圆锥曲线焦点弦的一个性质

浙江省台州市实验中学 张铭

由于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）有着统一的内在规律，因而它们的一些性质逐渐被人们揭示。本人在研究圆锥曲线焦点弦时，发现了一个统一性质，现叙述如下：

p定理１：已知抛物线E:y2＝2px (p>0)的焦点为F，其准线为L: x,,过焦点

2112F的直线m与抛物线交于A、B两点.则|AF||BF|p

p证明：若过点F的直线m的斜率存在为k(k≠0)，则m的方程为yk(x).

2pp设A(x1,y1),B(x2,y2)，将yk(x)代入抛物线方程可得k2(x)22px

22k2p2p(k22)p2即kxp(k2)x 0 x1x2,x1x24k24222又|AF||AA1|x1pp,|BF||BB1|x2 22p(k22)2p(k21) (1) |AF||BF|x1x2ppk2k2pppp2|AF||BF|(x1)(x2)x1x2(x1x2)2224 (2) 2222ppp(k2)p2k1p2242k4k(1) 除以（2）得

|AF||BF||AF||BF|2112 ，即  p|AF||BF|p若过F点的直线m的斜率不存在，此时直线m的方程为：x则A.B两点坐标为(p,p)和(p,p)|AF||BF|22pp 2

11112 命题也成立。 |AF||BF|ppp综上，定理得证。

x2y2a2定理2：已知椭圆E:221(ab0),其焦点F(c,0)对应的准线为l:x

abc焦点F到准线L的距离|FK|=p,过F点的直线m与椭圆E相交于A,B两点. 则

112.(其中e为椭圆的离心率) |AF||BF|ep证明：过A点作AA1垂直L,AM垂直x轴,垂足分别为A1,M.. 则根据椭圆第二定义：|AF1|=e(|FK|-|FM|)

设AFM.则 |AF|e(p|AF|cos) ep|AF|ep|AF|ecos,|AF|1ecos同样，过B点作BB1垂直L,BN垂直x轴，垂足分别为B1,N.

|BF|e|BB1|e(|FN||FK|)e(|BF|cosp)ep1ecos111ecos1ecos2|AF||BF|epepep则|BF||BF|ecosep,|BF| 定理得证。

x2y2a2定理3：已知双曲线E:221,其焦点F(c,0)对应的准线为l:x

abc焦点F到准线L的距离|FK|=p,过F点的直线m与双曲线E相交于A,B两点. 则

112.(其中e为双曲线的离心率) |AF||BF|ep证明：过A点作AA1垂直L,AM垂直x轴,垂足分别为A1,M.. 则根据双曲线第二定义：|AF1|=e(|FK|+|FM|)

设AFM.则 |AF|e(p|AF|cos) ep|AF|ep|AF|ecos,|AF|1ecos同样，过B点作BB1垂直L,BN垂直x轴，垂足分别为B1,N.

|BF|e|BB1|e(|FK||FN|)e(p|BF|cos)ep

1ecos111ecos1ecos2.证毕.|AF||BF|epepep则|BF||BF|ecosep,|BF|综上，可得如下定理：

定理：若过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线有两个交点，则这两个交点到圆锥曲线焦点的距离的倒数和是一个定值距离，e为圆锥曲线的离心率。）

2。（其中p为圆锥曲线的焦点到相应准线的ep