拨】 在运用加法运算律进行简化运算时，通常注意以下几点一：是互为相反数的两数相加，二是几个数相加得整数时就相加，三是同分母分数相加，四是符号相同的数相加.注意在运用运算律时，对应的符号要跟着一起走. 【答案】 （1）－2；（2）－9.

【设计意图】通过练习，让学生能灵活运用有理数的加法交换律和加法结合律进行简便计算，同时通过计算培养学生的数学基本计算能力. 探究三 运用加法运算律解决实际生活中的问题▲ ●活动一：

例3 有一批小麦，标准质量为每袋90千克，现抽取10袋样品进行称重检测，结果如下（单位：千克）：

97，95，86，96，94，93，87，88，98，91

这10袋小麦的总质量是多少？总计超过标准质量多少千克或不足标准质量多少千克？ 【知识点】有理数的加法

【解题过程】解：法一：97958696949387889891925（千克） 925901025（千克）

即这10袋小麦的总质量是925千克，总计超过标准质量25千克. 法二：设每袋小麦超过标准质量的千克数记为正数，不足的千克数记作负

数.10袋小麦对应的数分别为：+7、+5、－4、+6、+4、+3、－3、－2、+8、+1，则 (7)(5)(4)(6)(4)(3)(3)(2)(8)(1)=25 259010925（千克）

即这10袋小麦的总质量是925千克，总计超过标准质量25千克.

【思路点拨】可以先将所有的数加起来得到总质量，再减去标准总质量即可，也可以将袋小

麦超过标准质量的千克数记为正数，不足的千克数记作负数，先算出超过或不足标准总质量的千克数，再加上标准总质量即可. 【答案】925；25

练习：有5筐菜，以每筐50千克为准，超过的千克数记为正，不足记为负，称重记录如下：+3，﹣6，﹣4，+2，﹣1，总计超过或不足多少千克？5筐蔬菜的总重量是多少千克？

1

【知识点】有理数的加法运算律.

【解题过程】解：标准重量比较，5筐菜总计超过3+（﹣6）+（﹣4）+2+（﹣1）=﹣6千克； 5筐蔬菜的总重量=50×5+（﹣6）=244千克． 故总计不足6千克，5筐蔬菜的总重量是244千克

【思路点拨】由题意可知每筐菜的标准重量为50千克，超过标准重量的记为正数，不足的记为负数，然后相加即可知5筐菜总计不足6千克，然后用5×50+（﹣6）千克即可． 【答案】总计不足6千克，5筐蔬菜的总重量是244千克.

【设计意图】通过练习，让学生应用有理数的加法运算律解决实际问题，培养分析问题的能力和解决实际问题的能力. 3.课堂总结 知识梳理

（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；用式子表示为abba. （2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.用式子可表示为：(ab)ca(bc) 重难点归纳

（1）在交换加数的位置时，符号跟着一起走. （2）运用加法运算律简算时注意以下几点： ①互为相反数的两数，可先加； ②几个数相加得整数时，可放在一起加； ③同分母分数放在一起加； ④符号相同的数可放在一起加. （三）课后作业 基础型 自主突破

2322231.3(2.73)(2)(3.73)()=[3()][(2.73)(3.73)]+(2),这个运算

4 54555应用了（ ）

A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对． 【知识点】加法运算律

【解题过程】解: 由题意可得：上述的运算应用了加法的交换律和结合律. 【思路点拨】根据加法的运算律,认真观察即可判断. 【答案】C

1

112.一个探险队，第一天沿江向上游走了5km，第二天又向下游走了5km，第三天向上游走

2321了4km，第四天向下游走了5km，这时探险队在出发点的（ ）．

32122A．上游1km处 B．下游1km处 C．上游km处 D．下游km处

333【知识点】有理数的加法运算律．

【解题过程】解：规定向上游走记为正，向下游走记为负，由题意得：

11212(5)(5)(4)(5)=

23323【思路点拨】由于具有相反意义的量,所以可以先规定正负,再列出式子即可计算. 【答案】D

13.用加法运算律计算：(25)1425.5(－14)= ．

2【知识点】加法运算律

11【解题过程】解: (25)1425.5(14)=(25)25.5=0 14(14)22【思路点拨】根据加法的交换律和结合律即可计算. 【答案】0

4.绝对值不小于5但小于7的所有整数的和是 . 【知识点】有理数的加法

【解题过程】解: 绝对值不小于5但小于7的所有整数5,6,它们的和为0. 【思路点拨】先根据题意找出绝对值不小于5但小于7的所有整数,再列式计算. 【答案】0 5.计算：

（1）(－23)+(+58)+( －17)+( －12)；

（2）(－8.17)+(－2.13)+(－1.83)+(+2.13)+(－7)；

356（3）(17)(9)(2.25)(17.5)(10).

11411【知识点】加法结合律

【解题过程】解：（1）原式=(23)(17)(12)58=52586； （2）原式=(8.17)(1.83)(2.13)(2.13)(7)=100(7)17；

356（3）原式=17(2.25)(17.5)(9)(10)=2(20)22

411111

【思路点拨】根据有理数的加法运算律进行简便运算即可. 【答案】（1）6；（2）－17； （3）－22

6.“速算”是指在特定的情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．如：末位数字相同，首位数字和为10的两位数相乘，它的方法是：两首位相乘再加上末位数字作为前积，末位的平方作为后积（若后积是一位数则十位补0），前积后面添上后积就是得数． 如：84×24=100×（8×2+4）+42=2016 42×62=100×（4×6+2）+22=2604

（1）仿照上面的方法，写出计算78×38的式子 78×38= = ；

（2）如果分别用a，b表示两个两位数的十位数字，用c表示个位数字，请用含a、b、c的式子表示上面的规律，并说明其正确性；

（3）猜想4418×5618怎样用上面的方法计算？写出过程． 【知识点】有理数的加法

【解题过程】解: （1）78×38=100×（7×3+8）+82=2964； 故答案为：100×（7×3+8）+82，2964；

（2）（10a+c）（10b+c）=10[10ab+（a+b）c]+c2=100（ab+c）+c2； （3）4418×5618=（44×100+18）（56×100+18） =44×56×10000+44×100×18+56×100×18+182 =10000×44×56+100×18×（44+56）+182 =10000×44×56+10000×18+182 =10000×（44×56+18）+182，

即4418×5618=10000×（44×56+18）+182．

【思路点拨】（1）仿照以上方法求出原式的值即可；

（2）根据题示规律等式右边为十位数的积与个位数和的100倍加上个位数的平方，列式表示即可，验证可根据整式乘法展开结合十位数字和为10变形可得；

（3）类比（2）中方法4418×5618=10000×（44×56+18）+182，验算过程可将4418×5618写成（44×100+18）（56×100+18）后展开、合并可得． 【答案】（1）100×（7×3+8）+82，2964；

（2）（10a+c）（10b+c）=10[10ab+（a+b）c]+c2=100（ab+c）+c2； （3）4418×5618=10000×（44×56+18）+182

1

能力型 师生共研

1.如果abc0，那么（ ） A．三个数中至少有两个负数 B．三个数中有且只有一个负数 C．三个数中至少有一个负数

D．三个数中有两个是正数或者两个是负数 【知识点】有理数的加法

【解题过程】解: 如果abc0，那么三个数中至少有一个负数. 【思路点拨】根据有理数的加法法则即可判断. 【答案】C 2.计算：

（1）(－1)+(+2)+(－3)+(+4)…+(+2014)+(－2015)= ． （2）(－2)+4+(－6)+8+…+(－98)+100= ． 【知识点】有理数的加法运算律

【解题过程】解: （1）原式=1(2)(3)(4)(2013)(2014)(2015) =111(2015) =1007(2015) =1008

（2）原式=(2)4(6)8(98)100 =222=22550 【思路点拨】根据有理数的加法运算律即可求解. 【答案】（1）－1008； （2）50 探究型 多维突破

1.阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：

， ；

1

…

（1）猜想：1+2+3+4+…+n= ； （2）利用上述规律计算：1+2+3+4+…+100； （3）计算：

【知识点】有理数的加法

【解题过程】（1）1+2+3+4+…+n=n（n+1）； （2）1+2+3+4+…+100 =×100×（100+1） =5050； （3）

=（1+2+…+49） =××49×（49+1） =612.5．

【思路点拨】（1）根据表中的规律发现：第n个式子的和是n（n+1）； （2）根据（1）中发现的规律计算即可；

（3）结合上述规律，只需变形为=（1+2+…+49）即可计算． 【答案】（1）n（n+1）；（2）5050；（3）612.5 2.阅读（1）小题的方法．

5213 （1）5(9)(3)17

63245213 解：原式=[(－5)+()]+ [(－9)+()]+[(－3)+()]+(17+)

63245213 =[(－5)+(－9)+(－3)+17]+ [()()()]

63245 =0+()

45 =

4．

上述这种方法叫做拆项法，依照上述方法计算（2）小题：

521 （2）(2015)(2016)4032(1)

632【知识点】有理数的加法

1

521【解题过程】解: 原式=(2015)()(2016)()4032(1)()

632215 =(2015)(2016)(1)4032()()()

326 =0(2) =2

【思路点拨】先根据实例将分数分成一个整数与一个分数之和，再运用运算律进行计算. 【答案】－2 自助餐

1．计算2015+2016+(－2015)的结果是 （ ） A．2015 B．2016 C．－2015 D．－2016 【知识点】有理数的加法运算律

【解题过程】解： 2015+2016+(－2015)=2015+（－2015）+2016=2016 【思路点拨】根据加法运算律即可求解. 【答案】B

11232．()()()运用运算律计算恰当的是（ ）

245101123A．[()][()()]

245102113B．[()][()()]

542101123C．()[()]()

24510D．以上都不对

【知识点】有理数的加法运算律

1123【解题过程】解： ()()()运用运算律计算恰当的是A．

24510【思路点拨】根据加法运算律即可求解. 【答案】A

3．三个数－12，－2，+7的和比它们的绝对值的和小 . 【知识点】有理数的加法

【解题过程】解: 1227122721,(12)(2)77,21(7)28

1

【思路点拨】根据题意列出式子计算即可. 【答案】28

4．杨梅开始采摘了！每框杨梅以5千克为基准，超过的千克记为正数，不足的千克数记为负

数，记录如下：－0.1，－0.3，+0.2，+0.3，则这4框杨梅的总质量是 千克. 【知识点】有理数的加法运算律

【解题过程】解：由题意可得： 0.1(0.3)(0.2)(0.3)=0.1,540.120.1 【思路点拨】根据题意先把不足或超过的千克数相加,再与标准重量相加即可. 【答案】20.1 5．计算：

2164（1）(－6)+8+(－4)+12 （2）(3)(4)(6)(2)

7377【知识点】有理数的加法运算律

【解题过程】解: （1）原式=(6)(4)812(10)2010；

264111（2）原式=(3)(6)(2)(4)145

777333【思路点拨】根据有理数的加法运算律计算即可；

1【答案】（1）10；（2）5

36．某出租汽车从停车场出发沿着东西向的大街进行汽车出租，到晚上6时，一天行驶记录如下：（向东记为正，向西记为负，单位：千米）+10、﹣3、+4、+2、+8、+5、﹣2、﹣8、+12、﹣5、﹣7

（1）到晚上6时，出租车在什么位置．

（2）若汽车每千米耗0.2升，则从停车场出发到晚上6时，出租车共耗油多少升？ 【知识点】有理数的加法

【解题过程】（1）（+10）+（﹣3）+（+4）+（+2）+（+8）+（+5）+（﹣2）+（﹣8）+（+12）+（﹣5）+（﹣7）

=10﹣3+4+2+8+5﹣2﹣8+12﹣5﹣7 =41﹣25 =16千米．

∴到晚上6时，出租车在停车场东边16千米；

（2）|+10|+|﹣3|+|+4|+|+2|+|+8|+|+5|+|﹣2|+|﹣8|+|+12|+|﹣5|+|﹣7|

1

=10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7 =66千米， 0.2×66=13.2升．

【思路点拨】（1）把行驶记录的所有数据相加，然后根据有理数的加法运算进行计算，结果如果是正数，则在停车场东边，是负数，则在停车场西边；

（2）把所有数据的绝对值相加，求出行驶的总路程，然后乘以0.2即可得解． 【答案】（1）到晚上6时，出租车在停车场东边16千米；（2）13.2升.

1